第二十三章 图形的变换 单元练习（含解析）

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第二十三章图形的变换
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B＝30°， 则∠E的大小为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
2．如图，从甲地到乙地有三条路线：（1）甲乙 （2）甲乙 （3）甲乙 在这三条路线中，走（ ）条路线近．
A．（1） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
3．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（ ）
A． B． C． D．＋1
4．下列说法中正确的是（ ）
A．能重合的图形一定是成轴对称图形
B．成中心对称的图形一定是重合的图形
C．两个成中心对称的图形的对称点连线不一定过对称中心
D．两个会重合的三角形一定关于某一点成中心对称
5．如图，在中，， 将绕点逆时针旋转得到，其中点与 点是对应点，且点在同一条直线上；则的长为( )
A． B． C． D．
6．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上，延长AC交DE于F，若AF＝8，则AB的长为（　　）
A．4 B．4 C．4 D．6
8．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（　　）
A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）
9．在如图所示的单位正方形网格中，经过平移后得到，已知在AC上一点平移后的对应点为，点绕点O逆时针旋转180°，得到对应点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知在中，，点D为BC的中点，点E在AC上，将沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
①；②；③和的面积相等；④和的面积相等
A．①② B．①③ C．③ D．①②③
11．如图，在中，，，，点是边上的中点，点是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为（ ）
A． B． C． D．3
12．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC＇＝ .

14．在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,- 3),作点A关于x轴的对称点,得到点A',再作点A'关于y轴的对称点,得到点A″,则点A″的坐标是 .
15．点与点B关于y轴对称，点B与点C关于x轴对称，则点C的坐标是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，则D的坐标为 ，连接AC，BD．在y轴上存在一点P，连接PA，PB，使S四边形ABDC，则点P的坐标为 ．
17．线段轴是对称图形，它有 条对称轴．
三、解答题
18．矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
19．求证：在直角坐标系中，点A（x，y）与点B（－x，-y）关于原点成中心对称．
20．如图，在平面直角坐标系中，P(a,b)是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1(a+6, b+2)，
（1）请画出上述平移后的△A1B1C1，并写出点A、C、A1、C1的坐标；
（2）求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积．
21．绕点C逆时针旋转角得，连结、.交于点D，交、于点E、点F.
（1）在图中不添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等三角形，并加以证明.（全等除外）；
（2）当是等腰三角形时，求.
22．如图1，在等边三角形中，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交射线于点，交射线于点，使．
(1)如图2，当点与点重合时，求证：为中点；
(2)当点在边上时，求与之间的数量关系；
(3)当点在延长线上时，（2）中的结论是否仍成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
(1)画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后的；
(2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的；
(3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．
24．（1）如图，为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市，使到三个小区的距离相等，请你用尺规作图在下图中作出点．

（2）已知点，点和直线，在直线上求作一点，使最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

《第二十三章图形的变换》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B A B C A C A
题号 11 12
答案 C A
1．A
【详解】试题分析：∵∠B与∠E是对应角，∠B=30°，AF为对称轴，
∴∠E=∠B=30°．
故选A．
考点：轴对称的性质．
2．D
【分析】将三条线路分别进行平移，可知三条线路的长度都是长方形周长的一半，由此得出结论．
【详解】如图所示：
三条路线的长度都是大长方形周长的一半．
答案：D．
【点睛】本题考查平移，将图形进行适当平移后再分析是解题关键．
3．A
【分析】根据正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，进而根据对称性可知，BP+EP＝PD+PE，当在同一直线上时，的值最小为的长，进而根据勾股定理求得的值．
【详解】解：连接BD，
∵正方形是轴对称图形，所在的直线是正方形的一条对称轴，
∴无论P在什么位置，都有PD＝PB；
故均有BP+EP＝PD+PE成立；
连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置，
如图所示：
此时BP+EP＝DE，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴DC＝BC＝2，
∵E是BC的中点，
∴EC＝1，
在Rt△DEC中，
DE＝＝＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，理解对角线所在的直线是正方形的对称轴是解题的关键．
4．B
【分析】根据轴对称和中心对称的定义和性质判断即可．
【详解】解：轴对称图形是沿对称轴折叠重合的图形，而全等的图形即可重合，所以A错误；
成中心对称的图形全等，可重合，所以B正确；
成中心对称的图形的对称点连线一定过对称中心，所以C错误；
全等的三角形关于某一点旋转180°后可以重合，才成中心对称，所以D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的定义，中心对称的定义，轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相完全重合，这个图形就叫做轴对称图形．中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称点．中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
5．A
【分析】根据旋转的性质说明△ACC′是等腰直角三角形，且∠CAC′=90°，理由勾股定理求出CC′值，最后利用B′C=CC′-C′B′即可．
【详解】解：根据旋转的性质可知AC=AC′，∠ACB=∠AC′B′=45°，BC=B′C′=1，
∴△ACC′是等腰直角三角形，且∠CAC′=90°，
∴CC′=＝4，
∴B′C=4-1=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，在解决旋转问题时，要借助旋转的性质找到旋转角和旋转后对应的量．
6．B
【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根据折叠性质得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，进而求得∠1＋∠2=110°即可求解．
【详解】解：∵∠A＝55°，
∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，
∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，
由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，
∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，
∵∠1＝95°，
∴∠2＝110°－95°＝15°，
故选：B．
【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键．
7．C
【分析】根据旋转的性质得到AB＝BE，∠A＝∠E＝30°，设BC＝x，根据直角三角形的性质得到AB＝DE＝2x，根据勾股定理得到AC＝，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：∵把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴AB＝BE，
∴∠A＝∠E＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EDF＝90°，
设BC＝x，
∴AB＝BE＝2x，
∴CE＝x，AC＝，
∵∠ECF＝90°，∠E＝30°，
∴CF＝EF，
∵CE＝x，
∴CF＝，
∵AF＝8，
∴，
∴x＝
∴AB＝2x＝，
故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．A
【详解】试题分析：∵线段AB向左平移一个单位，∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．故选A．
考点：1．位似变换；2．坐标与图形变化-平移；3．几何变换．
9．C
【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．
【详解】解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），
∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），
∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，
∴P2点的坐标为：（1.6，1）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．
10．A
【分析】先判断出是直角三角形，再利用三角形的外角判断出①正确，进而判断出，得出是的中位线判断出②正确，利用等式的性质判断出④正确．
【详解】如图，连接，
∵点是中点，
∴，
由折叠知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
由折叠知，，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，故②正确，
∵，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴，故④正确，
无法判断和的面积是否相等，
∴③不正确，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．
11．C
【分析】连接，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵在中，，，，
∴，
∵点是边上的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
根据折叠可知：，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
12．A
【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．
13．5
【详解】解：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，∴三角板向右平移了5个单位，
∴顶点C平移的距离CC′=5．
故答案为5．
【点睛】本题考查平移的性质，简单题目．
14．(-2,3)
【详解】解：∵点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，
∴A′的坐标为：（2，3），
∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，
∴点A″的坐标是：（﹣2，3）．
故答案为（﹣2，3）．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
15．（2，-3）
【分析】先根据关于轴对称的点的特征求得点的坐标，再根据关于轴对称的点的特征求得点的坐标即可．
【详解】点与点B关于y轴对称，
，
点B与点C关于x轴对称，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中对称点的坐标特点，掌握对称点的坐标特点是解题的关键．①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数．
16． （4，2） （0，4）或（0，-4）
【分析】根据B点的平移方式即可得到D点的坐标；设点P到AB的距离为h，则S△PAB=×AB×h，根据S△PAB=S四边形ABDC，列方程求h的值，确定P点坐标；
【详解】解：由题意得点D是点B（3，0）先向上平移2个单位，再向右平移1个单位的对应点，
∴点D的坐标为（4，2）；
同理可得点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴，
设点P到AB的距离为h，
∴S△PAB=×AB×h=2h，
∵S△PAB=S四边形ABDC，
得2h=8，解得h=4，
∵P在y轴上，
∴OP=4，
∴P（0，4）或（0，-4）．
故答案为：（4，2）；（0，4）或（0，-4）．
【点睛】本题主要考查了根据平移方式确定点的坐标，坐标与图形，解题时注意：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
17．2
【详解】线段的对称轴有两条，分别是线段的垂直平分线和线段所在的直线，
故答案为2．
18．是．它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线．
【分析】根据轴对称图形的概念和矩形的性质进行分析即可．
【详解】解：矩形是轴对称图形，有2条对称轴是过矩形两组对边中点的直线．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，关键是正确确定对称轴．
19．见解析
【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△BDO（SAS），得到∠AOC=∠BOD，AO=BO，进而推出∠AOD+∠BOD=180°，即可得到将点A绕点O旋转180°后，点A与点B重合，即点A（x，y）与点B（－x，-y）关于原点成中心对称．
【详解】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵点A（x，y）与点B（－x，-y），
∴OC=OD=x，AC=BD=y，
∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴∠AOC=∠BOD，AO=BO，
∵∠AOD+∠AOC=180°，
∴∠AOD+∠BOD=180°，
∴将点A绕点O旋转180°后，点A与点B重合，即点A（x，y）与点B（－x，-y）关于原点成中心对称．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，中心对称的定义，正确掌握全等三角形的判定定理及中心对称的定义是解题的关键．
20．（1）A（-3，2）、C（-2，0）、A1（3，4）、C1（4，2）；（2）14．
【分析】（1）横坐标加6，纵坐标加2，说明向右移动了6个单位，向上平移了2个单位；
（2）以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积可分割为以AC1为底的2个三角形的面积．
【详解】解：（1）如图，作出△A1B1C1；
各点的坐标为：A（-3，2）、C（-2，0）、A1（3，4）、C1（4，2）；
（2）如图，连接AA1、CC1；
×7×2＝7；
×7×2＝7；
四边形的面积为7+7=14．
答：四边形ACC1A1的面积为14．
【点睛】本题涉及的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；求四边形的面积通常整理为求几个三角形的面积的和．
21．（1）；（2）30°
【详解】试题分析：（1）由旋转的意义可证∠GCF=∠BCD，GC=BC，∠G=∠CBD=45°，即可证得结论；
（2）当是等腰三角形时，要分别讨论HB=HD、BH=BD、HD=DB三种情况，第一、三种情况不成立，只有第二种情况成立，即可求得结果．
（1）∵∠ACH+∠GCF=∠ACH+∠BCD=90°
∴∠GCF=∠BCD
∵GC=BC
∴∠G=∠CBD=45°
∴；
（2）在△CBH中
∵CB=CH
∴∠CBH=∠CHB=（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若HB=HD，则∠HDB=∠HBD
∵∠HDB=45°+α
∠HBD=∠CBH-45°=（180°-α）-45°=45°-
∴45°+α=45°-，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BHC=∠HBC＞∠HBD，∴BD＞HD，即BD≠HD；
③若BH=BD，则∠BDH=∠BHD，即45°+α=（180°-α），解得α=30°
由①②③可知，当为等腰三角形时，α=30°.
考点：旋转问题的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
22．(1)证明见解析
(2)
(3)成立，证明见解析
【分析】（1）根据题意得出，证明得出，继而得出，根据三线合一即可得证；
（2）在上取一点，使得．连接交于点，证明，四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质即可得证；
（3）方法同（2）证明即可得证．
【详解】（1）证明：如图2中，
是等边三角形，
，，
点与重合，
，，重合，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，即为中点；
（2）解：如图1中，在上取一点，使得．连接交于点．
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
；
（3）结论成立．
理由：如图3中，在上取一点，使得．连接交于点．
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
23．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)能，作图见解析，点的坐标为
【分析】（1）根据点平移的坐标变换特征得到、、的坐标，然后描点即可；
（2）根据关于以原点为位似中心的对应点的特征得到、、的坐标，然后描点即可；
（3）延长、、，它们的交点为位似中心点，从而得到点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示：
为所作；
（2）解：如图所示：
为所作；
（3）解：与关于点为位似中心的位似图形，如图所示：
点为所作，点的坐标为．
【点睛】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，涉及平移变换，按照题目中的变换描点作图是解决问题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查作图－应用与设计作图，轴对称求最短距离．
（1）由题意可得，作出线段的垂直平分线、的交点D，即可求解；
（2）作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，则点即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求，
；
（2）点P即为所求，
；
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