22.7多边形的内角和与外角和 同步练习（含解析）

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22.7多边形的内角和与外角和
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D=70°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．90° C．110° D．140°
2．从如图所示图形的一个顶点出发，可以画出的对角线的条数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．若多边形的边数由5增加到n（n为大于5的正整数），则其外角和的度数（ ）
A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定
4．如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．10或11或12
7．如图所示的图形中，是多边形的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．下列说法正确的是（ ）
A．钟表的时间是10点30分，此时时针与分针所成的夹角是105°
B．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是九边形
C．若，则点是线段的中点
D．
9．下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（　　）.
A．正六边形和正五边形 B．正八边形和正三角形
C．正五边形和正八边形 D．正六边形和正三角形
10．n边形的每个外角都为72°，则边数n为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　）
A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm
12．某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是( )．
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为 ．
14．过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形有条对角线，则 .
15．若四边形ABCD的相对的两个内角互补，且满足∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，
则∠A＝ °，∠B＝ °，∠C＝ °，∠D＝ °．
16．正六边形的每一个外角是 度
17．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
三、解答题
18．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
19．(1)请用不同的方法把图的四边形各分成四个三角形，画出示意图，不写画法；
(2)任选一个示意图，结合图形，说明四边形内角和等于360°的道理．
20．（1）问题发现：小红在数学课上学习了外角的相关知识后，她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，于是，爱思考的小红在想，四边形的外角是否也具有类似的性质呢？
如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是_________________；
（2）总结归纳：如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；
（4）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．
21．探究归纳题：
【试验分析】
（1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线；
【拓展延伸】
（2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线；
【探索归纳】
（3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）；
【特例验证】
（4）十边形共有________条对角线．
22．如果一个多边形的边数增加1，那么这个多边形的内角和增加多少度 将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加多少度
23．求下列图形中x的值：
24．（题型四）一个凸多边形的一个内角的外角与其他内角的和为500°，求这个多边形的边数.
《22.7多边形的内角和与外角和》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C B D D D D A
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】先根据多边形的内角和公式求出四边形的内角和，先由∠A与∠B互补，可得∠A+∠B=，从而可以求得结果．
【详解】解：∵∠A与∠B互补，
∴∠A+∠B=，
∵四边形的内角和等于，∠D=70°，
∴∠C=-∠A-∠B-∠D=110°，
故选C.
【点睛】本题考查的是多边形的内角和，互补的定义. 解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：，互补的两个角的和为.
2．A
【分析】本题主要考查多边形的对角线条数，掌握其定义是解题的关键．根据对角线的定义和绘制方法即可求解．
【详解】解：如图所示，
∴从一个顶点出发可以画的对角线的条数为，
故选：．
3．C
【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题．
【详解】解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的度数是不变的．
故选：C．
【点睛】此题考查多边形内角和与外角和，容易受误导，注意多边形外角和等于360°．
4．C
【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】∵是正五边形，
∴∠ABC==108°，AB=BC，
∵为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC==66°，
∴=∠AFB+∠BFC=126°，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
5．B
【分析】根据四边形的定义“由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫四边形”进行分析判断即可．
【详解】解：A.因为，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意；
B.因为，所以能组成四边形，故本选项符合题意；
C.因为，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意；
D.因为，所以不能组成四边形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了四边形的定义，熟练掌握四边形的定义是解题关键．
6．D
【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝1620°，
解得n＝11，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原来多边形的边数是10或11或12．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
7．D
【分析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第三个．
【详解】所示的图形中，属于多边形的有第一个、第三个．
故选D．
【点睛】理解多边形的定义，根据定义进行正确判断．
8．D
【分析】根据钟面角、多边形的对角线与边数、线段中点的定义、角度单位换算逐项判断即可得．
【详解】解：A、钟表的时间是10点30分，此时时针与分针所成的夹角是，则此项错误，不符合题意；
B、若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是十边形，则此项错误，不符合题意；
C、若，但点不一定在同一条直线上，所以点不一定是线段的中点，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了钟面角、多边形的对角线与边数、线段中点的定义、角度单位换算，熟练掌握各概念和运算是解题关键．
9．D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】解：A.正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B.正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角60°．135m+60n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
C.正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
D.正六边形的每个内角是180°-360°÷6=120°，正三角形的每个内角是60°，2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360度，能铺满；
故选：D.
【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
10．A
【分析】多边形的外角和是360°，又有多边形的每个外角都等于72°，所以可以求出多边形外角的个数，进而得到多边形的边数．
【详解】∵多边形每个外角都等于72°，
∴这个多边形的边数是：n=360÷72=5．
故选A．
【点睛】考查多边形的外角和，以及多边形外角的个数与其边数之间的相等关系．
11．B
【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可．
【详解】由图形可得出：
该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm），
故该主板的周长是96mm，
故选：B．
【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键．
12．B
【详解】试题分析：运用面积公式、割补法求阴影部分面积，再与题目的要求比较．
解答：解：花坛面积为4m2，一半为2m2，
A、阴影部分面积为2×2÷2=2m2，
B、阴影部分面积为1×1+1×1÷2+1×2÷2=2.5m2，不符合要求；
C、阴影部分面积为1×1÷2×4=2m2，
D、把图中上面两个扇形移下来，刚回拼成两个小正方形，面积为2m2；
故选B．
考点: 组合图形的面积．
13．60°
【详解】如图，因为点Ａ关于GH的对称点是F，所以连接BF交GH于点P，
则PA+PB=PF+PB=BF，
所以PA+PB的最小值是BF.
因为∠BAF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，
所以∠AFB=30°.
因为∠HGF=90°，
所以∠GPF=60°.
故答案为：60°.
14．125
【详解】∵n边形从一个顶点发出的对角线有n 3条，
∴m=7+3=10，n=3，k=5；
∴=125，
故答案为125.
【点睛】若过m边形的一个顶点有7条对角线，则m=10；n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而n=3；k边形有k条对角线，即得到方程k（k-3）=k，解得k=5．代入解析式就可以求出代数式的值．
15． 60 90 120 90
【详解】∵四边形ABCD的相对的两个内角互补，
∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴∠A=180°× =60°，
∴∠C=180°-60°=120°，
∴∠B=∠A=90°，
∴∠D=180°-90°=90°．
故答案为60，90，120，90．
16．60
【详解】∵正六边形的每个外角都相等，并且外角和是360°，
∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，
故答案为60．
17．8
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2） 180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
18．BE∥DF，理由见解析
【分析】根据四边形的内角和定理和∠A＝∠C＝90°，得∠ABC＋∠ADC＝180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．
【详解】解：BE∥DF．理由如下：
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC，
∴∠1＋∠3＝（∠ABC＋∠ADC）＝×180°＝90°，
又∵∠1＋∠AEB＝90°，
∴∠3＝∠AEB
∴BE∥DF
【点睛】本题考查了四边形的内角和是360°、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，考察的知识点较多，只有熟练掌握，才能运用自如．
19．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）将四边形任意分割得出4个三角形即可；
（2）利用三角形内角和定理得出四边形内角和等于360°即可．
【详解】解：（1）如图所示：答案不唯一，
；
（2）选图①说明，如图1所示．
∵三角形的内角和为180°，
∴分成的4个三角形的所有内角的和为4×180°＝720°，
∴四边形的内角和为720°－∠1－∠2－∠3－∠4＝720°－360°＝360°.
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及四边形的性质，正确分割四边形是解题关键．
20．（1）∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）四边形的相邻的两个外角的和等于和它不相邻的两个内角的和；（3）65°；（4）30°
【分析】（1）根据两个等式，利用等式性质得出∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系；
（2）仿照三角形的外角定理求解；
（3）根据（1）结论，先确定∠MDA与∠DAN的和，再根据角平分线的性质，可以确定∠EDA与∠DAE的和，从而求∠E的度数；
（4）先确定∠CDN与∠CBM之和，再确定∠CDP与∠CBP之和，进而确定∠ADC与∠ABP之和，再根根四边形内角和，从而求∠P的度数．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠D，
故答案为：∠1+∠2＝∠A+∠D；
（2）结论为：四边形的相邻的两个外角的和等于和它不相邻的两个内角的和；
（3）由（1）知：∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°，
∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，
∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，
∴∠EDA+∠DAE＝115°，
∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°；
（4）由（1）得：∠CDN+∠CBM＝∠A+∠C，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠CDN+∠CBM＝180°，
∵∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，
∴∠CDP+∠CBP＝（∠CDN+∠CBM）＝60°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+60°＝240°，
即∠ADP+∠ABP＝240°，
∵∠A＝90°，
∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝30°．
【点睛】本题考查考查了三角形的综合题，阅读题目，理解题意是解题的关键．
21．（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3）；（4）35
【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键．
（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）根据对角线的定义，可得答案；
（3）根据探索，可发现规律；
（4）根据对角线的公式，可得答案．
【详解】解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
故答案为∶1，1，1，1，2；
（2）如图，运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线；
故答案为：5，9；
（3）由（1），（2）可知，对于n边形，共有条对角线；
故答案为：；
（4）当时，，
∴十边形有35对角线．
故答案为：35．
22．180°，n180°.
【分析】根据多边形的内角和定理即可求得．
【详解】解：设原多边形边数是n，则n边形的内角和是（n-2） 180°，边数增加1，则新多边形的内角和是（n+1-2） 180°．则（n+1-2） 180°-（n-2） 180°=180°．故它的内角和增加180°．
∵n边形的内角和是（n-2） 180°，
∴2n边形的内角和是（2n-2） 180°，
∴将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n-2） 180°-（n-2） 180°=n180°．
故答案是：180°，n 180°．
【点睛】本题考查多边形的内角和公式，是基础题，熟记公式是解题的关键．
23．；；
【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题的关键．根据多边形内角和进行计算即可．
【详解】解：图1，，则；
图2，，则；
图3，，解得．
24．这个多边形是四边形或五边形.
【详解】设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为x.则有180°-x+（n-2）×180°-x=500°，
化简，得（n-2）×180°=320°+2x.
令n-2=2，即n=4，则有x=20°；
令n-2=3，即n=5，则有x=110°.
所以当这个内角是20°时，边数为4；当这个内角是110°时，边数为5.
故这个多边形是四边形或五边形.
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