22.1平行四边形的性质同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
22.1平行四边形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，，，则的周长为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．13
2．如图，将 的一边延长至点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（ ）
A．∠D=60° B．∠A=120° C．∠C+∠D=180° D．∠C+∠A=180°
4．如图，中，，点E为的中点．按以下步骤作图：
①以点E为圆心、任意长为半径画弧，交于点M，N；
②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线交于点F，连接．
则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，E，F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F．若，，则为（ ）
A．30° B．32° C．34° D．36°
8．如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（　　）
A． B．3 C．2 D．2
10．如图，已知在 ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC=60°，AD=5，DC=4，则DA′的大小为( )
A．1 B． C． D．2
11．如图，在 ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）
A．4 B．4.8 C．5 D．10
12．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（　　）
A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)
二、填空题
13．已知平行四边形ABCD的周长是30，若AB＝10，则BC＝ ．
14．如图，中，，则的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点坐标分别为直线将的面积分成相等的两部分，则必过点 （直接写出点的坐标）．
16．如图，、分别是的边、上的点，与相交于点，与相交于点．若，，则阴影部分的面积为 ．
17．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则 ．
三、解答题
18．如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：．
19．（1）计算：．
（2）已知：如图，是 的边延长线上的一点，且，求证：．

20．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△DOF≌△BOE．
21．如图，已知平行四边形中，．
（1）求平行四边形的面积；
（2）求证：．
22．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝2．求CF的长．
23．如图，在平行四边形中，，求证：
24．如图，点O为 ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交BA的延长线，DC的延长线于点E，F，求证：AE=CF．
《22.1平行四边形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C D C D C B C
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】根据四边形是平行四边形，得,进而可以求出的周长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
的周长．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
2．B
【分析】根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于列式计算即可得解．
【详解】平行四边形的，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
3．D
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝60°．故A成立；
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴∠A＝180°－∠B＝120°，故B成立；
∵AD∥BC，
∴∠C＋∠D＝180°，故C成立；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝120°，故D不成立，
故选D．
4．C
【分析】根据三角形内角和求出，由平行四边形的性质，求出，由题意得垂直平分，利用垂直平分线的性质求解．
【详解】解：根据三角形内角和，
，
，
由题意得：垂直平分，
∴FB=FC，
，
而，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
5．D
【分析】由作图可知为的角平分线，可证得，求出直角三角形，根据勾股定理求出的成，再根据矩形的性质证明，由此可得，由即可求解．
【详解】解：根据题意得，设与交于点，
由作图可知：为中的角平分线，
∴，且，为公共边，，，
∴，
∴，，且，为直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的勾股定理，三角形全等的判定和性质，掌握矩形的性质得到平行，从而证明三角形全等，根据勾股定理求出线段的长是解题的关键．
6．C
【分析】由折叠得：∠DEF=∠D′EF=60°，在由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可．
【详解】解：∵∠DEF=60°，
∴由翻折可知∠DEF=∠D′EF =60°，
∴∠AEG=60°，
∵平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴∠EGF=∠AEG=60°，∠EFG=∠DEF=60°，
∴∠FEG=∠EGF=∠EFG＝60°，
∴△EFG是个等边三角形，
∴△GEF的周长=3EF=3×6=18，
故选：C
【点睛】考查平行四边形的性质、轴对称的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是等边三角形，是解决问题的关键．
7．D
【分析】由平行四边形的性质得出，则，，由折叠的性质得：，由，即可得出的大小．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴
则 ，
由折叠的性质得：
则
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
8．C
【分析】由得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E，则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，给出证明，再过点E作EF⊥B于点F，由勾股定理求出EF的长，再求得F＝BD＋D－BE＝3，最后利用勾股定理得出答案．
【详解】解：∵
∴∠ADB＝90°
∵，
∴AB＝2
由勾股定理得
BD＝
∴AD＝BD＝2
∴∠BAD＝∠ABD＝45°
∵E是AB的中点，
∴BE＝AE＝AB＝
延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E，
则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，如下图，
理由如下：
∵ ’ ，D＝BD＝2，
∴ AD垂直平分B
∴AD上任意一点P,总有PB＝P，
由“两点之间，线段最短”可知，点P在E与AD的交点处时，
PE＋PB的值最小，最小值为E的长，此时过点E作EF⊥B于点F，如上图，
则∠EFB＝∠EF＝90°，
∵∠ABD＝45°
∴EF＝BF
∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2
∴EF＝BF＝＝1
∴F＝BD＋D－BE＝3
在Rt△EF中，由勾股定理得
E＝＝＝
即的最小值为
故选：C
【点睛】本题考查了最短路径问题、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，掌握最短路径的确定方法、灵活应用勾股定理是解题的关键．
9．B
【分析】由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求FC，AN，EN，AE的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点N作NE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，∠B＝∠D＝60°，
∵CF⊥AB，AN⊥CD，
∴，∠BCF＝30°，
∴四边形AFCN是平行四边形，BFBC＝2，CFBF＝2，
∴AN＝CF＝2，
∵AN⊥CD，∠D＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴ENAN，AEEN＝3，
∵AM⊥BC，NE⊥AD，
∴，
∴当MN⊥EN时，MN有最小值为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．C
【分析】过A′作A′F⊥AD，由AE⊥BC可得AE=A′F，根据平行四边形的性质可知AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°，进而可求出BE和AE的长，根据旋转的性质可得AB=A′B，进而可求出A′E的长，即可求出AF的长，进而求出DF的长，利用勾股定理求出DA′的长即可.
【详解】如图：过A′作A′F⊥AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BC，A′F⊥AD，
∴AE=A′F，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB=2，AE=A′F==2，
∵旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴A′B在线段BC上，且A′B=AB=5，
∴A′E=A′B-BE=4-2=2，
∴AF=A′E=2，
∴DF=DA-AF=5-2=3，
在Rt△A′FD中，由勾股定理可得A′D=A′F2+DF2==，
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、旋转的性质及勾股定理的应用，旋转前后的对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线的夹角是旋转角，熟练掌握相关性质是解题关键.
11．C
【分析】根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x变化的关系图象，通过勾股定理及可求解；
【详解】如下图，
根据图2可知，
当P到达B点时AP=AB=3，
当AP⊥BC时，AB+BP=4.8，
∴BP=BE=1.8，
∴，
当到达点C时，AP=AC=4，
∴，
∴BC=BE+EC=1.8+=5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动的规律，结合关系图解题是关键．
12．D
【分析】分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点的坐标．
【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（5，2）
②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣1，2），
③AC为对角线时，点D的坐标为（1，﹣2），
综上所述，点D的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
13．5
【解析】略
14．
【分析】利用平行四边形的性质先求解再利用勾股定理求解 从而可得答案.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键.
15．
【分析】根据平行四边形的中心对称可知，若直线将的面积分成相等的两部分，则直线必过的对称中心，即对角线交点．再根据平行四边形的对角线交点平分对角线，以及，，计算得到直线必过．
【详解】解：∵直线将的面积分成相等的两部分，
∴直线必过的对称中心，即对角线交点．
∵，，
∴对角线交点即为BO的中点，即，
∴直线必过．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中点坐标计算，通过题意推导出该直线必过平行四边形的对角线交点，是解题的关键．
16．40
【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．
【详解】解：如图，连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC，
即S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△APD，
∵S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，
∴S四边形EPFQ=40cm2，
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
17．
【分析】利用平行四边形的性质得，进而得出，利用折叠的性质得，进而求出，利用三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：在中，，
，
沿对角线折叠，使点落在点处，
，
，
在中，．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
18．见详解
【分析】根据平行四边形的性质可得，再证明，即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．（1）；（2）见解析
【分析】（1）根据绝对值的意义，零指数，乘方的意义进行计算即可；
（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】（1）解：
；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，平行四边形的性质，全等三角形的判定．解题的关键：（1）零指数的意义；（2）熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质即可得结论；
（2）由（1）可知∠1=∠2，根据中点的性质可得OD=OB，利用AAS即可证明△DOF≌△BOE．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠1＝∠2．
（2）∵点O是对角线BD的中点，
∴OD=OB，
在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE．
【点睛】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
21．（1）12；（2）见解析；
【分析】（1）作交的延长线于点，设，由勾股定理列出关于的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出，从而求出的长，在中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．
【详解】（1）作交的延长线于点，如图：
设
在中：①
在中：②
联立①②解得：
平行四边形的面积；
（2）作，垂足为
∵平行四边形
又
在中：
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强．
22．
【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，可得AB=DE=CD，即D为CE中点，然后再得CE=4，再利用三角函数可求出HF和CH的长即可．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，，
∵AE//DB，
四边形ABDE是平行四边形，
，即D为CE中点，
，
，
∵AB//CD，
，
过E作于点H，
，，
，
，
∴,
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等．
23．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质等，由平行四边形的性质得，，由可判定，由全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中
，
，
∴．
24．证明见解析．
【分析】先根据平行四边形的性质证明△EBO≌△FDO，可得BE=DF，再根据平行四边形对边相等可得AB=CD，由此可证AE=CF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠E=∠F，∠EBO=∠FDO．
又∵OB=OD，
∴△EBO≌△FDO（AAS），
∴BE=DF．
又∵AB=CD，
∴BE﹣AB=DF﹣CD．
即AE=CF．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定．理解平行四边形对边平行且相等是解决此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)