17.1 方差 同步练习（含解析）

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17.1方差
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一组数据为：31 30 35 29 30，则这组数据的方差是（ ）
A．22 B．18 C．3.6 D．4.4
2．甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的物品，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下（单位：克）
借助计算器判断，包装机包装的10袋物品的质量比较稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．一样稳定 D．无法判断
3．甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次
甲 87 95 85 93
乙 80 80 90 90
据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为，，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分
B．甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分
C．乙同学四次数学测试成绩的众数是80分
D．乙同学四次数学测试成绩较稳定
4．一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．已知数据：1，2，4，3，5，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是3 B．中位数是4 C．方差是2 D．标准差是
6．现有甲组数据：1、2、3、4、5，乙组数据：11、12、13、14、15；若甲、乙两组的方差分别为a、b，则a、b的关系是( )
A． B． C． D．
7．将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，那么下列结论成立的是（　　）
A．平均数不变 B．方差和标准差都不变 C．方差改变 D．方差不变但标准差改变
8．在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是( )
A．18，18，1 B．18，17.5，3 C．18，18，3 D．18，17.5，1
9．下列说法正确的是（ ）
A．为了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
B．掷一枚质地均匀的硬币，一定出现正面朝上
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，两组数据的方差，，则乙组数据较稳定
D．某位同学投篮球的命中率为0.6，说明他投篮10次，一定能命中6次
10．某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表：
年龄/岁 13 14 15 16
人数 5 18 ▂ ▂
由于表格污损，15岁、16岁的人数不清楚，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）
A．平均数、众数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．中位数、方差
11．某校将举办一场“中国汉字听写大赛”，要求每班推选一名同学参加比赛，为此，初二(1)班组织了五轮班级选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是96分，甲的成绩的方差是0.3，乙的成绩的方差是0.4，根据以上数据，下列说法正确的是( )
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
12．已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（ ）
A．－2或5.5 B．2或－5.5 C．4或11 D．－4或－11
二、填空题
13．极差是指一组数据中 与 的差．
14．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学根据上表分析得出如下结论：（l）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；（2）乙班优秀（每分钟输入汉字超过150个为优秀）的人数多于甲班优秀的人数；（3）甲班的成绩波动比乙班的成绩波动小、上述结论中正确的是 .（填序号）
15．某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是 环，中位数 环，方差是 环．
16．若、、的方差为，则、、的方差为 ．
17．贝贝在练习“投掷铅球”项目活动中进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如下：10，7，9，4，10．则贝贝5次成绩的极差是 ．
三、解答题
18．橙子中所含丰富的维生素C和其他营养成分对于增强免疫力、促进血液循环具有重要作用．王静从某水果超市购买了两箱橙子．带回家后称量得知．这两箱橙子的平均质量相同，第一箱共5颗橙子，质量分别为195g、190g、190g、185g、190g，第二箱共5颗橙子，其质量的方差为16，请计算并说明，哪一箱橙子的大小更均匀
19．甲乙两名战士在相同条件下各射击10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7 乙：6，7，7，6，7，8，7，9，8，5
（1）分别求出两组数据的方差和标准差；
（2）根据计算结果，评价一下两名战士的射击情况.
20．要从甲、乙两名同学中选出一名同学代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．
（1）已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；
（2）观察图形，直接写出甲，乙这10次射击成绩的方差，哪个大；
（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选 参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选 参赛更合适．
21．甲、乙两个样本的相关信息如下：样本甲数据：1，6，2，3；样本乙方差：=3．4．
（1）计算样本甲的方差；
（2）试判断哪个样本波动大．
22．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：
小华：7，8，7，8，9，9；小亮：5，8，7，8，10，10．
(1)填写下表：
平均数（环） 中位数（环） 方差（环）
小华 ________ 8 ________
小亮 8 ________ 3
(2)根据以上信息，教练选择了小华参加比赛，你认为理由是什么？
(3)若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差________．（填“变大”、“变小”或“不变”）
23．某篮球队运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在5天中进球的个数统计如果如下：队员每人每天进球数（个）经过计算，甲进球的平均数为x 甲=8和方差S2甲=3.2.
（1）求乙进球的平均数x 乙和方差S2乙；
（2）现在需要根据以上数据，从甲、乙二人中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员？说说你的理由？
24．（1）已知一组数据，2，0，，，3，0，1．计算这组数据的方差和标准差（精确到）．
（2）已知一组数据1，3，2，5，x的平均数是3，求这组数据的方差和标准差．
《17.1方差》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B B A B A C B
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】根据方差的定义先计算出这组数的平均数然后再求解即可.
【详解】解：这组数据的平均数为 ＝31，
所以这组数据的方差为×[（31﹣31）2+（30﹣31）2+（35﹣31）2+（29﹣31）2+（30﹣31）2]＝4.4，
故选D．
【点睛】方差和平均数的定义及计算公式是本题的考点，正确计算出这组数的平均数是解题的关键.
2．B
【分析】借助计算器求得甲乙的方差，再根据方差越小数据越稳定，比较两个方差的大小即可求得答案.
【详解】解：借助计算器可以求得甲包装机的方差为0.806，乙包装机的方差为0.172，所以乙的方差比较小即乙包装机包装的10袋物品的质量比较稳定．
故答案为B.
【点睛】本题考查计算器求方差及运用方差做决策，方差越小数据越稳定．
3．B
【分析】根据众数、中位数、平均数的求解方法以及方差的意义逐项计算、判断即可作答．
【详解】A项，甲同学四次数学测试成绩的平均数是分，故原说法错误，本项不符合题意；
B项，甲同学四次数学测试成绩的中位数是分，故说法正确，本项符合题意；
C项，乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，故原说法错误，本项不符合题意；
D项，根据方差越小数据越稳定，可知甲同学四次数学测试成绩较稳定，故原说法错误，本项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了众数、中位数、平均数的求解方法以及方差的意义，掌握方差越小数据越稳定，是解答本题的关键．
4．B
【分析】根据中位数的定义即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．
【详解】解：∵一组数据：3，4，4，6，的中位数为，若添加一个数据6，则这组数据变为3，4，4，6，6其中位数为4，
∴不发生变化的统计量是中位数，其他统计量均会发生变化，
故选B
【点睛】本题考查了求中位数，掌握中位数的定义是解题的关键．
5．B
【分析】根据平均数、中位数、方差及标准差可进行求解．
【详解】解：这组数据的平均数是：（1+2+4+3+5）÷5=3，
极差是：5-1=4；
把这组数据从小到大排列为1，2，3，4，5，最中间的数是3，则中位数是3；
方差是： [（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-4）2+（5-3）2]=2；
∴标准差为；
故选B．
【点睛】本题主要考查平均数、中位数、方差及标准差，熟练掌握运算公式是解题的关键．
6．A
【分析】根据题意，得出乙组数据是甲组数据中的各数分别增加了10而得到的，所以数据的波动性不变，方差相等，即可得出结果．
【详解】解：∵乙组数据是甲组数据中的各数分别增加了10而得到的，
∴数据的波动性不变，
∴甲、乙两组数据的方差相等，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了方差，解本题的关键在理解在每个数据上同加一个相同的数，则新数据的方差与原来的方差相同．
7．B
【分析】将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，这组数据的波动大小不变，方差和标准差都不变；这组数据的平均数也要减去这个数，平均数改变．由此即可解答.
【详解】将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，这组数据的平均数也要减去这个数，
所以选项A错误，方差和标准差都不变，所以选项C、D也都错误．
故选B．
【点睛】本题考查了平均数、方差和标准差的性质，熟知平均数、方差和标准差的性质是解题的关键．
8．A
【分析】根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行解答即可．
【详解】这组数据18出现的次数最多，出现了3次，则这组数据的众数是18；
把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（18+18）÷2=18，则中位数是18；
这组数据的平均数是：（17×2+18×3+20）÷6=18，则方差是：[2×（17﹣18）2+3×（18﹣18）2+（20﹣18）2]=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、中位数和方差，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]．
9．C
【分析】根据全面调查和抽样调查得意义可判断A选项；再根据概率的意义可判断B、D选项，根据方差的意义：方差小，数据波动小可判断C选项．
【详解】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式不合适，破坏性较强，应采用抽样调查，故此选项错误；
B、掷一枚质地均匀的硬币，会出现正面朝上和反面朝上两种情况，故此选项错误；
C、平均数相同的甲、乙两组数据，，则乙组数据比甲组数据稳定，说法正确；
D、某位同学投篮球的命中率为0.6，他投篮10次，不一定能命中6次，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了抽样调查、全面调查、方差以及概率，关键是熟练掌握各知识点．
10．B
【分析】根据有40位同学，而13、14岁的共5+18=23位同学，可得众数；然后利用中位数的定义可确定这组数据的中位数，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵共有40位同学，13、14岁的共5+18=23位同学，14岁的占18位同学，
∴14为众数，
∴第20个数和第21个数都是14，
∴数据的中位数为14．
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数与方差，解题的关键是熟知它们的定义．
11．A
【详解】因为，，
所以甲的成绩比乙的成绩稳定．
12．A
【分析】根据平均数和方差的公式列出关于x，m的方程求解．
【详解】解：设数据的平均数为m，则①，
，
整理得②，
把①代入②，得：，
化简得
解得：x=-2或5.5．
故选A．
【点睛】本题主要考查的是方差公式，平均数公式，以及一元二次方程的解法，方程思想在初中数学的学习中极为重要，也是中考中的热点，本题思考问题的角度独特，难度较大．
13． 最大数据 最小数据
【解析】略
14．（1），（2）.
【分析】平均水平的判断主要分析平均数；优秀人数的判断从中位数不同可以得到；波动大小比较方差的大小．
【详解】解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确；
甲班的方差大于乙班的，则说明乙班的波动小，所以（3）错误．
（1）（2）正确．
故答案为（1）(2).
【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
15． 8 8 2
【详解】平均数=（8+6+10+7+9）=8；题目中数据共有5个，中位数是按从小到大排列后第3个数，故这组数据的中位数是8；
方差S2=[（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]=2．
16．12
【分析】根据题意得到，然后求出、、的平均数为，再依据方差公式求解即可．
【详解】解：∵、、的方差为，
∴，
∴，
∵、、的平均数为，
∴、、的方差为：
，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了求方差，熟知求方差的公式是解题的关键．
17．6
【分析】根据极差的定义即可求得．
【详解】解：贝贝5次成绩的极差是10-4＝6．
故答案为：6．
【点睛】考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
18．第一箱橙子的大小更均匀
【分析】本题考查了方差，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
先计算平均数，然后根据方差的计算公式计算公差，再进行比较即可．
【详解】解：第一箱共5颗橙子，质量分别为195g、190g、190g、185g、190g，
平均数为：，
方差：，
第二箱共5颗橙子，其质量的方差为16，
∵，方差反应一组数据波动的大小，方差越大，数据波动就越大，方差越小，数据波动就越小，
∴第一箱橙子的大小更均匀．
19．（1），；，；（2）平均水平相同，乙射击较稳定
【分析】(1)先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式和标准差公式进行计算即可；
(2)依据甲乙两人平均成绩一样，乙射击成绩的方差小于甲，即可得出乙的成绩更加稳定．
【详解】解(1)∵ =×(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7，
∴=×[(8 7)2+(6 7)2+(7 7)2+(8 7)2+(6-7)2+(5 7)2+(9 7)2+(10 7)2+(4 7)2+(7 7)2]，
=×（1+1+0+1+1+4+4+9+9+0），
=3，
∴；
∵=×(6+7+7+6+7+8+7+9+8+5)=7，
∴=×[(6 7)2+(7 7)2+(7 7)2+(6 7)2+(7-7)2+(8 7)2+(7 7)2+(9 7)2+(8 7)2+(5 7)2]，
=×（1+0+0+1+0+1+0+4+1+4），
=，
∴；
(2)∵= ，<，
∴甲乙两人平均成绩一样，乙射击成绩的方差小于甲，即可得出乙的成绩更加稳定．
【点睛】本题主要考查了平均数，方差和标准差的定义与意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立
20．（1）8；（2）＞；（3）乙，甲．
【分析】（1）根据平均数的计算公式和折线统计图给出的数据即可得出答案；
（2）根据图形波动的大小可直接得出答案；
（3）根据射击成绩都在7环左右的多少可得出乙参赛更合适；根据射击成绩都在9环左右的多少可得出甲参赛更合适．
【详解】（1）乙的平均成绩是：（8+9+8+8+7+8+9+8+8+7）÷10=8（环）；
（2）根据图象可知：甲的波动大于乙的波动，则s甲2＞s乙2；
（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．
故答案为乙，甲．
21．（１）3.5；（2）样本甲的波动大
【详解】试题分析：（1）先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可．
（2）先比较出甲和乙的方差，再根据方差越大，波动性越大，即可得出答案．
试题解析：
（1）∵样本甲的平均数是，
∴样本甲的方差是：S2甲= [（1-3）2+（6-3）2+（2-3）2+（3-3）2]=3.5；
（2）∵S2甲=3.5，S2乙=3.4，
∴S2甲＞S2乙，
∴样本甲的波动大．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)变小
【分析】（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义求解即可；
（3）根据方差公式求解即可．
【详解】（1）解：小华射击命中的平均数：，
小华射击命中的方差：，
将小亮的成绩从低到高排列为：5，7，8，8，10，10则小亮射击命中的中位数：；
填表如下：
平均数（环） 中位数（环） 方差（环）
小华 8 8
小亮 8 8 3
（2）解：∵小华和小亮的平均成绩和中位数都相同，但是小华的方差比小亮的小，
∴说明小华的成绩更稳定，
∴选择小华参赛；
（3）解：小亮再射击2次后射击命中的平均数：，
小亮再射击2次后射击命中的方差：，
∵，
∴小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小，
故答案为：变小．
【点睛】本题主要考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和中位数．
23．（1）x 乙=8，S2乙=0.8；（2）乙成绩稳，选乙合适，见解析.
【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；
（2）根据方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．
【详解】（1）x 乙=(7+9+8+9+7)÷5=8，
S2乙=[(7-8)2+(9-8)2+…+(9-8)2]÷5=0.8.
（2）∵S甲2=3.2，S乙2=0.8，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的波动小，
∴应选乙去参加3分球投篮大赛．
【点睛】本题考查了方差、平均数，掌握它们的计算方法以及它们的性质是解题的关键．
24．（1）这组数据据，2，0，，，3，0，1的平均数是0，方差是，标准差约为；（2）这组数据的方差是2，标准差是．
【分析】（1）根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，从而得出标准差；
（2）根据平均数的计算公式先求出x的值，再代入方差公式求出这组数据的方差，然后求出标准差即可．
【详解】解：（1）这组数据据，2，0，，，3，0，1．的平均数是：
，
方差为
，
∴标准差为．
（2）∵这组数据1，3，2，5，x的平均数是3，
∴，
∴，
∴这组数据的方差是，
∴这组数据的标准差是．
【点睛】此题主要考查了平均数，方差和标准差，用到的知识点是平均数、方差和标准差的计算公式，关键是根据题意和公式列出算式．
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