22.4矩形同步练习（含解析）

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22.4矩形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，矩形和矩形，点A在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ).
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
3．如图，P是矩形的边上一个动点，矩形的两条边的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分 B． C． D．
5．如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
7．如图，将长方形沿对角线折叠，得到，点C与点E对应，交于F，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
8．直角三角形斜边上的高与中线分别为 5cm 和 6cm，则它的面积为（ ）cm2．
A．30 B．60 C．45 D．15
9．如图，点在边的延长线上，点是边上一个动点，过点作直线．交 的平分线于点，交的外角平分线于点，连接．当点在线段上移动（不与点，重合）时，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．四边形是矩形
10．如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
11．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．12
12．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形；
②∠PBA=∠APQ；
③△FPC为等腰三角形；
④△APB≌△EPC；
其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为 ．
14．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD，EF=GH；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学原理是： ；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ．
15．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．

16．如图，在中，，点P是边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作边的垂线，垂足分别为M、N，则的最小值是 ．

17．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范围是 ．
三、解答题
18．请你写出两个本考卷中没有的定义
19．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
20．如图1，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．连接DE，BF．
(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；
(2)如图2，直接写出四边形BFDE的边满足什么条件时，BD=EF．
21．已知：如图，在四边形中，互相平分于点O，．求证四边形是矩形．
22．如图ABC中，AD是高，CE为中线，DC=BE，DG⊥CE于G点，求证：
（1）G为CE的中点．
（2）∠B=2∠BCE．
23．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，求的度数．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．
《22.4矩形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C B C A A D C
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积等于2个的面积，而的面积又等于矩形的一半，所以可得两个矩形的面积关系．
【详解】解：∵
∴，，
，
故选：A．
2．B
【分析】本题需先根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，从而得出图中等腰三角形中的个数，即可得出正确答案．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OB=OC=OD，
∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC四个．
故选B．
3．A
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得AC=BD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF求得答案．
【详解】解：如图所示，连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，
∴S矩形ABCD=AB BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD==5，
∴OA=OD=，
∴S△ACD=S矩形ABCD=6，
∴S△AOD=S△ACD=3，
∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF=××PE+××PF=（PE+PF）=3，
解得：PE+PF=．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
4．C
【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．
【详解】解：由矩形的对角线相交于点，
根据矩形的对角线相等，
可得．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．
5．B
【分析】根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，进一步推出，然后求得，则可在中求得的度数．
【详解】解：在矩形中，平分，
，，，
，
．
，，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定、性质及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
6．C
【分析】易知OE是△ACD的中位线，则，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC，再根据直角三角形的性质可求得BO，从而求出△BOE的周长．
【详解】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
则△BOE的周长为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
7．A
【分析】由翻折的性质可知，由矩形的性质可知，从而得到，于是，故此，证出，则可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴．
∴．
由翻折的性质可知：，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质和判定、矩形的性质，由翻折的性质找出相等的角或边是解题的关键．
8．A
【分析】据直角三角形斜边上中线性质求出斜边长，再根据直角三角形的面积公式求 出面积即可．
【详解】∵直角三角形的斜边上的中线为6cm，
∴斜边为2×6=12 （cm），
∵直角三角形斜边上的高为5cm，
∴此直角三角形的面积为×12×5=30 （cm2），
故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
9．D
【分析】根据题目条件判断各选项即可.
【详解】∵是的外角，
∴．
∵平分，
∴，
∴，故A选项成立；
∵平分，
∴，
∴，
∴，同理可得，
∴，故B选项成立；
∵平分，平分，
∴，故C选项成立；
∵不一定是的中点，
∴四边形不一定是平行四边形，
∴四边形不一定是矩形，故D选项不一定成立．故选D．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质,关键在于灵活运用条件.
10．C
【分析】根据折叠的性质得到∠1=∠2，而∠1=∠3，易得ED=EB，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，
∴∠1=∠2，
而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴ED=EB=5，
∵矩形ABCD中，∠A=90°
∴重叠部分△BDE的面积=DE×AB=×5×4=10．
故选C.．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及三角形的面积公式．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．
11．A
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB.
∵∠BOF=∠DOE，∴△BOF≌△DOE，∴S△DOE=S△BOF.
∴阴影部分的面积为S△BOF+S△COF=S△OBC=S矩形ABCD=×4×3=3.
故选A.
12．B
【分析】①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；
②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC=90°，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；
③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；
④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．
【详解】解：①如图，EC，BP交于点G；

∵点P是点B关于直线EC的对称点，
∴EC垂直平分BP，
∴EP=EB，
∴∠EBP=∠EPB，
∵点E为AB中点，
∴AE=EB，
∴AE=EP，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴AP⊥BP，
∴AF∥EC；
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故①正确；
②∵∠APB=90°，
∴∠APQ+∠BPC=90°，
由折叠得：BC=PC，
∴∠BPC=∠PBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠ABP=∠APQ，
故②正确；
③∵AF∥EC，
∴∠FPC=∠PCE=∠BCE，
∵∠PFC是钝角，
当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，
如右图，△PCF不一定是等腰三角形，
故③不正确；
④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，
∴Rt△EPC≌△FDA（HL），
∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，
当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，
∴△APB≌△EPC，
故④不正确；
其中正确结论有①②，2个，
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
13．
【详解】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．
所以△AOE≌△COE．
设CE为x．
则DE=AD-x，CD=AB=2．
根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22
解得CE=13/6．
14． 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】已知两组线段相等了，如图组成的图形依据平行四边形的判定可知是平行四边形，在调整过程中，一个角为直角时，根据矩形的定义可进行判定．
【详解】解：（2）平行四边形，
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）矩形，
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
故答案为：平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
15．60
【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：60．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
16．/
【分析】证明四边形是矩形，推出，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：如下图，连接，

在中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，即的值最小，
，
最小值是，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
17．3＜x＜11
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=8，BD=14，
∴AO=4，BO=7，
∵AB=x，
∴7﹣4＜x＜7+4，
解得3＜x＜11．
故答案为：3＜x＜11．
18．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
所有内角均为直角的平行四边形叫矩形.
【分析】见解析.
【详解】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
所有内角均为直角的平行四边形叫矩形.
【点睛】熟记定义是解题的关键.
19．见解析
【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)四边形DEBF的边满足DE⊥BE时，BD=EF．
【分析】（1）证△AOE≌△COF（ASA），得OE=OF，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证∠DEB=90°，再由矩形的判定得平行四边形DEBF是矩形，然后由矩形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，，OB=OD．
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：四边形DEBF的边满足DE⊥BE时，BD=EF，理由如下：
由（1）得：四边形DEBF是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形，
∴BD=EF．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．证明见解析．
【分析】先证明四边形是平行四边形，如图，连接 再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 从而可得结论.
【详解】证明：如图，连接
互相平分于点O，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形.
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定，连接 证明是解本题的关键.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）证是的中点，即，可证它们所在的三角形全等，即连接，证；
（2）由（1）知：是等腰三角形，则，根据三角形外角的性质可得．
【详解】证明：（1）连接，
，是的中点，
是斜边上的中线，即；
；
又，
，
，
是的中点．
（2）由（1）知：；
，；
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键．
23．
【分析】由矩形的性质得出，再由已知条件得出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后再根据矩形的对角线互相平分且相等可得，进而可得，由此即可得出结果．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
∵，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
∴的度数为45°．
【点睛】本题考查了矩形的性质、角的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
24．(1)详见解析；
(2)75°；
(3)．
【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；
（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，
由（1）可知，∠OCB＝30°，
∴AC=2AB=4，
∴，
∴矩形OEC的面积．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
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