20.1 常量和变量 同步练习（含解析）

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20.1常量和变量
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．甲以每小时30km的速度行驶时，他所走的路程s（km）与时间t（h）之间的关系式可表示为s＝30t，则下列说法正确的是（　　）
A．数30和s，t都是变量
B．s是常量，数30和t是变量
C．数30是常量，s和t是变量
D．t是常量，数30和s是变量
2．对于圆的面积公式S=πR2，下列说法中，正确的为( )
A．π是自变量 B．R2是自变量
C．R是自变量 D．πR2是自变量
3．当圆的半径发生变化时，圆的面积也发生变化，圆的面积S与半径的关系为S= ，下列说法正确的是（ ）
A．S．．都是变量 B．只有是变量 C．．是变量，是常量 D．．．都是常量
4．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量；
B．所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm；
C．弹簧不挂重物时的长度为0cm；
D．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm．
5．弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度y（cm）最长为20cm，与所挂物体重量x（kg）间有下面的关系：下列说法不正确的是（　　）
x 0 1 2 3 4 …
y 8 8.5 9 9.5 10 …
A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量
B．所挂物体为6kg，弹簧长度为11cm
C．体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm
D．挂30kg物体时一定比原长增加15cm
6．对于圆的周长公式C=2πR，下列说法错误的是（　　）
A．π是变量 B．R、C是变量 C．R是自变量 D．C是因变量
7．在圆的面积公式S=πr2中，是常量的是（　　）
A．S B．π C．r D．S和r
8．某品牌热水壶的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：
定价/元 70 80 90 100 110 120
销量/把 80 100 110 100 80 60
现销售了把水壶，则定价约为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
9．数学兴趣小组用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度与小车下滑时间之间的关系如下表所示：
支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．支撑物高度为时，小车下滑时间为
B．支撑物高度越大，小车下滑时间越小
C．若小车下滑时间为，则支撑物高度在至之间
D．若支撑物高度为，则小车下滑时间可以小于的任意值
10．某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（ ）
里程数 收费/元
3以下（含3） 8
3以上每增加1 1.8
A． B． C． D．
11．在圆周长计算公式C＝2πr中,对半径不同的圆，变量有( )
A．C，r B．π，r C．π D．C，2π，r
二、填空题
12．如图，正方形边长为12cm，在四个角分别剪去全等的等腰直角三角形．当三角形的直角边由小变大时，阴影部分的面积变化如下表所示：
三角形的直角边/cm 1 2 3 4 5 6
阴影部分的面积 142 136 126 112 94 72
若等腰直角三角形的直角边长为3cm，则图中阴影部分的面积是 ．
13．某地用电量与应缴电费之间的关系如下表所示，若应缴电费为2.75元，则用电量为 度．
用电量/度 1 2 3 4 …
应缴电费/元 0.55 1.10 1.65 2.20 …
14．如图，若用n表示正方形个数，y表示摆放正方形所用火柴棒根数，则y与n之间的关系式为 ．

15．某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元,填写下表.
份数/份 1 2 3 4 …
价钱/元 …
在这个问题中, 是常量; 是变量.
16．某地区的居民生活用电为0.58元/千瓦时，小亮家用电量为x千瓦时，所用电费为y元，其中常量是 ，变量是 ．
三、解答题
17．声音在空气中传播的速度与温度之间有关系式．说出其中的常量和变量．
18． 在建设社会主义新农村过程中，某村委决定投资开发项目，现有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：
所需资金（亿元） 1 2 4 6 7 8
预计利润（千万元） 0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果预计要获得0.9千万元的利润，你可以怎样投资项目？
（3）如果该村可以拿出10亿元进行多个项目的投资，预计最大年利润是多少？说明理由．
19．小华粉刷他的卧室共花去10小时，他记录的完成工作量的百分数如下：
时间（小时） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
完成的百分数 5 25 35 50 50 65 70 80 95 100
(1)5小时他完成工作量的百分数是______；
(2)小华在______时间里工作量最大；
(3)如果小华在早晨8时开始工作，则他在______时间没有工作．
20．如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一条直线上，开始点A与点M重合，△ABC向右运动直到点A与点N重合，试写出重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
21．延安，中国五大革命圣地之一．2021年4月10日，成都和延安两地之间首次开行直达动车组列车（动车），比之前开行的普速列车（普列）缩短了不少时间，某天一辆普列从延安出发匀速驶向成都，同时另一辆动车从成都出发匀速驶向延安，两车与成都的距离（千米）与行驶时间t（时）之间的关系如表格和图像所示．
t 0 2 4 5 …
1080 930 780 705 …
(1)延安与成都的距离为_____________千米，普列到达成都所用时间为____________小时．
(2)求动车从成都到延安的距离与t之间的关系式．
(3)在成都、延安两地之间有一条隧道，当动车经过这条隧道时，两车相距135千米，求延安与这条隧道之间的距离．（隧道长度不计算在内）
22．如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积为，的长为，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据：
0 1 2 3 4 5 6
3 1 0 2 3
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）自变量和因变量分别是什么？
（2）和的值分别是多少？
（3）的面积是怎样变化的？
23．一种手机卡的缴费方式为：每月必须缴纳月租费20元，另外每通话1 min要缴费0.2元．
(1)如果每月通话时间为x(min)，每月缴费y(元)，请用含x的代数式表示y.
(2)在这个问题中，哪些是常量？哪些是变量？
(3)当一个月通话时间为200 min时，应缴费多少元？
(4)当某月缴费56元时，此人该月通话时间为多少分钟？
《20.1常量和变量》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C D A B C D D
题号 11
答案 A
1．C
【分析】根据变量的定义即可求解
【详解】解：在s＝30t中，数30是常量，s和t是变量，
故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量的定义，熟练掌握定义即可求解．
2．C
【分析】由常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称为常量．
【详解】解：因为在中，是圆周率，故是常数，S与R是变量，其中R是自变量故本题选C
【点睛】根据自变量的定义解答
3．C
【详解】在变化过程中，某量若保持不变，则称之为常量；反之，则称之为变量．π是常数，约等于3.14，是不变的常数，所以它是常量；S和r是变化的量，故是变量，
故选C.
4．C
【分析】A利用变量和自变量的定义即可判断；
B利用表格数据可以判断；
C利用表格数据即可判断；
D利用表格数据即可判断．
【详解】解：A中根据题意可以确定x、y都是变量，且x为自变量；
B中直接根据表格判断结论正确；
C中根据表格弹簧不挂重物时的长度为10cm，故结论错误；
D中根据表格数据可以知道物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故结论正确．
故选C．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用挂重物与弹簧伸长的长度得出函数关系式是解题关键．
5．D
【分析】弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加，弹簧长度就增加，可以计算当所挂物体为或时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为．
【详解】解：A．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以是自变量，是因变量．故本选项正确，不符合题意；
B．当所挂物体为时，弹簧的长度为．故本选项正确，不符合题意；
C．从表格数据中分析可知，物体每增加，弹簧长度就增加．故本选项正确，不符合题意；
D．当所挂物体为时，弹簧长度为．故本选项不正确，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．
6．A
【详解】解：A．π是一个常数，是常量，故选项符合题意；
B．R、C是变量，故选项不符合题意；
C．R是自变量，故选项不符合题意；
D．C是因变量，故选项不符合题意．
故选：A．
7．B
【分析】根据常量、变量的定义，可得答案．
【详解】在圆的面积公式S=πr2中，π是常量，S、r是变量，
故选B．
【点睛】本题考查常量与变量，常量是在事物的变化中保持不变的量．
8．C
【分析】根据表格中定价的变化和销量的变化即可解答．
【详解】解：由表中数据可知，定价为90元时，销量达到最大为110把，而销售105把水壶，销量位于100把到110把之间，而
当定价在80元到90元时，定价每增加1元，销量增加1把，销量呈递增趋势，
当定价在90元到100元时，定价每增加1元，销量减少1把，销量呈递减趋势，
故定价约为90+（105-100）÷1=95元，
故选：C．
【点睛】本题考查了用表格法表示两个变量之间的关系，解答的关键是读懂题意，能从表格中找到有效信息解决问题．
9．D
【分析】根据函数的表示方法对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由表可知，当h=40cm时，t=2.13s，故A正确；
B、支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小，故B正确；
C、若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40cm至50cm之间，故C正确；
D、若支撑物的高度为80cm，则小车下滑时间可以是小于1.59s，但不是任意值，故D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键．
10．D
【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键．
根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可．
【详解】解：由题意得，所付车费为：，
即．
故选：D．
11．A
【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．
【详解】∵在圆的周长公式C＝2πr中，C与r是改变的，π是不变的；
∴变量是C，r，常量是2π．
故选A．
【点睛】本题考查的知识点是函数的定义，解题关键是正确的分辨变化的量和不变的量．
12．126
【分析】根据阴影面积为正方形面积减去四个等腰直角三角形面积,可由表格直接解决问题即可．
【详解】解：依题意当等腰直角三角形直角边长为3时，根据表格可知
阴影面积为126cm2．
故答案为：126．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方式，从表格获取信息是解题的关键．
13．5
【分析】本题考查了数据的观察与分析能力，正确的识别规律建立方程是解答本题的关键．观察表格数据，找出用电量与应缴电费之间的规律：通过观察发现用电量每增加1度，电费增加了0.55元，这意味着电费和用电量之间存在一定变化规律，根据这规律列出方程，再把应缴电费为2.75元代入求解即可．
【详解】解：设用电量为x度，应缴电费为y元，根据题意，
，
把代入上式，
解这个方程得，，
故答案为：5．
14．
【分析】根据“所用火柴棒的根数”与“所摆正方形的个数”之间的变化关系，得出答案．
【详解】第1个图形需要火柴棒根数为，
第2个图形需要火柴棒根数为，
第3个图形需要火柴棒根数为，
……
第n个图形需要火柴棒根数为，
y与n之间的关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数关系式，图形的变化类，理解函数的定义，发现“所用火柴棒的根数与所摆正方形的个数”之间的变化规律是解决问题的前提．
15． 0.4;0.8;1.2;1.6;0.4 x,y
【详解】
分数/份 … 1 2 3 4 …
价钱/元 … 0.4 0.8 1.2 1.6 …
x是常量;y是变量
故答案为0.4，0.8，1.2，1.6，x,y.
16． 0.58 x，y
【分析】根据常量与变量的性质进行作答.
【详解】由题知，生活用电0.58元/千瓦时为保持不变的量，即为常量；家用电量x千瓦时和所用电费y元为可以取不同值的量，即为变量.
【点睛】本题考查了常量与变量的性质，熟练掌握常量与变量的性质是本题解题关键.
17．常量为，变量为速度与温度
【分析】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有为一得值与其对应，那么我们就说x是自变量，所以上述过程中，自变量是时间．
【详解】解：根据题意得：常量为，变量为速度与温度．
【点睛】本题主要考查了常量与变量问题，熟练掌握常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化是解题的关键．
18．（1）所需资金和利润之间的关系，所需资金为自变量，年利润为因变量；（2）可以投资一个7亿元的项目；也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目；还可以投资一个1亿元，再投资一个6亿元的项目；（3）最大利润是1.45亿元，理由详见解析．
【分析】（1）分别根据变量、因变量的定义分别得出即可；
（2）根据图表分析得出投资方案；
（3）分别求出不同方案的利润进而得出答案．
【详解】解：（1）所需资金和利润之间的关系．
所需资金为自变量．年利润为因变量；
（2）可以投资一个7亿元的项目．
也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目．
还可以投资一个1亿元，再投资一个6亿元的项目．
答：可以投资一个7亿元的项目；也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目；还可以投资一个1亿元，再投资一个6亿元的项目．
（3）共三种方案：①1亿元，2亿元，7亿元，利润是亿元．
②2亿元，8亿元，利润是亿元．
③4亿元，6亿元，利润是亿元．
∴最大利润是亿元．
答：最大利润是亿元．
【点睛】此题主要考查了常量与变量的定义以及利用图表得出正确方案等知识，利用图表获取正确数据是解题关键．
19．(1)
(2)第二小时
(3)时
【分析】本题考查了函数的表示方法，比较简单，阅读图表数据，准确获取信息是解题的关键．
（1）根据图表数据解答即可；
（2）根据数据找出完成百分数最多的时间即可；
（3）根据完成的百分数，开始工作后4到5小时没有工作，然后求出相应的时间即可．
【详解】（1）5小时他完成工作量的百分数是；
故答案为：；
（2）由图表可知，在第二小时完成的百分数最大是，所以，在第二小时时间里工作量最大；
故答案为：第二小时；
（3）开始工作小时工作量都是没有发生变化，
早晨8时开始工作，
在时时间没有工作．
故答案为：时．
20．见解析
【分析】根据题意，建立二次函数，再根据常量与变量的性质进行作答.
【详解】y＝x2(0≤x≤10)，x，y是变量，是常量.
【点睛】本题考查了二次函数的建立及常量与变量的定义，熟练掌握二次函数的建立是本题解题关键.
21．(1)，
(2)
(3)延安与这条隧道之间的距离为450千米或270千米
【分析】（1）根据表格中的数据可得到延安与成都的距离和普快的速度，进而可求解；
（2）根据图像先求得动车的速度，再根据路程=速度×时间求得与t之间的关系式即可；
（3）分普快在延安和隧道之间和普快在隧道和成都之间两种情况，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意和表格数据可知，延安与成都的距离为千米，
普快的速度为（千米/时），
普快到达成都所用时间为（小时），
故答案为：，；
（2）解：由图像知，动车的速度为(千米/时），
∴与t之间的关系式为；
（3）解：当普快在延安和隧道之间时，
根据题意，得，
解得，
则延安与这条隧道之间的距离为（千米）；
当普快在隧道和成都之间时，
根据题意，得，
解得，
延安与这条隧道之间的距离为（千米），
综上，延安与这条隧道之间的距离为450千米或270千米．
【点睛】本题考查变量之间的关系、一元一次方程的应用，理解题意，正确求得关系式，运用分类讨论思想求解是解答的关键．
22．（1）自变量是BE的长，因变量是△ADE的面积；（2）2，1；（3）当0≤x≤3时，y随x的增大而减小；当3≤x≤6时，y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据题意即可求得；
（2）根据表格数据即可得出BD＝3，BC＝6，△ABC的高是2，然后根据三角形面积公式即可求得a、b；
（3）根据三角形面积公式得到解析式即可．
【详解】解：（1）自变量是BE的长x，因变量是△ADE的面积y；
（2）∵x＝0时，y＝3；x＝3时，y＝0，
∴BD＝3，BC＝6，△ABC的高是2，
∴x＝1时，DE＝2，
∴a＝×2×2＝2，
当x＝4时，DE＝1，
∴b＝×1×2＝1；
（3）当0≤x≤3时，y＝3 x，
3≤x≤6时，y＝x 3；
当0≤x≤3时，y随x的增大而减小；
当3≤x≤6时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，三角形面积，解决本题的关键是数形结合，求出函数解析式．
23．见解析
【详解】试题分析：（1）根据每月应缴的费用是月租费+通话费，即可写出解析式；
（2）根据解析式即可确定哪些是常量，哪些是变量；
（3）在解析式中，令x=200，求得y的值即可；
（4）在解析式中，令y=56，求得x的值即可
试题解析：(1)每月缴费y(元)与通话时间x(min)的关系式为y＝0.2x＋20.
(2)在这个问题中，月租费20元和每分钟通话费0.2元是常量，每月通话时间x(min)与每月缴费y(元)是变量．
(3)当x＝200时，y＝0.2×200＋20＝60(元)．因此当一个月通话时间为200 min时，应缴费60元．
(4)当y＝56时，0.2x＋20＝56，解得x＝180.因此当某月缴费为56元时，此人该月通话时间为180 min.
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