21.4一次函数的应用同步练习（含解析）

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21.4一次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系.如图，由图中给出的信息，预测营销人员销售2万件时的收入是（　　）
A．3100元 B．13000元 C．12900元 D．28000元
2．如图，直线（）过点，，则方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线与的交点坐标为，则使的的取值范围为( )
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜2 D．x＜1
4．如图所示，已知点是一次函数的图象上的一点，则下列判断中正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小 B．，
C．当时， D．方程的解是
5．根据实验结果表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下表的关系，下列说法不正确的是（ ）
0 1 2 3 4
20 21 22 23 24
A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长
D．所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加
6．一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为　　
A． B． C． D．
7．已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于的不等式的解集为
A． B． C． D．
8．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　）
A． B． C． D．
9．甲乙两同学同时从400m环形跑道上的同一点出发，同向而行．甲的速度为6m/s，乙的速度为4m/s．设经过x（单位：s）后，跑道上此两人间的较短部分的长度为y（单位：m）．则y与x（0≤x≤60）之间的函数关系可用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．y＝-x B．y＝-x C．y＝-x D．y＝-x
11．如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（ ）
A． B． C． D．
12．我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
13．如图，已知一次函数y＝kx+b经过A（2，0），B（0，﹣1），当y＞0时，则x的取值范围是 ．
14．某农资销售部连续8天调进一批化肥进行销售，在开始调进化肥的第7天开始销售．若进货期间每天调入化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个销售部的化肥存量S（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该销售部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是 ．
15．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为 ，△AOC的面积为 ．
16．从地向地打长途电话，通话分钟以内收费元，分钟后通话时间每增加分钟加收元，若通话时间为（单位：分，且为整数），则通话费用（单位：元）与通话时间（分）函数关系式是 （其中且为整数）．
17．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发．设快车离乙地的距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为，、与x的函数关系图像如图①，s与x的函数关系图像如图②，则下列判断：
（1）图①中；（2）当时，两车相遇；（3）当时，两车相距；（4）图②中C点坐标为．其中正确的有 （请写出所有正确判断的序号）．
三、解答题
18．金百超市经销某品牌童装，单价为每件50元时，每天销量为60件，当单价每件从50元降了20元时，一天销量为100件．设降x元时，一天的销量为y件．已知y是x的一次函数．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)若某天销售童装80件，则该天童装的单价是多少
19．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
20．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B．点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），连接OF，设点F的横坐标为x．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求△OAF的面积S与x之间的函数关系式：
(3)当△OAF的面积时．直接写出线段OF与AB的数量关系；
21．遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高20%，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台．
(1)求，型设备单价分别是多少元？
(2)该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用．
22．如图1，直线的解析式为，D点坐标为，O点关于直线的对称点C点在直线上．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，在x轴上是否存在点F，使与的面积相等，若存在，求出F点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图3，过点的直线，当它与直线夹角等于时，求出相应m的值．
23．自开展全区读书宣传活动以来，某书店出租店生意非常火爆，为此开设两种租书方式，方式一：零星租书，每本收费1元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费12元，租书费每本0.4元．小彬经常来该店租书，若小彬每月租书数量为本，每月应付的租书金额为元．
(1)分别写出两种租书方式下，与之间的函数关系；
(2)若在一月内小彬为班级租书，选用哪种租书方式合算？
24．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1000元，其原材料成本价为550元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有10千克的废渣产生．为达到国家环要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可供选择：
方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理10千克废渣所用的原料费为50元，并且每月设备维护及损耗费为2000元．
方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理10千克废渣需付100元的处理费．
（1）设工厂每月生产x件产品．用方案一处理废渣时，每月利润为__________元；用方案二处理废渣时，每月利润为__________元（利润=总收入-总支出）．
（2）若每月生产30件和60件，用方案一和方案二处理废渣时，每月利润分别为多少元？
（3）如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最划算？
《21.4一次函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D B C A D C D
题号 11 12
答案 A C
1．B
【解析】略
2．A
【分析】所求不等式的解集，即为函数y=ax+b图象在x轴上方部分的横坐标即可．
【详解】解：∵直线经过点A（0，5）和B（-3，0），
∴当x＞-3时，直线在x轴上方，
∴ax+b＞0，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式．注意掌握从函数的角度看，就是求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
3．D
【详解】此题考查一次函数图像的交点问题、考查学生读图的能力；一次函数图像的交点坐标是有两个一次函数对应的方程联立的二元一次方程组的解构成的；如上图所示：当时，即直线在直线的下方部分，所以；选D
4．D
【分析】考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图像的性质进行逐一判断即可．正确的识别图象是解题的关键．
【详解】解：由图象可得：
A、y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；
B、∵一次函数经过一、二、三象限，
∴，，故此选项不符合题意；
C、当时，或，故此选项不符合题意；
D、方程的解是，故此选项符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】根据图表数据可得，弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化，并且质量每增加1千克，弹簧的长度增加1cm，然后对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】A、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，此选项正确；
B、弹簧不挂重物时的长度为20cm，此选项不正确；
C、随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长，此选项正确；
D、所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加1cm，此选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的简单应用，常量与变量的识别．
6．C
【分析】根据图象可知，一次函数y=kx+b的图象过点（，﹣1），即当x=时，y=﹣1，由此得出关于x的方程kx+b=﹣1的解．
【详解】∵一次函数y=kx+b的图象过点（，﹣1），∴关于x的方程kx+b=﹣1的解是x=．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合是解题的关键．
7．A
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，
∴b＞0，a＜0，
把（2，0）代入解析式y=ax+b得：0=2a+b，
解得：2a=-b
=-2，
∵a（x-1）-b＞0，
∴a（x-1）＞b，
∵a＜0，
∴x-1＜，
∴x＜-1，
故选A．
8．D
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，有一定难度，解题的关键是作出辅助线，根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长．设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【详解】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，
∵正方形的边长为1，
∴，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边面积分别是4，
∴三角形面积是5，
∴，
∴，
∴，
由此可知直线l经过，
设直线l解析式为，
则，解得：，
∴直线l解析式为，
故选D．
9．C
【分析】由于同向而行，且二人速度差为6-4=2m/s，二人间最长距离为200米，最短距离为0，据此即可进行推理．
【详解】解：二人速度差为6﹣4=2m/s，
100秒时，二人相距2×100=200米，
200秒时，二人相距2×200=400米，较短部分的长度为0，即两人再次相遇，
300秒时，二人相距2×300=600米，即甲超过乙600﹣400=200米．
由于y=2x（0≤x≤100）或y=400-2x（100≤x≤200）或y=2x-400（200≤x≤300），函数图象为直线（线段）．
故选：C．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
10．D
【分析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【详解】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB=4+1=5，
∴OB AB=5，
∴AB=，
∴OC=，
由此可知直线l经过（﹣，3），
设直线方程为y=kx，
则3=﹣k，
k=﹣，
∴直线l解析式为y=﹣x，
故选D．
11．A
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，求出与轴的交点坐标，图象法求出不等式组的解集即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴，
∵直线与的交点的横坐标为，
∴由图象可知：的解集为：；
∴不等式的整数解为；
故选A．
12．C
【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解．
【详解】解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得，
①，解得，；②，解得，；③，解得，；
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，；
当时，，则；
当时，，则，；
当时，，则；
当时，，则；
综上所述，的最大值为，
故选：C．
13．x＞2
【分析】利用待定系数法可得直线AB的解析式为y＝x 1，依据当y＞0时，x 1＞0，即可得到x的取值范围．
【详解】解：由A（2，0），B（0，﹣1），可得直线AB的解析式为y＝x﹣1，
∴当y＞0时，x﹣1＞0，
解得x＞2，
故答案为x＞2．
【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式之间的联系，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx＋b，解题关键是求出直线解析式.
14．10天
【详解】试题分析：根据题意和图象可得：调入化肥的速度是24÷6=4吨/天，
当在第6天时，库存物资应该有24吨，在第8天时库存16吨，
所以销售化肥的速度是（吨/天），
所以剩余的16吨完全调出需要16÷8=2（天），
故该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是8+2=10（天）．
故答案为10天．
考点： 一次函数的应用．
15． y=x+2 4
【分析】一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，即A（2，4），B（0，2），代入可求出函数关系式．再根据三角形的面积公式，得出△AOC的面积．
【详解】解：一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，即A（2，4），B（0，2），
与x轴交于点C（-2，0），
根据一次函数解析式的特点，可得出方程组，解得
则此一次函数的解析式为y=x+2，
△AOC的面积=|-2|×4÷2=4．
则此一次函数的解析式为y=x+2，△AOC的面积为4．
故答案为：y=x+2；4．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是掌握点在函数解析式上，点的横纵坐标就适合这个函数解析式．
16．
【分析】本题考查了根据实际问题抽象一次函数关系式的知识，仔细审题得出函数关系式是至关重要的一步，难度一般．
根据题意首先可以得出只要通话时间不超过分钟收费均为元，超过分钟后，每分钟收取元，由此可列出一次函数关系式．
【详解】解：由题意得，通话时间不超过分钟收费均为元，超过分钟后，每分钟收取元，且为整数，
故可得函数关系式为：且为整数，
故答案为：．
17．（1）（2）/
【分析】（1）根据s与x之间的函数关系可得，当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，此时快车到站，因此；
（2）根据相遇可知，列方程求解可得；
（3）分两种情况讨论，相遇前和相遇后两车相距，是相遇前的时间；
（4）由图像先确定C点横坐标，进而可得C点的坐标．
【详解】（1）由s与x之间的函数图像可知，过C点后，两车之间的距离增加变缓，由此可以得到，故（1）正确．
（2）设，将，代入，得，解得，
．
设，将点代入，得，解得，
解析式为．
当时，两车相遇，可得，
解得，故（2）正确．
（3）当时，因为，所以两车相距，
当时，两车相距，故（3）错误．
（4）由函数的图像可以得到点C的横坐标为3，即快车到达乙地，此时慢车所走的路程为，
点坐标为，故（4）错误．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的解法，一次函数解析式的求法，根据待定系数法求一次函数解析式．根据图像准确获取信息是解题的关键，易错点是会忽略分情况讨论．
18．(1)y与x之间的关系式为y=2x+60
(2)该天童装的单价是每件40元
【分析】(1)根据题意先设出y与x的函数关系式y=kx+b，再根据题目中的数据，即可求出该函数的解析式；
(2)将y= 80代入(1) 中函数关系式，求出相应的x的值即可．
【详解】（1）因为y是x的一次函数．
所以，设y与x的函数关系式为y=kx+b，
由题意知，当x=0时， y=60 ；当x=20时， y= 100，
所以，
解之得：
所以y与x之间的关系式为y=2x+60 ；
（2）当y=80时，由80=2x+60，
解得x=10，
所以50- 10= 40(元)，
所以该天童装的单价是每件40元．
【点睛】本题考查一次函数的应用， 解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式．
19．(1)A种商品进价50元，B种商品进价30元；
(2)共有5种进货方案，购买A种商品18件，B种22件，获得利润最大．
【分析】（1）设A种每件进价为x元，则B种每件（x 20）元，根据题意列分式方程，解方程求解即可；
（2）设购A种商品m件，则购B种商品（40 m）件，根据题意列一元一次不等式组，根据不等式组的解集可得进货方案，根据一次函数的性质即可求得总利润最大的进货方案．
【详解】（1）解：设A种每件进价为x元，则B种每件（x 20）元，根据题意，得
解得
经检验是原方程的解，
答：A种商品进价50元，B种商品进价30元；
（2）设购A种商品m件，则购B种商品（40 m）件，根据题意，得
解得
共有5种进货方案，
设商店共获利润为y元，则y＝（80 50）x＋（45 30）（40 x）＝15x＋600，
∵15＞0，
∴y随x增大而增大，
∴当x＝18时，y最大＝870（元），
此时，A种商品18件，B种22件．
答：购买A种商品18件，B种22件，获得利润最大．
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程、不等式和函数关系式．
20．(1)A，B ；
(2)；
(3)OF=AB．
【分析】（1）分别令和代入解析式求解；从而得到点和点坐标；
（2）写出点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；
（3）根据三角形面积列方程求点的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解；
【详解】（1）当时，，
当时，，
解得：，
点坐标为，点坐标为，
（2）点是线段上的一个动点（不与，重合），设点的横坐标为，
过点作轴，
点坐标为，
的面积，
即；
（3）OF=AB．理由如下：
当的面积时，
，
解得：，
点坐标为，
在中，，
在中，，
；
【点睛】本题考查一次函数的应用以及勾股定理，综合性较强，掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键．
21．(1)，型设备单价分别是元．
(2)，最少购买费用为元
【分析】（1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；
（2）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立一元一次不等式，求得的最小整数解，根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
【详解】（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意得，
，
解得，
经检验是原方程的解，
型设备的单价为元；
答：，型设备单价分别是元．
（2）设购买台型设备，则购买型设备台，依题意，
，
解得，
的最小整数解为，
购买总费用为元，，
，
，随的增大而增大，
时，取得最小值，最小值为．
答：最少购买费用为元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键．
22．(1)
(2)存在，或
(3)或3
【分析】（1）先求点，点的坐标，代入解析式可求解；
（2）设点坐标为，由三角形的面积公式可求解；
（3）如图3，设直线与的交点为或，过点作轴，过点作于，过点作于，由全等三角形的性质求出点，点坐标，即可求解．
【详解】（1），
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点A和点D代入得，，解得，
直线的解析式为，
在中，，
点、点关于直线对称，
，
，
设，
，
在中，，
，
，
，
，
直线的解析式为；
（2），，，
，
，
，
设点坐标为，
，
或6，
点或；
（3）如图3，设直线与的交点为或，过点作轴，过点作于，过点作于，
设点，
点，
，，
直线与直线夹角等于，
，
，，
，
，
又，，
，
，，
点的坐标为，
点在直线上，
，
，
点，，点，，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为：，
同理：直线的解析式为：，
或3．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
23．(1)方式一：y与x之间的函数关系是，方式二：
(2)①租书的数量是20本时，花费一样；②租书的数量超过20本时，方式二合算；③租书的数量不足20本时，方式一合算
【分析】（1）根据题意，可以分别写出方式一和方式二，y与x之间的函数关系；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可得到花费相同时租书的数量，然后租书的数量超过此值时方式二合算，不足此值时，方式一合算，即可解答本题．
【详解】（1）由题意可得，
方式一：y与x之间的函数关系是，
方式二：．
（2）∵
∴
∴①租书的数量是20本时，花费一样；
②租书的数量超过20本时，方式二合算；
③租书的数量不足20本时，方式一合算．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
24．（1）400x-2000，350x；（2）22000；21000；（3）选择方案一
【详解】（1）由题意可得，
用方案一处理废渣时，每月的利润为：x（1000-550）-50x-2000=400x-2000；
用方案二处理废渣时，每月利润为：x（1000-550）-100x=350x；
故答案为400x-2000，350x；
（2）当x=30时，
用方案一处理废渣时，每月的利润为：400×30-2000=10000元；
用方案二处理废渣时，每月利润为：350×30=10500元；
x=60时，
用方案一处理废渣时，每月的利润为：400×60-2000=22000；
用方案二处理废渣时，每月利润为：350×60=21000；
（3）令400x-2000=350x，
解得x=40
即当生产产品数量少于40时，选择方案二；当生产产量大于40时，选择方案一.
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