20.3 函数的表示 同步练习（含解析）

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20.3函数的表示
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（ ）．
A． B． C． D．
2．下列四个函数中，自变量的取值范围相同的是（　　）
① ② ③ ④
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．①和④
3．函数y＝﹣中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＝3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2
4．等腰三角形的顶角为x度，一个底角的外角为y度，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
5．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（ ）
学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7
周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350
A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B．周积分随学习天数的增加而增加
C．从第天到第天，周积分的增长量为分
D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同
7．下列有序实数对中，是函数y=2x-1中自变量x与函数值y的一对对应值的是（　　）
A．（-2.5，4）
B．（-0.25，0.5）
C．（1，3）
D．（2.5，4）
8．函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．矩形的周长为18，则它的面积S（）与它的一边长（）之间的函数关系式是（ ）
A．S=x(9-x)(0C．S=x(18-x)(010．在关系式中，下列说法错误的是(　　　)
A．的数值可以任意选择 B．的值随的变化而变化
C．用关系式表示的不能用图象表示 D．与的关系还可以用列表法表示
11．如图，y与x之间的关系式为（ ）
A．y=x+60 B．y=x+120 C．x=60+y D．y=30+x
12．周末早上小敏和朋友相约开车去离市中心30km的郊外玩，玩到了傍晚准备开车回家，回家的路上小敏开了有一会车抛锚了，于是朋友就把小敏的车用工具固定在自己的车后，拖着走了一段，路上遇到一家修车店，小敏就把车放在店里维修，然后坐朋友的车回到了市中心，下面是小敏从郊外返回路上所用的时间t（分钟）和离市中心距离s（km）之间的对应关系表：
t/min 10 15 20 25 30 40 45 50 55 60 65 70
s/km 24 20 16 15 15 12 12 8 5 3 1 0
根据表格中的数据判断下列哪种说法是正确的（ ）
A．差不多开了20分钟，小敏的车抛锚了
B．从抛锚点到修车店，花了差不多10分钟
C．修车店在离市中心15km处
D．离市中心5km处可能开始堵车
二、填空题
13．函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．函数的三种表示方式分别是 ．
15．函数中，自变量x的取值范围是 ．
16．一个等腰三角形的周长为20，腰长为，底边长为，则与之间的函数关系式是 ，定义域是 .
17．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点”．请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的值是 ．
三、解答题
18．一辆汽车正常行驶时每小时耗8升，油箱现有52升汽油.
（1）如果汽车行驶时间为t（时），那么油箱中所存油量Q（升）与t（时）的关系式是什么？
（2）油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？
（3）当t的值分别为1，2，3时，Q相应的值是多少？
19．某地区现有果树24000棵，计划今后每年栽果树3000棵．
①试用含年数x（年）的式子表示果树总棵数y（棵）；
②预计到第5年该地区有多少棵果树？
20．求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)；
(5)．
21．圆柱的底面半径为，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_____________；
(2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是______________；
(3)当h从变化到时，圆柱的体积如何变化？
22．按图2方式摆放餐桌和椅子．若用来表示餐桌的张数，来表示可坐人数，则随着餐桌数的增加：
（1）题中有几个变量？
（2）你能将其中的一个变量看成是另一个变量的函数吗？如果是，写出函数解析式．
23．已知一个长方形的长为x，宽为y，周长为40．
(1)求出y关于x的函数解析式（不用写出自变量x的取值范围）；
(2)当时，求y的值；
(3)当时，该长方形的面积是多少
24．写出下列函数中自变量的取值范围：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
《20.3函数的表示》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C A C D B A C
题号 11 12
答案 A B
1．D
【分析】根据总价=单价×数量列出函数解析式．
【详解】解：依题意有单价为24÷16=，
则有.
故选D.
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需先求出单价．
2．D
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．即可确定．
【详解】解：（1）自变量x为全体实数；
（2）自变量x+1≥0，则x≥-1；
（3）自变量x+1≠0，则x≠-1；
（4）自变量x为全体实数；
则自变量取值范围相同的是（1）和（4），
故选D．
【点睛】本题考查的是自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．C
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零列不等式组求解．
【详解】解：由题意得： 3﹣x≥0且x﹣2≠0，
解得：x≤3且x≠2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数、分母不能为零列出不等式组是解答本题的关键．
4．C
【分析】利用三角形内角和定理和外角的定义即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，函数关系式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式即可解答．
【详解】解：由题意得：
解得：且，
∴，
故选A．
6．C
【分析】根据表格中两个变量的变化的对应值，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、在这个变化过程中，有两个变量，学习的天数和周积分，周积分随着学习时间的变化而变化，因此学习天数是自变量，周积分是因变量，故选项A不符合题意；
B、从表格是的数据可知，周积分随学习天数的增加而增加，因此选项B不符合题意；
C、从第3天到第4天，周积分的增长量为分，因此选项C符合题意；
D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同，有分、分，分的不等，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的表示方法，理解常量与变量，函数的定义是正确判断的前提．
7．D
【分析】在四个坐标中，把坐标中的x或y代入，对照所得的y或x值与坐标值是否相同即得到判断．
【详解】A、代入y=4，则x=2.5，错误，故本选项不符；
B、代入y=0.5，则x=0.75，错误，故本选项不符；
C、代入x=1，则y=1，错误，故本选项不符；
D、代入y=4，x=2.5，正确，故本选项符合．
故选D．
【点睛】本题考查了函数值的一一对应，把坐标中的横坐标或纵坐标代入进行对照是否相同即可．
8．B
【分析】根据函数y＝可得出x－5≥0，再解出一元一次不等式即可.
【详解】由题意得，x－5≥0，
解得x≥5．
在数轴上表示如下：
故选B．
【点睛】本题要考查的是一元一次不等式的解法以及二次根式成立得出判定，熟练掌握一元一次不等式的解法是本题的解题关键.
9．A
【分析】易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．
【详解】由题意得：矩形的另一边长为，
所以.
故选A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点．
10．C
【分析】根据函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．
【详解】A、x的数值可以任意选择；正确；
B、y随x的变化而变化；正确；
C、用关系式表示的不能用图象表示，错误；
D、y与x的关系还可以用列表法表示，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的定义，是基础知识，比较简单．熟练掌握函数的表示方法是解题的关键．
11．A
【分析】由三角形外角性质可得结论.
【详解】∵三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，
∴y=x+60.
故选A.
【点睛】考查了三角形外角的性质，解题关键是运用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和得出关系式.
12．B
【分析】根据表中的时间和距离，逐段分析，即可一一判定．
【详解】解：A、车抛锚了，车速会迅速下降直至停止，由表知，在10分钟-15分钟，5分钟行驶距离为24-20=4km，15分钟-20分钟，5分钟行驶距离为20-16=4km，20分钟-25分钟，5分钟行驶距离为16-15=1km，此段车速明显下降，而在25分钟-30分钟，这段时间小敏离市中心的距离一直是15 km，表明车停下来了，这段时间朋友把小敏的车用工具固定在自己的车后，因此，说明小敏的车开了15分钟，车抛锚了，故A错误；
B、小敏把车放在店里维修需要时间，这段时间小敏离市中心的距离(第二次)不变，由表知，在40分钟- 45分钟，离市中心的距离是12 km，因此，小敏的车在40分钟到了修车店，由表知，从抛锚点到修车店，所花时间为40-30=10(分钟)， 故B正确；
C、由B知，修车店在离市中心12 km处， 故C错误；
D、由表知，在45分钟-50分钟，5分钟行驶距离为12-8=4 km，50分钟-55分钟，5分钟行驶距离为8-5=3 km，55分钟-60分钟，5分钟行驶距离为5-3=2 km，60分钟-65分钟，5分 钟行驶距离为3-1=2 km，65分钟-70分钟，5分钟行驶距离为1-0=1 km，表明车在离市中心5km处在减速行驶进入市区可能遇红绿灯等候，不一定是堵车，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查了函数的应用，即用列表法表示函数关系，从表中获取相关信息是解决本题的关键．
13．
【详解】由题意得，解得，
故答案为：．
14．解析法、表格法、图象法
【分析】根据函数的表示方法进行填写．
【详解】解：函数的三种表示方法分别为：解析法、表格法、图象法．
故答案为：解析法、表格法、图象法．
15．
【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】由题意得，，
解得，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解题的关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
16．
【分析】等腰三角形的底边长=周长-2×腰长，根据2腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值．
【详解】∵等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为20，
∴y=20-2x，
，
解得5＜x＜10．
故答案为y=20-2x；5＜x＜10．
【点睛】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式；判断出等腰三角形腰长的取值范围是解决本题的难点．
17．4.
【分析】根据新定义，分析函数y=-x2+16在新定义下点P的“可控变点”横坐标与纵坐标的对应关系，在分析a的取值范围．
【详解】由定义可知：
①当0≤x≤a时，y′＝﹣x2+16，此时，抛物线y′的开口向下，故当0≤x≤a时，y′随x的增大而减小（如图）
即：﹣a2+16≤y′≤16，
②当﹣5≤x＜0时，y′＝x2﹣16，抛物线y′的开口向上，故当﹣5≤x＜0时，y′随x的增大而减小（如图），
即：﹣16＜y′≤9，
∵点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，
∴﹣a2+16≥﹣16
∴a2≤32，
∴﹣4≤a≤4，
又∵﹣5≤x≤a，
∴a＝4，
在函数y＝﹣x2+16图象上的点P，当a＝4时，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，
故答案为4.
【点睛】本题考查了在新定义下二次函数在指定区间上的自变量与函数值之间的对应情况，解题的关键是理解在新定义下x与y′的相应区间．
18．（1）Q=52-8t；（2）可供汽车行驶6.5小时；（3）相应的Q=44，36，28.
【分析】（1）存油量=现有油量（52）-消耗的油量，把相关数值代入即可．
（2）把Q=0代入（1）的关系式中求出t即可解；
（3）把t=1，2，3代入（）1）的关系式中求出Q即可解.
【详解】解：（1）∵每小时耗油8升，
∴当时间为t时，耗油8t，
∴油箱中所存油量Q（升）与t（时）的关系式为 Q=52-8t；
（2）当Q=0时，52-8t=0，解得t=6.5，
即油箱中的油总共可供汽车行驶6.5小时；
（3）t=1，2，3，相应的Q=44，36，28.
【点睛】此题主要考查了一次函数关系式；得到某一时刻存油量的表示方法是解决本题的关键．
19．①y=24000+3000x（x≥0，且x为正整数）；②预计到第5年该地区有39000棵果树．
【详解】试题分析：①本题的等量关系是：果树的总数=现有的果树的数量+每年栽树的数量×年数，由此可得出关于果树总数与年数的函数关系式；
②根据①即可求出第5年的果树的数量.
试题解析：①根据题意得：y=24000+3000x（x≥0，且x为正整数）；
②根据题意得：y=24000+3000x（x≥0，且x为正整数）；
当x=5时，y=24000+3000×5=39000．
答：预计到第5年该地区有39000棵果树．
点睛：本题考查了根据实际问题列函数关系式，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数式，然后利用函数关系式即可解决题目的问题.
20．(1)x可为任意实数；
(2)x可为任意实数；
(3)；
(4)；
(5)且．
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是明确分式、二次根式有意义的条件．
（1）（2）等号右边是整式，x可为任意实数；
（3）含有自变量的代数式是用分式形式表示的，由分母不为零可得答案；
（4）（5）含有自变量的代数式既有二次根式，也有分母，结合二次根式与分式有意义的条件可得答案．
【详解】（1）解：等号右边是整式，x为任意实数；
（2）解：等号右边是整式，x为任意实数；
（3）解：由题意得，所以x的取值范围为；
（4）解：由题意得，所以x的取值范围为；
（5）解：由题意得且，所以且．
21．(1)圆柱的高；圆柱的体积
(2)
(3)体积增加
【分析】（1）根据函数的自变量，因变量分析解答即可；
（2）根据圆柱的体积公式计算解答即可；
（3）根据时，；时，；计算体积增加解答即可．
本题考查了函数的自变量，因变量，圆柱体积，正确额定义，掌握圆柱体积公式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得自变量是圆柱的高；因变量是圆柱的体积，
故答案为：圆柱的高；圆柱的体积．
（2）解：根据题意，得．
（3）解：根据题意，得当时，；
当时，；
故体积增加．
22．（1）有2个变量；
（2）能，函数关系式可以为y=4x+2；
【详解】（1）根据变量和常量的定义，可确定有两个变量;
（2）观察图形：x=1时，y=6，x=2时，y=10；x=3时，y=14；…
可见每增加一张桌子，便增加4个座位，
∴x张餐桌共有6+4（x-1）=4x+2个座位．
∴可坐人数y=4x+2，
故函数关系式为y=4x+2．
23．(1)
(2)7
(3)96
【分析】（1）根据长方形的周长公式化简即可得出答案；
（2）把x=13代入函数解析式即可；
（3）把y=8代入函数解析式求出x，再求长方形的面积即可．
【详解】（1）∵长方形的周长为40，
∴2（x+y）=40，
∴y=-x+20；
（2）当x=13时，
y=20-13
=7；
（3）当y=8时，20-x=8，
∴x=12，
∴长方形的面积=12×8=96．
【点睛】本题考查了函数关系式，函数值，根据长方形的周长公式化简得到y关于x的函数解析式是解题的关键．
24．(1)全体实数；
(2)；
(3)；
(4)且．
【分析】（）根据为整式时自变量取值范围是全体实数；
（）根据含有分式时，分母不能为零即可；
（）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零即可，
（）根据含有二次根式时，被开方数大于等于零，零指数幂底数不能为零即可；
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，分式和零指数幂有意义的条件是解题的关键．
【详解】（1）根据题意可得，自变量的取值范围是全体实数；
（2）由题意，得，
解得；
（3）由题意，得，
解得；
（4）由题意，得，
解得且．
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