22.3三角形的中位线同步练习（含解析）

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22.3三角形的中位线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为（ ）．
A．0 B．2 C．1 D．3
2．如图，是的中线，E、F分别是，的中点，连接．若，则的长为（ ）

A．2 B．1 C．4 D．3
3．如图，在中，对角线交于点是边边上的中点，若，则的周长为（ ）
A．11 B．14 C．28 D．33
4．如图所示，在中，，，分别是，，的中点，，，则四边形的周长是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
5．在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
6．.如图，矩形中，是的中点，点 在 边上运动，， 分别是 ， 的中点，则的长随着点的运动（ ）
A．变短 B．变长 C．不变 D．无法确定
7．如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
8．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（　　）
A．32° B．38° C．64° D．30°
9．如图所示，在△ABC中，AB=12，BC=10，点O为AC的中点，则BO的取值范围是( )
A．1＜BO＜11
B．2＜BO＜22
C．10＜BO＜12
D．5＜BO＜6
10．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
11．如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ 　）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
二、填空题
13．如图，四边形中，，点是对角线的中点，点，分别是，的中点，，则的度数是 ．

14．如图，在中，对角线，相交于点O，点E是边的中点．已知，则 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A=30°，AB=8，则DE的长度是 ．
16．如图，在中，分别为的中点，若，则 ．
17．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④，
其中正确的有 个．
三、解答题
18．（1）如图1，在四边形ABCD中，F、E分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD；（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度.
19．如图所示，已知四边形，，点F在的延长线上，连接交于E，E刚好为的中点．
(1)求证：；
(2)若点B为线段的中点，且，求的长．
20．如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：．
21．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC上的中点，AB＝5，CD＝7．求四边形EFGH的周长．
22．在学习完了《18.1平行四边形的性质》之后，王老师在数学活动课上对下面一个问题让学生展开探究活动．
问题情境：图1，在 ABCD中，CA⊥AB，AB＝6cm，AC＝8cm，点O为AC的中点，动点P在BC边上运动，直线PO交AD于E．
问题发现：数学智慧小组”通过积极的动手操作，观察，猜想，提出了如下问题：
（1）在点P运动的过程中，始终存在PO＝OE，为什么？
（2）在点P运动到PO⊥AC时，四边形ABPE是平行四边形，为什么？此时BP的长度是多少？
（3）在点P运动的过程中，四边形ABPE的周长是否存在最小值？如果存在，则四边形ABPE的周长的最小值是　 　cm；BP的长度为　 　cm．
问题解决：
“数学智慧小组”欢迎您的加入，请开启您的“问题解决之旅”吧！
23．如图，AD是∠BAC的外角平分线，CD⊥AD于点D，E是BC的中点.求证：DE=(AB+AC).
24．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)条件下，若DE＝4，求BC的长．
《22.3三角形的中位线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A A C B A A A
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】由已知点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出且，且，所以得到3个平行四边形．
【详解】解：已知点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，
∴CF=AF ,AD=BD =,CE=BE= ,
且，且，
四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形．
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形
2．A
【分析】利用中线得到等边长，再由两个中点得到中位线，采用边长关系计算即可．
【详解】是的中线，
，
E、F分别是，的中点，
，
又，
，
故选A．
【点睛】本题考查中点类的边长计算，能够使用2个中点得到中位线是解题的关键．
3．C
【分析】先根据平行四边形的性质，得到点O是BD的中点，从而得出OE是△BCD的中位线，然后根据中位线性质求得CD=2OE=6，然后由平行四边形周长公式计算即可求解．
【详解】解：∵ABCD，
∴OB=OD，即点O是BD的中点，
∵E是边BC边上的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD=2OE=2×3=6，
∴ABCD的周长=2(AD+CD)=2(8+6)=28，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得，，再根据四边形的周长的定义计算即可得解
【详解】解：在中，、、分别是、、的中点，
，，
四边形的周长是．
故选：A
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
5．A
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC的周长=2△DEF的周长．
【详解】∵D，E，F分别为各边的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE=BC=3，EF=AB=2，DF=AC=4，
∴△DEF的周长=3+2+4=9．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．
6．C
【分析】易得EF为的中位线，那么EF长恒等于定值AR的一半．
【详解】解：∵E，F分别是AM，MR的中点，
∴，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质．
7．B
【分析】首先根据D，E，F分别是，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长．
【详解】解：D，E，F分别是，，的中点，
、分别是的中位线，
，且，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形的周长为：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形是平行四边形是解决本题的关键．
8．A
【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．
【详解】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GF＝AD，GF∥AD，GE＝BC，GE∥BC．
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝84°，
∴∠EFG＝∠FEG，
∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°-84°）＝116°，
∴∠EFG＝（180°-∠FGE）＝32°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的判定与性质．中位线是三角形中一条重要的线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算与证明中有着广泛的应用．
9．A
【详解】如图延长BO到D，使OB=OD，连接CD，AD，则四边形ABCD是平行四边形，
在△ABD中，AD=10，BA=12，
所以2＜BD＜22，所以1＜BO＜11
故选A．
10．A
【详解】∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=AB，PN=DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠MPN=130°，
∴∠PMN=（180°-∠MPN）÷2=25°，
故选A．
11．D
【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得．
【详解】解：点，分别为，的中点，
，
点，分别为，的中点，
，
，
，
△的面积，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理．
12．D
【分析】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围．
【详解】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1；
∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，
∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=，
在△MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即-1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选D．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形的中位线定理和三角形的三边关系求解.
13．/20度
【分析】根据中位线定理推出，，由此得到，推出是等腰三角形，根据三角形的内角和定理求出答案．
【详解】解：∵点是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查三角形的中位线定义及定理，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键．
14．5
【分析】直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长．
【详解】解：∵在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC的中点，
又∵点E是AB的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO＝BC＝5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出EO是△ABC的中位线是解题关键．
15．2
【详解】试题分析：
解：∵D为AB的中点，AB=8，
∴AD=4，
∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，
∴DE=AD=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．
16．3
【分析】根据三角形中位线定理得到，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长．此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴，
∴，
∵在中，为的中点，
∴，
故答案为：3
17．
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，即可得BO=DO=AD=BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，
∵BD=2AD，
∴BO=DO=AD=BC，且点E是OC中点，
∴BE⊥AC，
∴①正确；
∵E、F、分别是OC、OD中点，
∴EFDC，CD=2EF，
∵G是AB中点，BE⊥AC，
∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CDAB，
∴BG=EF=GE，EFCDAB，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴②④正确；
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG=EF，GF=BE，且GE=GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），
∴③正确．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）OE=.
【分析】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；
（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出HO=HE，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=.
【详解】
（1） 证明：如图一，连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH.
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，
∵∠BME=∠CNE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴HE=HF，
∴AB=CD；
（2） 如图二，连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，
∵AB=CD，HE为△ABD的中位线，HO为△BCD的中位线，
∴HO=HE=AB=CD，，
∴∠HOE=∠HEO，
∵OH∥AC，∠OEC=60°，
∴∠OEH=∠HOE=∠OEC=60°，
∴△OEH是等边三角形，
∵AB=DC=5，
∴OE=.
故答案为（1）证明见解析；（2）OE=.
【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质.
19．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用平行线的性质，可得，即可求证；
（2）根据三角形中位线的性质，可得，由（1）可得，则
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵为的中点，点B为线段的中点，
∴为的中位线，，
∴，
由（1）得，
∴，即，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
20．见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证．
【详解】证明：∵
∴点是的中点．
∵点F是的中点．
∴是的中位线，
∴
21．12
【分析】根据E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，可得出EF∥AB，GH∥AB，同理EH∥CD，FG∥CD，则四边形EFGH为平行四边形，由三角形的中位线定理得出EF，EH，从而求出四边形EFGH的周长．
【详解】解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC上的中点，AB=5，CD=7．
∴EF∥AB，GH∥AB，EF=2.5，EH=3.5，
同理EH∥CD，FG∥CD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=2×6=12．
22．（1）见解析；（2）四边形ABPE是平行四边形，理由见解析，BP =5cm；（3），
【分析】（1）证明△AEO△CPO即可说明PO=OE；
（2）证明EP∥AB，即可证明四边形ABPE是平行四边形，利用三角形中位线定理即可求解；
（3）求得四边形ABPE的周长为：6+10+PE=16+PE，得到当PE⊥BC时，PE最小，利用平行四边形的面积公式求得PE，即可求得四边形ABPE的周长最小值，根据△AEO△CPO以及勾股定理即可求得BP的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点O为AC的中点，
∴AE∥PC，AO=OC，
∴∠EAO=∠PCO，∠AOE=∠COP，
∴△AEO△CPO，
∴PO=OE；
（2）∵CA⊥AB，且PO⊥AC，
∴PO∥AB，即EP∥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BP，
∵CA⊥AB，且AB=6cm，AC=8cm，
∴BC=(cm)，
∴四边形ABPE是平行四边形，
∵点O为AC的中点，且PO∥AB，
∴BP=PC=BC=5(cm)；
（3）四边形ABPE的周长为：AB+BP+PE+AE，
由（1）知△AEO△CPO，则AE=CP，
∴BP+AE=BP+CP=BC=10，
∴四边形ABPE的周长为：6+10+PE=16+PE，
则PE最小时，四边形ABPE的周长最小，
∴当PE⊥BC时，PE最小(垂线段最短)，
∵BCPE=ABAC，
∴PE=(cm)，
∴四边形ABPE的周长最小值为16+=(cm)，
∵△AEO△CPO，
∴PO=EO=PE=(cm)，OC=AC=(cm)，
∴PC=(cm)，
∴BP=BC-PC=(cm)，
故答案为：，．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．证明过程见解析.
【详解】试题分析：直接证明DE=(AB+AC)比较困难，注意到E是BC的中点，联想到三角形的中位线定理，于是延长CD与BA交于F点，只需证D是CF的中点及AF=AC即可，这容易从题设证得.
试题解析：延长CD与BA交于F点.
∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，
∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，∴∠ACD=∠F，
∴AC=AF，∴CD=DF，
∵E是BC的中点，∴DE=BF=(AB+AC).
24．（1）见解析；（2）8.
【分析】（1）作AC的垂直平分线即可得到AC的中点E，然后连接DE即可；
（2）利用三角形中位线性质求解．
【详解】（1）如图，DE为所作；

（2）∵D点为AB的中点，E点为AC的中点，
∴△ABC中位线定理，
∴BC=2DE=8．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
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