第十七章一元二次方程同步练习（含解析）

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第十七章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，（为任意实数），那么、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．某校早规划设计时，准备在教学楼与综合楼之间，设置一块面积为600平方米的矩形场地作为学校传统文化建设园地，并且长比宽多50米，设该场地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x﹣50）=600 B．x（x+50）=600 C．x（50﹣x）=600 D．2[x+（x+50）]=600
3．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
7．已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数为( )
A． B． C． D．
9．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是（　　）
A．x2+130x﹣1400=0 B．x2﹣130x﹣1400=0
C．x2+65x﹣250=0 D．x2﹣65x﹣250=0
10．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分比率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．把方程化成（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（ ）．
A．2，7 B．2，5 C．，7 D．，5
12．设方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是(　　)
A．－4 B．－1 C．1 D．0
二、填空题
13．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
14．若，是方程的两个实数根，则的值为 ．
15．已知实数， 满足等式，，则的值是 ．
16．方程2x(x 2)=3(x 2)的解是 ．
17．如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，经过 秒，的面积是面积的一半？
三、解答题
18．所示，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144m2，求甬路的宽度．
19．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
20．用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)．
21．先化简，再求值：，其中，是方程的根．
22．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：）
23．直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由．
24．解下列方程：
（1）x2+6x+5=0； （2）2x2+6x－2=0； （3）（1+x）2+2（1+x）－4=0.
《第十七章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B A D D A A C D
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】利用作差法判断与大小即可．
【详解】解：，（为任意实数），
，
，
即，
则．
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，数量掌握完全平方公式是解题的关键．
2．B
【分析】宽为x米，则长为(x+50)米，根据矩形的面积公式列方程即可.
【详解】∵该矩形场地的宽为x米，
∴长为(x+50)米，
则x(x+50)＝600.
故选B.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用.熟练掌握矩形的面积计算公式是解题的关键.
3．B
【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
∴．
故选B．
4．A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【详解】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∴（舍去）或
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即
∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴
∴ ，故③错误；
④整理得：
∴
∵整数解
∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．
5．D
【分析】将等式变形为，利用将原式降次最后化简为2x，利用求根公式求的根，由，舍去负根，讲x代入即可．
【详解】将方程变形，
，
，
，
，
，
，
由
△=1+4=5，，由，则，
，
原式=．
故选择：D．
【点睛】本题考查代数式的求值问题，关键是会将方程变形，利用得到的等式进行降次化简是解题关键．
6．D
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
∴，
解得：且k≠2．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
7．A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解.
【详解】∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，
∴x1+x2﹣3x1x2=﹣b+9=5，
解得b=4.
故选A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），
韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.
8．A
【分析】根据判别式的意义得到△=（-5）2-4k＞0，解不等式得k的取值范围，然后在此范围内找出最大整数即可．
【详解】解：由题意得△=（-5）2-4k＞0，
解得k＜，
所以k可取的最大整数为6，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9．C
【分析】挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，根据整个挂图的面积是5000cm2，即长×宽=5000，列方程进行化简即可．
【详解】解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；
所以（80+2x）（50+2x）=5000，
即4x2+160x+4000+100x=5000，
所以4x2+260x-1000=0．
即x2+65x-250=0．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据面积列方程是解题的关键．
10．D
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格，据此即可列方程求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，
由题意得：．
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解百分率问题的应用题的解题方法是解题的关键．
11．C
【分析】利用配方法将一元二次方程进行化简变形即可得．
【详解】解：，
，
，
，
∴，，
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用配方法将一元二次方程进行变形，熟练掌握配方法是解题关键．
12．B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之积即可．
【详解】解：∵方程x2－4x－1＝0的两个根为x1与x2，
∴x1x2＝－1．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．
13． 1 2
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，c叫做常数项．
先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得，所以二次项系数为，一次项系数为2，常数项是
【详解】解：由得到：，
∴其二次项系数是1，一次项系数为2，常数项为．
故答案为：1，，．
14．2020
【分析】先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，，
所以，
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用整体代入法是本题的关键．
15．
【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
【详解】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．
16．x1=2，x2=
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵2x(x 2)=3(x 2)，
∴2x(x 2)-3(x 2)=0，
则（x-2）（2x-3）=0，
∴x-2=0或2x-3=0，
解得：x1=2，x2=；
故答案为：x1=2，x2=．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解题的关键是选择适当的解题方法．
17．或
【分析】设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，由点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s表示出BP=4xcm，CQ=2xcm，进而表示出AP=（24-4x）cm，AQ=（16-2x）cm，利用面积列出方程求解即可．
【详解】设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，
∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，
∴BP=4xcm，CQ=2xcm，
（1）当AP=（24-4x）cm，AQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（24-4x）（16-2x）=××24×16，
整理得x2-14x+24=0，
解得：x=2或x=12（舍去）．
（2）当AP=（4x-24）cm，AQ=（2x-16）cm，
根据题意得：（4x-24）（2x-16）=××24×16，
整理得x2-14x+24=0，
解得：x=2（舍去）或x=12．
故答案是：2或12．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是用x的式子表示出AP=（24-4x）cm，AQ=（16-2x）cm，利用面积列出方程.
18．2米．
【分析】设甬路的宽为xm，六块草坪的面积为，根据面积之间的关系列方程，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．
【详解】解：设甬路的宽为xm,根据题意得
整理得
解得
当x=44时不符合题意，故舍去，
所以x=2.
答：甬路的宽为2米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握列一元二次方程解应用题的方法与步骤,把甬路进行平移，表示出草坪的长与宽是解题的关键．
19．(1)
(2)该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可；
（2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可．
【详解】（1）解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
【分析】（1）将方程左边提公因式法进行分解，即可解方程；
（2）将方程变形为，左边提公因式法进行分解，即可解方程；
（3）将方程左边利用平方差公式进行分解，即可解方程；
（4）将方程变形为，左边利用完全平方公式进行分解，即可解方程；
（5）将方程左边利用平方差公式进行分解，即可解方程；
（6）将方程左边利用平方差公式进行分解，即可解方程；
（7）将方程变形为，左边利用平方差公式进行分解，即可解方程；
（8）将方程左边提公因式法进行分解，即可解方程；
（9）将方程左边利用平方差公式进行分解，即可解方程．
【详解】（1），
因式分解，得，
∴或
∴，．
（2）
整理，得，
因式分解，得，
∴或
∴，．
（3）
因式分解，得，
∴或
∴，．
（4）
整理，得，
因式分解，得，
∴，
∴．
（5）
因式分解，得，
即
∴或
∴，．
（6）
因式分解，得，
即
∴或
∴，．
（7）
变形，得
因式分解，得，
即
∴或
∴，．
（8）
因式分解，得，
即
∴或
∴，．
（9）
因式分解，得，
即
∴或
∴，．
【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
21．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴原式．
22．(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动约用了秒
【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少，
答：小球的滚动速度平均每秒减少．
（2）解：设小球滚动约用了秒，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动约用了秒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．存在五个连续正整数，它们分别为：
【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，再根据题意，得出，解出然后再根据题意，得出符合题意的的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数．
【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，
∴可得：，
解得：或，
∵这五个数为正整数，
∴，
∴，，，，
∴这五个正整数为：，
∴存在五个连续正整数，它们分别为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在设出这五个正整数，再找到等量关系准确列出方程．
24．（1）∴x1=－1，x2=－5；（2）x1=－，x2=－－；（3）x1=－2，x2=－－2
【详解】试题分析：（1）先移项，再配方解出x即可；（2）先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x即可；（3）先去括号，再移项，然后配方解出x即可.
试题解析：
解：（1）移项，得x2+6x=－5，
配方，得x2+6x+32=－5+32，即（x+3）2=4，
由此可得：x+3=±2，
∴x1=－1，x2=－5；
（2）移项，得2x2+6x=－2，
二次项系数化为1，得x2+3x=－1，
配方，得x2+3x+（）2=－1+（）2，
即（x+）2=，由此可得x+=±，
∴x1=－，x2=－－；
（3）去括号整理，得x2+4x－1=0，
移项，得x2+4x=1，
配方，得（x+2）2=5，
由此可得x+2=±，
∴x1=－2，x2=－－2.
点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出x.
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