8.3完全平方公式与平方差公式同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 8.3完全平方公式与平方差公式同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 739.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-01 17:21:36 | ||
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文档简介
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8.3完全平方公式与平方差公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算中：①；②；③；④；⑤．
正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．运算结果等于（ ）
A． B．
C． D．
4．在下列式子中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：．根据图②你能得到的数学公式是（）
A． B．
C． D．
6．用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（ ）
A． B． C． D．
7．从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则m的值为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．
11．下列不能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，那么的值为（ ）
A．4051 B．2025 C．4046 D．4053
二、填空题
13．观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？
答： ．
14．若，，则
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b．若，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．计算的结果为 ．
17．已知，则 ．
三、解答题
18．用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
19．已知，求的值．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．一个长方形的面积是，它的一条边长为，则它的周长是多少？
22．如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察图②，请你直接写出下列三个式子：之间的等量关系式为___________；
(2)若m、n均为实数，且，运用（1）所得到的公式求的值；
(3)如图③，分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若，求图中阴影部分的面积．
23．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
24．某公园原来有一块长方形草坪，经规划后，长要缩短12米，宽要加长12米，结果改造后的草坪刚好是一个边长为x米的正方形，则改造后草坪面积是增加了还是减少了？通过计算说明理由．
《8.3完全平方公式与平方差公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B C B D B D C
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可．
【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式多项式，完全平方公式，平方差公式依次对各计算进行分析即可作出判断．掌握相应的运算法则、公式是解题的关键．
【详解】解：①，故原计算错误，不符合题意；
②，故原计算错误，不符合题意；
③，故原计算错误，不符合题意；
④，故原计算错误，不符合题意；
⑤，故原计算正确，符合题意．
∴正确的有个．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
4．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的特征是解题的关键．
根据完全平方公式，逐项判断即可．
【详解】解：A．不能用完全平方公式计算，不符合题意；
B．，能用完全平方公式计算，符合题意；
C．不能用完全平方公式计算，不符合题意；
D．，不能用完全平方公式计算，不符合题意．
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查的是完全平方公式的几何背景，从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义是解答本题的关键．用两种方式表示较大正方形的面积即可得解。
【详解】观察图形可得从整体来看（等于大正方形（边长为a）的面积减两个边长分别为和的图形面积，其中最小部分被减了两次，因此应重新加上一次．
∴根据图②能得到的数学公式是：．
故选D．
6．B
【分析】本题考查利用完全平方公式进行简便运算，熟练掌握该公式变形是解题关键.把化为即可.
【详解】解：，此时计算最简便；
故选B
7．D
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出两个图形阴影部分的面积，即可得到答案．
【详解】图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，
∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，
∴可以验证成立的公式为．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查完全平方公式知识点，解题的关键是牢记完全平方公式．
将中的看作完全平方公式中的x，1看作，然后代入公式展开计算．
【详解】根据完全平方公式，在中，，将其代入公式可得：
，
所以的结果是，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键．根据完全平方公式，把各选项中等式左侧展开，再与等式右侧相比较即可选出答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．利用完全平方公式展开，得到，即可求出m的值．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
11．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式计算，根据可以用完全平方公式计算的式子必须是两个数的和（差）的平方的形式即可得出答案．
【详解】解：．能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意；
．能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意；
．不能用完全平方公式计算，故该选项符合题意；
． 能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意；
故选：C．
12．A
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，再将代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴原式，
故选：A．
13．
【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式是解题的关键．
根据题意，大正方形的边长为，其面积等于，等于边长为的正方形的面积加上长、宽为的两个长方形的面积加上边长为的正方形的面积，由此即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
14．7
【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，通过对完全平方公式变形求值等知识点，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则，可得，，再通过对完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：7．
15．16
【分析】本题考查的是完全平方公式在几何图形中的应用.先利用阴影部分的面积等于大的正方形的面积的一半减去三个三角形的面积得到阴影面积为：，再利用完全平方公式的变形求解即可.
【详解】解：两个正方形的边长分别为a，b，
，
，，
∴.
故答案为：16.
16．1
【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算法则计算求解，即可解题．
【详解】解：
．
17．3
【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．根据完全平方公式先求出的值，然后利用完全平方公式进一步计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）将变形为，然后利用完全平方公式进行计算即可；
（2）将变形为，然后利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．
【分析】根据，代入计算即可．
本题考查了公式变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键．
【详解】解：，
当时，
原式．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了运用完全平方公式计算整式的乘法．
（1）运用完全平方公式计算即可．
（2）运用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：，
（2）解：．
21．
【分析】本题考查了平方差公式的应用，整式的除法，根据长方形的面积除以一条边长求得这条边的邻边，进而求得长方形的周长，即可求解．
【详解】解：因为该长方形面积为，它的一条边长为，
又因为
则这条边的邻边为：，
所以该长方形的周长为：．
22．(1)
(2)或
(3)8
【分析】本题考查完全平方式的应用，解题关键是熟练掌握完全平放式．
（1）由图象中小正方形面积大正方形面积长方形面积求解；
（2）根据求解；
（3）由求解．
【详解】（1）解：由图象可得：
故答案为：
（2）因为，
所以，
所以或；
（3）由题意可知，
所以，
而，
所以，
所以，
所以．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．
（1）运用的方法计算即可；
（2）运用的方法计算即可；
（3）运用的方法计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
24．增加了，改造后草坪面积增加了144平方米．理由见解析
【分析】用正方形的边长表示出原来长方形的长，宽，计算其面积，与正方形的面积作差比较即可．
本题考查了平方差公式的应用，整式的加减运算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：增加了．理由如下：
由题可得，原来长方形草坪长米，宽米，面积为平方米，则草坪面积的变化为（平方米），
故改造后草坪面积增加了144平方米．
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8.3完全平方公式与平方差公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算中：①；②；③；④；⑤．
正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．运算结果等于（ ）
A． B．
C． D．
4．在下列式子中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：．根据图②你能得到的数学公式是（）
A． B．
C． D．
6．用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（ ）
A． B． C． D．
7．从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则m的值为（ ）
A．6 B．9 C．3 D．
11．下列不能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，那么的值为（ ）
A．4051 B．2025 C．4046 D．4053
二、填空题
13．观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？
答： ．
14．若，，则
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b．若，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．计算的结果为 ．
17．已知，则 ．
三、解答题
18．用乘法公式计算：
(1)；
(2)．
19．已知，求的值．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．一个长方形的面积是，它的一条边长为，则它的周长是多少？
22．如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察图②，请你直接写出下列三个式子：之间的等量关系式为___________；
(2)若m、n均为实数，且，运用（1）所得到的公式求的值；
(3)如图③，分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若，求图中阴影部分的面积．
23．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
24．某公园原来有一块长方形草坪，经规划后，长要缩短12米，宽要加长12米，结果改造后的草坪刚好是一个边长为x米的正方形，则改造后草坪面积是增加了还是减少了？通过计算说明理由．
《8.3完全平方公式与平方差公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B C B D B D C
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可．
【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式多项式，完全平方公式，平方差公式依次对各计算进行分析即可作出判断．掌握相应的运算法则、公式是解题的关键．
【详解】解：①，故原计算错误，不符合题意；
②，故原计算错误，不符合题意；
③，故原计算错误，不符合题意；
④，故原计算错误，不符合题意；
⑤，故原计算正确，符合题意．
∴正确的有个．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
4．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的特征是解题的关键．
根据完全平方公式，逐项判断即可．
【详解】解：A．不能用完全平方公式计算，不符合题意；
B．，能用完全平方公式计算，符合题意；
C．不能用完全平方公式计算，不符合题意；
D．，不能用完全平方公式计算，不符合题意．
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查的是完全平方公式的几何背景，从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义是解答本题的关键．用两种方式表示较大正方形的面积即可得解。
【详解】观察图形可得从整体来看（等于大正方形（边长为a）的面积减两个边长分别为和的图形面积，其中最小部分被减了两次，因此应重新加上一次．
∴根据图②能得到的数学公式是：．
故选D．
6．B
【分析】本题考查利用完全平方公式进行简便运算，熟练掌握该公式变形是解题关键.把化为即可.
【详解】解：，此时计算最简便；
故选B
7．D
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出两个图形阴影部分的面积，即可得到答案．
【详解】图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，
∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，
∴可以验证成立的公式为．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查完全平方公式知识点，解题的关键是牢记完全平方公式．
将中的看作完全平方公式中的x，1看作，然后代入公式展开计算．
【详解】根据完全平方公式，在中，，将其代入公式可得：
，
所以的结果是，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键．根据完全平方公式，把各选项中等式左侧展开，再与等式右侧相比较即可选出答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．利用完全平方公式展开，得到，即可求出m的值．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
11．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式计算，根据可以用完全平方公式计算的式子必须是两个数的和（差）的平方的形式即可得出答案．
【详解】解：．能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意；
．能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意；
．不能用完全平方公式计算，故该选项符合题意；
． 能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意；
故选：C．
12．A
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，再将代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴原式，
故选：A．
13．
【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式是解题的关键．
根据题意，大正方形的边长为，其面积等于，等于边长为的正方形的面积加上长、宽为的两个长方形的面积加上边长为的正方形的面积，由此即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
14．7
【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，通过对完全平方公式变形求值等知识点，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则，可得，，再通过对完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：7．
15．16
【分析】本题考查的是完全平方公式在几何图形中的应用.先利用阴影部分的面积等于大的正方形的面积的一半减去三个三角形的面积得到阴影面积为：，再利用完全平方公式的变形求解即可.
【详解】解：两个正方形的边长分别为a，b，
，
，，
∴.
故答案为：16.
16．1
【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算法则计算求解，即可解题．
【详解】解：
．
17．3
【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．根据完全平方公式先求出的值，然后利用完全平方公式进一步计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）将变形为，然后利用完全平方公式进行计算即可；
（2）将变形为，然后利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．
【分析】根据，代入计算即可．
本题考查了公式变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键．
【详解】解：，
当时，
原式．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了运用完全平方公式计算整式的乘法．
（1）运用完全平方公式计算即可．
（2）运用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：，
（2）解：．
21．
【分析】本题考查了平方差公式的应用，整式的除法，根据长方形的面积除以一条边长求得这条边的邻边，进而求得长方形的周长，即可求解．
【详解】解：因为该长方形面积为，它的一条边长为，
又因为
则这条边的邻边为：，
所以该长方形的周长为：．
22．(1)
(2)或
(3)8
【分析】本题考查完全平方式的应用，解题关键是熟练掌握完全平放式．
（1）由图象中小正方形面积大正方形面积长方形面积求解；
（2）根据求解；
（3）由求解．
【详解】（1）解：由图象可得：
故答案为：
（2）因为，
所以，
所以或；
（3）由题意可知，
所以，
而，
所以，
所以，
所以．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．
（1）运用的方法计算即可；
（2）运用的方法计算即可；
（3）运用的方法计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
24．增加了，改造后草坪面积增加了144平方米．理由见解析
【分析】用正方形的边长表示出原来长方形的长，宽，计算其面积，与正方形的面积作差比较即可．
本题考查了平方差公式的应用，整式的加减运算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：增加了．理由如下：
由题可得，原来长方形草坪长米，宽米，面积为平方米，则草坪面积的变化为（平方米），
故改造后草坪面积增加了144平方米．
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