第十六章一元二次方程同步练习（含解析）

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第十六章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
2．用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子经过配方运算，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．解方程时．如果设，那么原方程可化为（ ）
A． B． C． D．
5．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝200
6．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）
A． B．
C． D．
7．某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场每天要获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？
这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（　　）
A．涨价后每件玩具的售价是元; B．涨价后每天少售出玩具的数量是件 C．涨价后每天销售玩具的数量是件 D．可列方程为：
8．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A．36（1﹣x）2＝36﹣25 B．36（1﹣2x）＝25
C．36（1﹣x）2＝25 D．36（1﹣x2）＝25
9．若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．或
10．已知a，b，c是△ABC三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+=0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
11．某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米，宽为12米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为112米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是( )

A．2米 B．米 C．2米或米 D．3米
12．关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（　　）
A．﹣＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣＜a＜0
二、填空题
13．如果关于x的方程有一个根为2，那么m= ．
14．关于x的一元二次方程的两实数根，，满足，则m的值是 ．
15．方程x2－2x－3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写出一个根为[－2，3]的一元二次方程 ．
16．某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出x个小分支，则x= ．
17．方程2x2=－8化成一般形式后，一次项系数为 ，常数项为 ．
三、解答题
18．用配方法解方程：．
19．已知关于x的方程2x2+kx-1=0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根是-1，求方程的另一个根．
20．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．用公式法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）． （4）．
22．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可以卖出（350﹣10a）件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，如果商店计划要赚400元，那么每件商品售价是多少元？
23．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2016年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2018年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆.
（1）求2016年底至2018年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2019年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2020年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2019年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
（2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．
①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？
②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？
《第十六章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C A C B D C C B
题号 11 12
答案 A D
1．C
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
2．C
【分析】将常数项移到方程的右边后，把二次项系数化为1后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【详解】∵，
∴，
∴，
即．
故选：C
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．C
【详解】试题分析：解：一元二次方程的配方要求是；一次项系数一半的平方÷二次项系数，很显然A,B,D正确，只有C错误，所以选择C．
考点：一元二次方程的配方．
点评：根据配方的要求，结合选项一一分析，易得错正确的结论，注意点；在配方时多出的数值要减去，本题难度不大，属于基础题．
4．A
【分析】根据方程的特点，设，可将方程中的全部换成，转化为关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程．
【详解】把代入原方程得：，方程两边同乘以整理得：.
故选A.
【点睛】此题考查换元法解分式方程，解题关键在于掌握运算法则.
5．C
【分析】设长为(x＋10)米，可列方程x(x＋10)＝200．
【详解】解：∵花圃的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，
∴长为(x＋10)米．
∵花圃的面积为200，
∴可列方程为x(x＋10)＝200．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的几何问题，利用“长比宽多10米”用未知数把长和宽表示出来是解题的关键．
6．B
【分析】主要考查增长率问题，一般用"增长后的量=增长前的量×（1+增长率）"，如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程．
【详解】设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：100（1+x），
三月份生产机器为：100（1+x）2；
又知二、三月份共生产280台；
所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2=280．
故选B．
【点睛】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
7．D
【详解】A.涨价后每件玩具的售价是元，正确；B.涨价后每天少售出玩具的数量是件，正确；C.涨价后每天销售玩具的数量是件，正确；D.可列方程为：，错误，应为(30+x-20)(300-10x)=3750，故选D.
8．C
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝25，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），
两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是36（1﹣x）2＝25．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用增长率问题，读懂题意列出方程是解答本题的关键．
9．C
【分析】将，则，，这样将高次幂全部降次降到1次幂截止，然后再求值即可.
【详解】解：∵，∴
∴
∴原式=
故答案为：C
【点睛】本题借助一元二次方程考查了降次思想及整体思想，本题的关键是将高次幂通过降次全部降到一次幂截止，然后再合并同类项即可求解.
10．B
【详解】分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b -4ac的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断．
详解:一元二次方程对应的判别式△=(a+b) -4c· =(a+b) -c ,,
∵在三角形中,两边之和大于第三边,
即a+b>c,
∴(a+b) -c >0,
∴△>0,
∴方程cx2+(a+b)x+=0有两个不相等的实数根,
故选B.
点睛：本题考查了根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根； （2）△=0，方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0，方程没有实数根．
11．A
【分析】根据矩形面积的相关知识进行作答.
【详解】设宽度为x，将大矩形空地划分为两个相等的小矩形绿地和两个相等的细长矩形和三个相等的小细长矩形，运用大矩形空地面积等于划分的几个矩形面积之和建立方程式，即 ，解出x=2，所以，选A.
【点睛】本题考查了矩形面积的相关知识，熟练掌握矩形面积的相关知识是本题解题关
12．D
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1-1）（x2-1）＜0，x1x2-（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且△＞0，
由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，
解得，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
那么（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，
，x1x2=9，
即，
解得，
综上所述，a的取值范围为：.
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．根与系数的关系为：.
13．9
【分析】把方程的根代入方程中，可得关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【详解】把x=2代入方程中，得：4-12+m-1=0
解得：m=9
故答案为：9
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念．
14．2
【分析】先根据根的判别式求得m的取值范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到x1x2＝m2 m＝2，进而求得m＝2或m＝ 1，故可得解．
【详解】解：由题意得Δ＝（2m）2 4（m2 m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程的两实数根，，
则x1x2＝m2 m＝2，
∴m2 m 2＝0，解得m＝2或m＝ 1（舍去），
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1x2＝．
15．x2－x－6＝0(答案不唯一)
【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，利用一元二次方程根与系数的关系可以求出该方程．
【详解】设该方程为ax2+bx+c=0，
x1+x2=-，x1 x2=，
方程的两根为-2和3，
则-=-（-2+3）=-1，
=（-2）×3=-6，
如果a=1，则b=-1，c=-6，
则该方程为x2-x-6=0．
答案不唯一．
故可以填x2-x-6=0．
故答案为x2－x－6＝0(答案不唯一)
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，先设出一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系可求出方程．
16．9
【分析】根据主干+支干数目+支干数目×支干数目=91，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，
∴小分支的个数为：x×x=x2，
∴可列方程为：1+x+x2=91．
解得：x1=9，x2=-10（舍去）．
答：每个支干长出9个小分支．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程求解．
17． 0 8
【详解】把右边的项移到左边得：2x2+8=0，所以一次项系数为：0，常数项为： 8.
故答案为： 0，8.
18．，
【分析】先对原方程进行配方，可得，再利用完全平方公式可得，然后通过开平方可求出方程的解．
【详解】解：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【点睛】此题考查一元二次方程的求解，掌握配方法是解题关键．
19．(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）计算得到根的判别式大于0，即可证明方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系可直接求出方程的另一个根.
【详解】解：(1)∵△=k2+8＞0，
∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)设方程的另一个根为x1，
则，
解得：，
∴方程的另一个根为.
【点睛】本题是对根的判别式和根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
20．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】把常数项移到右边，将二次项系数化为1，然后在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，再写成完全平方的形式开方求解．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
；
（4）解：，
，
，
．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．（1），；（2）；（3）；（4）没有实数根．
【分析】求出判别式判断有无实数根，再根据公式法逐一代入求解即可．
【详解】（1） 故原方程有两个不同实数根；
或
（2） 故原方程有两个相等的实根；
（3） 故原方程有两个不同的实数根；
（4） 故原方程无实数根．
【点睛】本题考查一元二次方程解法的公式法，掌握判别式的使用和公式是本题关键．
22．25元
【分析】本题的等量关系是商品的单件利润＝售价﹣进价．然后根据商品的单价利润×销售的件数＝总利润，设商品的售价为a，列出方程求出未知数的值后，根据“物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%”将不合题意的舍去，进而求出卖的商品的件数．
【详解】解：设每件商品售价是x元，
由题意，得（x﹣21）（350﹣10x）＝400；
化简，得x2﹣56x＋775＝0；
解得 x1＝25，x2＝31；
又21×（1＋0.2）＝25.2，
∴x＝31不合题意，舍去．
答：每件商品售价是25元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
23．(1)20%；（2）该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆.
【分析】（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据2016年底数量×(1+x)2=2018年底数量列出方程，求出x的值，不合题意的解，舍去即可；（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则得出2019年底和2020年底全市的汽车拥有量，从而列出不等式求解即可．
【详解】（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
故该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.
（2）设全市每年新增汽车数量为万辆，
∴2019年底全市的汽车拥有量为万辆，
2020年底全市的汽车拥有量为万辆.
∵到2020年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆，
∴.
解得.
∴该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆.
【点睛】本题考查了一元二次方程和不等式的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程及不等式是解决问题的关键.
24．（1）见解析；（2）①4；②m＝2，菱形的边长为1
【分析】（1）计算判别式的值，然后利用非负数的性质得到△≥0，从而得到结论；
（2）①先解方程得到AB、AD的长，然后计算矩形的面积；
②根据菱形的性质得到AB＝AD，则△＝0，从而得到m＝2，然后解方程可确定菱形的边长．
【详解】（1）证明：∵△＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：①当m＝5时，x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4，
即AB、AD的长为1、4，
∴矩形的面积＝1×4＝4；
②∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴△＝0，即（m﹣2）2＝0，解得m＝2，
方程化为x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，
∴菱形的边长为1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系、平行四边形的性质和菱形的性质．
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