16.1二次根式同步练习（含解析）
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16.1二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的图象上的点一定在第（ ）象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数中，自变量x的取值范围是( )
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＞0 D．x≥﹣2且x≠0
4．下列式子正确的是( )
A．
B．
C．
D．
5．函数 ，自变量x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x≥3
C．x≥0且x≠1 D．x≥﹣3且x≠1
8．若等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．使式子有意义的实数的取值范围是( )
A．≥0 B． C． D．
10．下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
11．当代数式有意义时，则x的值不可以是（ ）
A．0 B． C．8 D．
12．x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
二、填空题
13．函数中．自变量x的取值范围是 ．
14．在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有 ．（填序号）
15．代数式的的取值范围是 ．
16．使式子有意义的的取值范围是 ．
17．当x 时，二次根式有意义．
三、解答题
18．先简化，再求值：
－，其中x＝6.
19．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
20．求下列函数中自变量的取值范围：
(1)；
(2)y=；
(3)．
21．计算：
（1）；
（2）；
22．(1)已知：y=––2016，求x+y的平方根．
(2)已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和a+3，求这个数x．
23．已知a，b满足．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根．
24．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）； （2）； （3）； （4）．
《16.1二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D B B D B D D
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】由二次根式和分式有意义的条件，得到，然后判断得到，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，则
∵，解得：，
∴，，
∴，
∴点一定在第二象限；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
2．B
【分析】根据二次根式的定义判断即可；
【详解】A.，无意义，故A错误；
B.是二次根式，故B正确；
C.是三次根式，故C错误；
D.没有说明a的取值范围，故D错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义应用，准确分析判断是解题的关键．
3．D
【分析】根据被开方数为非负数以及分母不为0进行求解即可.
【详解】根据题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠0，
故选D.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．D
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】A．原式，故本选项错误．
B．原式=，故本选项错误．
C．原式不能化简，故本选项错误．
D．原式=，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．1．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，0；当a＜0时，二次根式无意义．2．性质：|a|．
5．B
【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：由有意义得，，
解得：
故选：B
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．B
【分析】根据二次根式的除法法则计算即可.
【详解】解：，，，
，所以A，C，D错误，B正确.
故选B.
【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，熟练应用二次根式的除法法则是解题的关键.
7．D
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意，要使在实数范围内有意义，
必须
∴且x≠1．
故选D．
8．B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
【详解】解：∵等式成立，
∴，
故选：B．
9．D
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式即可求解．
【详解】解：根据题意，得
解得：
故选D.
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零.
10．D
【详解】试题解析：A、当时， 无意义，故此选项错误；
B、当时，无意义，故此选项错误；
C、当时，无意义，故此选项错误；
D、无论取什么值，都有意义，故此选项正确；
故选D．
11．D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式和有理数的大小比较，能熟记中是解此题的关键．
根据二次根式有意义的条件得出，求出，再逐个判断即可．
【详解】解：要有意义，则，
解得：，
A、∵，∴可以，故此选项不符合题意；
B、∵，∴可以，故此选项不符合题意；
C、∵，∴可以，故此选项不符合题意；
D、∵，∴不可以，故此选项符合题意；
故选：D．
12．D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得答案
【详解】解：由题意可得：x﹣3≥0，
解得，x≥3．
观察选项，只有D符合题意．
故选D．
13．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，且x 4≠0，
解得.
故答案为
【点睛】本题考查二次根式及分式成立的条件，掌握被开方数大于等于0，分母不能为0是解题关键．
14．②③⑥
【分析】根据最简二次根式的定义（最简二次根式定义是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.
【详解】∵①；④；⑤，都不是最简二次根式，
∴最简二次根式有②③⑥，
故答案为②③⑥．
【点睛】本题考查了最简二次根式，关键是理解最简二次根式的定义，最简二次根式定义是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数．
15．且
【分析】根据分式的分母不能为和二次根式的被开平方数大于等于进行求解．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，解得，且，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，不等式性质解不等式，正确把握定义及运算方法是解题的关键．
16．且
【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．
17．x≥
【详解】分析：根据二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，列不等式解答.
详解：由题意得
2x-3≥0,
∴x≥.
故答案为x≥.
点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，明确被开方式大于且等于零是二次根式成立的条件是解答本题的关键.
18．2x－7，5.
【详解】试题分析：根据二次根式的性质化简后再代入求值即可.
试题解析：
原式＝－＝|x＋1|－|x－8|.
∵x＝6，∴x＋1＞0，x－8＜0.
∴原式＝x＋1－[－(x－8)]＝x＋1＋x－8＝2x－7＝12－7＝5.
点睛：本题主要考查了二次根式的性质:，熟练运用二次根式的性质是解题的关键.
19．；1.
【详解】试题分析：由二次根式是非负数的性质即可得到结论．
试题解析：解：∵≥0，
∴当a=–时，有最小值，是0．
则+1的最小值是1．
20．(1)x为全体实数
(2)
(3)
【分析】（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
（3）当函数表达式是零指数时，底数不能等于零．
【详解】（1），可以取任意实数，
∴x的取值范围为全体实数；
（2）由题意得，
，
解之得，
1≤x≤3；
（3）由题意得，,
∴．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，函数自变量的范围一般从几个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
21．（1）3；（2）1
【分析】（1）首先计算绝对值、零次幂、开方，然后再计算有理数的加减即可；
（2）首先计算绝对值、开方，然后再计算有理数的加减即可．
【详解】（1） 原式=3+1-3+2
=3
（2） 原式=2+（-2）+-（-1）
=1
【点睛】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
22．（1）±1；（2）1.
【详解】试题分析：（1）先根据二次根式有意义的条件确定出x的值，继而确定出y的值，从而即可求；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得.
试题解析：（1）∵y=，
∴x﹣2017≥0且2017﹣x≥0，
∴x≥2017且x≤2017，
∴x=2017，
y=﹣2016，
∴x+y=2017﹣2016=1，
∴x+y的平方根是±1．
（2）根据题意，得a＋1＋a+3=0，解得a=-2，
∴a＋1=-1，a+3=1，
这个数x为1.
23．(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及平方根的求解，根据题意得是解题关键．
（1）由题意得，即可得，从而可求；
（2）求解即3的平方根即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴的平方根为．
24．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得不等式3+x≥0，再解不等式即可；
（2）根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式2x-1＞0，再解不等式即可；
（3）根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式2-3x＞0，再解不等式即可；
（4）根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式x≠0．
【详解】解：（1）根据题意，3+x≥0，解得：x≥-3；
（2）根据题意，2x-1＞0，解得：x＞；
（3）根据题意，≥0且2-3x≠0，即2-3x＞0，解得：x＜；
（4）根据题意，≥0且x-1≠0，即x≠1．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数和分式的分母不为0．
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16.1二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的图象上的点一定在第（ ）象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数中，自变量x的取值范围是( )
A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＞0 D．x≥﹣2且x≠0
4．下列式子正确的是( )
A．
B．
C．
D．
5．函数 ，自变量x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x≥3
C．x≥0且x≠1 D．x≥﹣3且x≠1
8．若等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．使式子有意义的实数的取值范围是( )
A．≥0 B． C． D．
10．下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
11．当代数式有意义时，则x的值不可以是（ ）
A．0 B． C．8 D．
12．x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
二、填空题
13．函数中．自变量x的取值范围是 ．
14．在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有 ．（填序号）
15．代数式的的取值范围是 ．
16．使式子有意义的的取值范围是 ．
17．当x 时，二次根式有意义．
三、解答题
18．先简化，再求值：
－，其中x＝6.
19．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
20．求下列函数中自变量的取值范围：
(1)；
(2)y=；
(3)．
21．计算：
（1）；
（2）；
22．(1)已知：y=––2016，求x+y的平方根．
(2)已知一个正数x的两个平方根分别是a+1和a+3，求这个数x．
23．已知a，b满足．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根．
24．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）； （2）； （3）； （4）．
《16.1二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D B B D B D D
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】由二次根式和分式有意义的条件，得到，然后判断得到，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，则
∵，解得：，
∴，，
∴，
∴点一定在第二象限；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
2．B
【分析】根据二次根式的定义判断即可；
【详解】A.，无意义，故A错误；
B.是二次根式，故B正确；
C.是三次根式，故C错误；
D.没有说明a的取值范围，故D错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义应用，准确分析判断是解题的关键．
3．D
【分析】根据被开方数为非负数以及分母不为0进行求解即可.
【详解】根据题意得：，
解得：x≥﹣2且x≠0，
故选D.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．D
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】A．原式，故本选项错误．
B．原式=，故本选项错误．
C．原式不能化简，故本选项错误．
D．原式=，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．1．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，0；当a＜0时，二次根式无意义．2．性质：|a|．
5．B
【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：由有意义得，，
解得：
故选：B
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．B
【分析】根据二次根式的除法法则计算即可.
【详解】解：，，，
，所以A，C，D错误，B正确.
故选B.
【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，熟练应用二次根式的除法法则是解题的关键.
7．D
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意，要使在实数范围内有意义，
必须
∴且x≠1．
故选D．
8．B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
【详解】解：∵等式成立，
∴，
故选：B．
9．D
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式即可求解．
【详解】解：根据题意，得
解得：
故选D.
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零.
10．D
【详解】试题解析：A、当时， 无意义，故此选项错误；
B、当时，无意义，故此选项错误；
C、当时，无意义，故此选项错误；
D、无论取什么值，都有意义，故此选项正确；
故选D．
11．D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式和有理数的大小比较，能熟记中是解此题的关键．
根据二次根式有意义的条件得出，求出，再逐个判断即可．
【详解】解：要有意义，则，
解得：，
A、∵，∴可以，故此选项不符合题意；
B、∵，∴可以，故此选项不符合题意；
C、∵，∴可以，故此选项不符合题意；
D、∵，∴不可以，故此选项符合题意；
故选：D．
12．D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得答案
【详解】解：由题意可得：x﹣3≥0，
解得，x≥3．
观察选项，只有D符合题意．
故选D．
13．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，且x 4≠0，
解得.
故答案为
【点睛】本题考查二次根式及分式成立的条件，掌握被开方数大于等于0，分母不能为0是解题关键．
14．②③⑥
【分析】根据最简二次根式的定义（最简二次根式定义是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.
【详解】∵①；④；⑤，都不是最简二次根式，
∴最简二次根式有②③⑥，
故答案为②③⑥．
【点睛】本题考查了最简二次根式，关键是理解最简二次根式的定义，最简二次根式定义是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数．
15．且
【分析】根据分式的分母不能为和二次根式的被开平方数大于等于进行求解．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，解得，且，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，不等式性质解不等式，正确把握定义及运算方法是解题的关键．
16．且
【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键．
17．x≥
【详解】分析：根据二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，列不等式解答.
详解：由题意得
2x-3≥0,
∴x≥.
故答案为x≥.
点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，明确被开方式大于且等于零是二次根式成立的条件是解答本题的关键.
18．2x－7，5.
【详解】试题分析：根据二次根式的性质化简后再代入求值即可.
试题解析：
原式＝－＝|x＋1|－|x－8|.
∵x＝6，∴x＋1＞0，x－8＜0.
∴原式＝x＋1－[－(x－8)]＝x＋1＋x－8＝2x－7＝12－7＝5.
点睛：本题主要考查了二次根式的性质:，熟练运用二次根式的性质是解题的关键.
19．；1.
【详解】试题分析：由二次根式是非负数的性质即可得到结论．
试题解析：解：∵≥0，
∴当a=–时，有最小值，是0．
则+1的最小值是1．
20．(1)x为全体实数
(2)
(3)
【分析】（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
（3）当函数表达式是零指数时，底数不能等于零．
【详解】（1），可以取任意实数，
∴x的取值范围为全体实数；
（2）由题意得，
，
解之得，
1≤x≤3；
（3）由题意得，,
∴．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，函数自变量的范围一般从几个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
21．（1）3；（2）1
【分析】（1）首先计算绝对值、零次幂、开方，然后再计算有理数的加减即可；
（2）首先计算绝对值、开方，然后再计算有理数的加减即可．
【详解】（1） 原式=3+1-3+2
=3
（2） 原式=2+（-2）+-（-1）
=1
【点睛】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
22．（1）±1；（2）1.
【详解】试题分析：（1）先根据二次根式有意义的条件确定出x的值，继而确定出y的值，从而即可求；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得.
试题解析：（1）∵y=，
∴x﹣2017≥0且2017﹣x≥0，
∴x≥2017且x≤2017，
∴x=2017，
y=﹣2016，
∴x+y=2017﹣2016=1，
∴x+y的平方根是±1．
（2）根据题意，得a＋1＋a+3=0，解得a=-2，
∴a＋1=-1，a+3=1，
这个数x为1.
23．(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及平方根的求解，根据题意得是解题关键．
（1）由题意得，即可得，从而可求；
（2）求解即3的平方根即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴的平方根为．
24．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得不等式3+x≥0，再解不等式即可；
（2）根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式2x-1＞0，再解不等式即可；
（3）根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式2-3x＞0，再解不等式即可；
（4）根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式x≠0．
【详解】解：（1）根据题意，3+x≥0，解得：x≥-3；
（2）根据题意，2x-1＞0，解得：x＞；
（3）根据题意，≥0且2-3x≠0，即2-3x＞0，解得：x＜；
（4）根据题意，≥0且x-1≠0，即x≠1．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数和分式的分母不为0．
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