22.6正方形同步练习（含解析）

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22.6正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④对角线相等的菱形是正方形
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
2．如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
3．在四边形中，对角线互相平分，若添加一个条件使得四边形是菱形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．∥
4．如图，将正方形绕点逆时针旋转得到．如果，点与的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．如图①，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y=x-1沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m（米），平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（）
A．S1＞ S2 B．S1 = S2
C．S1＜ S2 D．S1、S2的大小关系不确定
8．正方形、，按如图所示的方式放置，点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
10．下列说法中错误的是（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线垂直的矩形是正方形
11．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是正方形
12．如图，将边长为9的正方形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且，则AM的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
13．如图，四边形是边长为6的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长为 ．
14．如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，EF＝2EH，则AB与EH的数量关系是AB＝ EH．
15．已知直线l经过正方形ABCD的顶点A，过点B和点D分别作直线的垂线BM和DN，垂足分别为点M、点N，如果，，那么点M和点N之间的距离为 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为 ．
17．在中，对角线交于点是边上的一个动点(与点不重合)，连接并延长，交于点，连接．下列说法：①对于任意的点，四边形都是平行四边形；②当时，至少存在一个点，使得四边形是矩形；③当时，至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④当时，至少存在一个点，使得四边形是正方形．所有正确说法的序号是 ．
三、解答题
18．如图， 在中，的平分线交于点D，，．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，且， 直接写出四边形的面积．
19．如图，点，分别在正方形的边，上，且，点在射线上（点不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点．
（1）如图1，若点是的中点，点在线段上，线段，，的数量关系为　　．
（2）如图2，若点不是的中点，点在线段上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形的边长为6，，，请直接写出线段的长．
20．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．

【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
（1）求证：BE=FG．
（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为　 　．
【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为　 　．
21．如图，在正方形中，点E是的中点，连接，过点A作交于点F，交于点G．
(1)证明：；
(2)连接，求证：．
22．证明：如果四边形两条对角线垂直且相等，那么以它的四边中点为顶点可组成一个正方形．
23．（2017 九龙坡区校级模拟）正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45°，∠BAF=15°
（1）求证：DE﹣EF=BF；
（2）若AD=，求△AEF的面积．
24．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
《22.6正方形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D A B A B C B
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】直接利用矩形、菱形、平行四边形、以及正方形的判定方法分别分析进而得出答案即可．
【详解】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故①正确；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故②错误；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形，故③正确；
④对角线相等的菱形是正方形，故④正确，
综上所述正确的有①③④，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理，正确掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．
2．D
【分析】设点C的横坐标为m，则点C的坐标为（m，﹣3m），点B的坐标为（﹣，﹣3m），根据正方形的性质，即可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设点C的横坐标为m，
∵点C在直线y=-3x上，∴点C的坐标为（m，﹣3m），
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC∥x轴，BC=AB，
又点B在直线y＝kx上，且点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴点B的坐标为（﹣，﹣3m），
∴﹣﹣m＝﹣3m，
解得：k＝，
经检验，k＝是原方程的解，且符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质以及解分式方程等知识点，灵活运用性质是解题的关键．
3．C
【详解】∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．
故选C.
4．D
【分析】连接，，，过作于，依据旋转的性质求得，进而得出，利用勾股定理，即可得到△中，．
【详解】解：如图，连接，，，过作于，
由旋转可得，，，
，
同理可得，，
，
，
，
，
，
，
△中，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造含角的直角三角形，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
5．A
【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，
∴AM=PB，
∴PM=AB，
∵PM==，
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
6．B
【分析】连接AC，根据直线与坐标轴的交点得出直线与AC平行，因此当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大b=AC，由图②可知此时a=5，由速度求出AB的长再根据勾股定理即可解答；
【详解】解：如图连接AC，
由y=x-1可得，当x=0时，y=-1，当y=0时，x=1，
∴直线与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，
∴直线与x轴的夹角是45°，
∵正方形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∠ACB=45°，
∴直线l与AC平行，
∴当直线向上平移到A点时被正方形ABCD的边所截得的线段长最大b=AC，
由图②可知，当a=5时，直线平移到A点，
∴AB=1×5=5米
∴b=AC=米，
故选： B．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，根据题意弄懂图象所表达的含义是解题关键．
7．A
【分析】利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长，进而可求得S2的边长，由面积的求法可得答案．
解：如图，设大正方形的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD=，
∴S2的边长为x，S2的面积为x2，S1的边长为，S1的面积为x2，
∴S1＞S2，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键．
分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
，是等腰直角三角形，
同理可得：，，都是等腰直角三角形，
于是：，，，，
，
．
故选：．
9．C
【分析】根据正方形的性质可得，，，证明，即可解决问题．
【详解】解：在正方形中，，，，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
10．B
【分析】根据矩形和正方形的性质和判定进行分析即可.
【详解】A、四个角相等的四边形则每个角为90°，所以是矩形，该说法正确，不符合题意；
B、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意；
D、对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形和矩形的判定，理解相关判定定理是关键.
11．D
【分析】根据平行四边形性质和矩形，菱形，正方形判定进行判定.
【详解】A．四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确；
B．∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，
∵，
∴四边形是菱形，故B选项正确；
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D．根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选D．
【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定，解答本题的关键是：根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
12．A
【分析】根据勾股定理求出线段BN的长，过M作交BC于点H，证明求得NH的长，再利用矩形的性质求得AM 的长．
【详解】解：连接，过M作交BC于点H，MN交于点I，
由翻折可知：，，
设，
正方形ABCD的边长为9，
，
在中，，
，即，
解得，
，
，
四边形ABHM为矩形，
，，
，
，即，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等的判定及性质，勾股定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键．
13．/
【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
连接，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得，
即，
故答案为：．
14．
【分析】连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接AC、BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，
∴EH＝BD，EH∥BD，GH＝AC，GH∥AC，
∵EF＝2EH，
∴OA＝2OD，
∴AB＝＝OD，
∴AB＝EH，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．
15．8或2/2或8
【分析】根据正方形的性质得出∠NAD=∠MBA，再利用全等三角形的判定得出△ABM≌△AND，进而求出MN的值，注意分类讨论．
【详解】如图1，在正方形ABCD中，
∵，，
∴，
∵在和中，
∴（AAS），
∴，，
∴，
如图2，在正方形ABCD中，
∵，，
∴，
∵在和中，
∴（AAS），
∴，，
∴，
综上：或2．
故答案为：8或2．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，将直线l与正方形ABCD的位置分类讨论是解题关键．
16．
【分析】连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质可确定AB=PT，PB=ET，根据线段的和差关系和等边对等角确定∠TCE=45°，根据平行线的判定定理可确定，根据正方形的性质和三角形的中位线定理可确定，进而可确定点M的运动轨迹是OD，最后根据正方形的性质和勾股定理即可求出OD的长度．
【详解】解：如下图所示，连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．
∵△APE是等腰直角三角形，
．
∴∠APB+∠TPE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，ET⊥BC，
∴∠ABP=90°，∠PTE=90°．
∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°．
∴∠BAP=∠TPE．
．
．
∵四边形ABCD是正方形，
．
．
∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT．
．
∴∠TEC=∠TCE=45°．
∵正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴O是AC的中点，∠DBC=45°．
∴∠DBC=∠TCE．
．
∵M是AE的中点，
∴OM是△ACE的中位线．
∴．
∴点M在直线OD上．
∵点P在BC边上移动，
∴点M的运动轨迹是OD．
∵正方形ABCD的边长是6，且AC，BD相交于点O，
∴AB=6，AD=6，O是BD的中点．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，平行线的判定定理，勾股定理，正确确定点M的运动轨迹是解题关键．
17．①②③④
【分析】①根据平行四边形的性质及判定定理可迅速作出判断；
②当BE⊥BC时，四边形BEDF是矩形，故选项②正确；
③由于有AB＜AD的限制，则BD的垂直平分线与AD的交点一定在A、D之间；
④由②可知结论正确．
【详解】（1）如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴AD∥BC，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠ODE=∠OBF，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
即E在AD上任意位置（不与A、D重合）时，四边形BEDF恒为平行四边形，
故选项①正确．
（2）如图2，当BE⊥BC时，四边形BEDF是矩形，故选项②正确．
（3）如图3，
当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，由于AB＜AD，即AB＜AE+BE，可以保证E点AD上，故一定存在点E满足要求，故选项③正确．
（4）由②可知，∠ADB=45°，四边形BEDF是正方形，故选项④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键．
18．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)2
【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
（1）先证明四边形是平行四边形，再由角平分线的定义和平行线的性质证明，则，即可证明平行四边形是菱形．
（2）先证明四边形是正方形，则，即可得到四边形的面积为：．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：，
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积为：．
19．（1）；理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）线段的长为3或5．
【分析】（1）由证明，得出，即可得出结论；
（2）由证明，得出，即可得出结论；
（3）①当点在线段上时，点在线段上，由（2）可知：，求出，，即可得出答案；
②当点在射线上时，点在线段的延长线上，同理可得：；即可得出答案．
【详解】（1）；理由如下：
四边形是正方形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
，，
，
又，，
，
在和中，，
，
，
，即；
故答案为；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
由题意得：，，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即；
（3）分两种情况：
①当点在线段上时，点在线段上，
由（2）可知：，
，
，，
；
②当点在射线上时，点在线段的延长线上，如图3所示：
同（2）可得：，
，
，，
，
；
综上所述，线段的长为3或5．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）2，9.
【详解】【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；
探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；
（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，
应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．
【详解】感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
探究：（1）如图②，

过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，∴PG=BC，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
在△PGF和△CBE中，
，
∴△PGF≌△CBE（ASA），
∴BE=FG；
（2）由（1）知，FG=BE，
连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，
∴BE=2CM=2，
∴FG=2，
故答案为2．
应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，
∴ME=3，
同探究（1）得，CG=BE=6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=9，
故答案为：9．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理、判断出CG=BE是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到，，，即可得出；
（2）延长交的延长线于H，根据，即可得出B是的中点，进而得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长交的延长线于H，
∵E是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即B是的中点，
又∵，
∴中，．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
22．证明见详解．
【分析】先写出命题的已知和求证，根据三角形的中位线定理得出EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，EF=BD，GH=BD，EH=AC，由平行于同一直线的两直线平行得出EF∥GH，由等式的性质得出EF=GH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形，又由AC=BD及EF=BD，EH=AC，得出EF=EH，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出平行四边形EFGH是菱形，由AC⊥BD，GH∥BD，EH∥AC，可得GH⊥EH，即∠GHE=90°，根据有一个角是直角的菱形为正方形．
【详解】已知，四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD于O，E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH．
求证：四边形EFGH是正方形
证明：∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，EF=BD，GH=BD，EH=AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，EF=BD，EH=AC，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形．
∵AC⊥BD，GH∥BD，
∴AC⊥GH，
∵EH∥AC，
∴GH⊥EH，
∴∠GHE=90°，
∴四边形EFGH为正方形．
【点睛】本题主要考查对菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线，正方形判定等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理得出EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，EF=BD，GH=BD，EH=AC是解此题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）3 ﹣3．
【详解】试题分析：
（1）在DE上取一点G，使DG=BF，先证：△ABF≌△ADG；再证：△AFE≌△AGE可得EF=GE，从而可得DE-EF=DE-GE=DG=BF；
（2）由AB∥CD，可得∠AED=∠BAE=30°，从而可在△ADE中求得DE=3，进而可得CE=3﹣；再由（1）△AFE≌△AGE可得∠AEF=∠AED=30°，进而可得∠CFE=90°﹣∠AEF﹣∠AED=90°﹣30°﹣30°=30°，从而可得：GE=EF=2CE=2（3﹣）=6﹣，由S△AEF=S△AGE=GEAD就可计算出所求面积.
试题解析：
（1）在DE上取一点G，使DG=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，
在△ABF和△ADG中， ，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴∠DAG=∠BAF=15°，AG=AF，
∵∠EAF=45°，∠BAF=15°，
∴∠BAE=∠EAF﹣∠BAF=45°﹣15°=30°，
∴∠GAE=90°﹣15°﹣30°=45°，
∴∠GAE=∠FAE=45°，
在△AFE和△AGE中，，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF=GE，
∴EF+BF=EG+DG=DE，
∴DE﹣EF=BF；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE=30°，
∴DE=AD=×=3，
∴CE=DE﹣CD=3﹣，
由（1）△AFE≌△AGE可得∴∠AEF=∠AED=30°，
∴∠CFE=90°﹣∠AEF﹣∠AED=90°﹣30°﹣30°=30°，
∴GE=EF=2CE=2（3﹣）=6﹣2，
∴S△AGE=（6﹣2）×=3﹣3，
∴S△AEF=S△AGE=3 ﹣3．
24．（1）证明见解析；（2）等腰直角三角形.
【详解】试题分析：
（1）先证四边形ABDF是平行四边形，再证结论；
（2）由四边形ADCF是正方形来证明△ABC是等腰直角三角形.
试题解析：
（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，
∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，则AF=DC=AD，
∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵四边形ADCF是正方形，∴∠ADC=90°，AC=DF，AF=DC.
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，AB=2DE，∴AB=DF，所以AB=AC.
∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，∴BD=CD=AD，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
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