17.3一元二次方程根的判别式同步练习（含解析）

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17.3一元二次方程根的判别式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　）
A．嘉嘉的解是正确的 B．淇淇说得对，因为
C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的
2．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＋3x＋2＝0 B．﹣x2＋x＋2＝0 C．（x＋1）2＋2＝0 D．3（x﹣1）2﹣2＝0
3．对于方程，如果方程实根的个数恰为个，则值等于（ ）
A．1 B．2 C． D．2.5
4．关于x的方程（m﹣3）x2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m＞1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3
5．一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
6．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为( )
A．4 B．2 C．0 D．－4
8．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
9．关于x的一元二次方程的根的情况，以下说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．根的情况与m的取值有关
10．如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（ ）.
A．或 B． C． D．且
11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
12．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
二、填空题
13．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是 .
14．若方程有两个相等的根，则方程的根分别是 ．
15．若关于的方程有实数解，则的取值范围是 ．
16．方程的根的判别式的值是 ．
17．如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是 ．
三、解答题
18．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解；
(3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值；
19．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
20．解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝2x+4；
（2）＝0．
21．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
23．已知关于x的方程，求证：无论p为何值，方程总有实数根．
24．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的差是2，求实数的值．
《17.3一元二次方程根的判别式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D B A A D A C
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
根据根的判别式求得，于是得到结论．
【详解】解：原方程可化为，
，
∴原方程无实数根，
故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解，
故选：C．
2．C
【分析】分别用一元二次方程根的判别式逐个判断方程的根的情况即可解答．
【详解】解：A．x2＋3x＋2＝0中，△＝32﹣4×1×2＝1＞0，有两个不相等实数根；
B．﹣x2＋x＋2＝0中，△＝12﹣4×（﹣1）×2＝9＞0，有两个不相等实数根；
C．（x＋1）2＋2＝0中，△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，没有实数根；
D．3（x﹣1）2﹣2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×3×1＝24＞0，有两个不相等实数根．
故答案为C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，当△＞0时，方程有两个不相等实数根；当△=0时，方程有两个相等实数根；当△小于0时，方程没有实数根．
3．B
【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．
【详解】原方程可化为x2-2|x|+2-m=0，解得|x|=1±，
∵若1-＞0，则方程有四个实数根，
∴方程必有一个根等于0，
∵1+＞0，
∴1-=0，
解得m=2．
故选B．
【点睛】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．
4．D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式列出关于m的一元一次不等式组，然后方程组即可.
【详解】解：∵（m-3）x2-4x-2=0是关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：m>1且m≠3.
故答案为D.
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确运用一元二次方程的定义和根的判别式解题是解答本题的关键.
5．B
【分析】根据判别式即可判断求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．据此列出不等式并求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根，
∴，
解得．
故选：A．
7．A
【分析】根据一元二次方程判别式的公式进行计算即可.
【详解】解:在这个方程中，a＝1，b＝－2，c＝0，
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键.
8．D
【分析】直线不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根．
【详解】∵直线不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程是一元二次方程，且△=，
∵m＜0，
∴-4m＞0,
∴1-4m＞1＞0,
∴△＞0,
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．
9．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
10．C
【分析】因二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以=0无实数根，据此求解即可.
【详解】∵二次三项式在实数范围内不能分解因式，
∴=0无实数根，
∴ =9-16a<0，
∴.
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0
11．C
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12．B
【详解】解：由题意得△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B．
13．1
【分析】方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△＞0，建立关于m的不等式，求得m的取值范围，再得出m的最大整数值．
【详解】∵关于x的方程x2+(3 m)x+=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2 4ac=(3 m)2 m2>0，
解之得m<，
∴m的最大整数值是1.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式.
14．，/，
【分析】根据根的判别式求得a＝﹣3，b＝0，把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0得：x2﹣3x＝0，解得x1＝0，x2＝3即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（a﹣3）x﹣3a﹣b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣3a﹣b2）＝＝（a+3）2+4b2＝0，
∴a＝﹣3，b＝0，
把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0
得：x2﹣3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，利用方程有两个相等的根求出a，b的值是解题的关键．
15．
【分析】首先把方程（x-a）2+b=0化为一般形式，再根据方程有实数解可得△≥0，再代入相应数据进行计算即可．
【详解】(x a)2+b=0，
x2 2ax+a2+b=0，
∵方程(x a)2+b=0有实数解，
∴△≥0，
( 2a)2 4(a2+b)=4a2 4a2 4b= 4b≥0，
解得：b≤0，
故答案为b≤0.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据直接开平方法解一元二次方程.
16．9
【分析】先根据一元二次方程的定义得出，，的值，再根据根的判别式计算公式即可得．
【详解】解：一元二次方程中的，，
则其根的判别式为，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式计算公式是解题关键．
17．
【分析】根据题意先求出m和n可以取哪些数，再进行组合，结合方程有两个相等的实数根得出满足条件的组合，即可得出答案．
【详解】解：∵|m|≤1，|n|≤2，
∴m＝0，±1，
n＝0，±1，±2，
∴有序整数（m，n）共有3×5＝15（种），
∵方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，
则需：△＝n2﹣4m＝0，
有（0，0），（1，2），（1﹣2）三种可能，
∴关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根的概率是．
故答案为．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根．
18．(1)证明见解析
(2)，
(3)或
【分析】（1）分和两种情况考虑：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，根的判别式，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个根，可得出，利用求根公式求出、的值，
（3）由和为整数以及k为正整数，即可求出k的值．
【详解】（1）证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，
，
∴方程有实数根．
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且
（3）由（2）可得，
∵整数，k为正整数．
∴或．
【点睛】本题考查了根的判别式以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分和两种情况考虑；（2）找出，．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为，即可证明结论；
（2）根据题意得到是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．
【详解】（1）证明：由得，
，
∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∴，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴．
∴．
∴m的最小值为．
【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
20．（1）x1＝，x2＝﹣；（2）原分式方程无解
【分析】（1）先将方程整理成一般式，再利用直接开平方法求解即可；
（2）两边都乘以x（x﹣1），将分式方程化为整式方程，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）整理，得：x2﹣7＝0，
∴x2＝7，
则x＝±，
即x1＝，x2＝﹣；
（2）两边都乘以x（x﹣1），得：2x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，
∴方程无解，
故原分式方程无解．
【点睛】此题考查计算能力：解一元二次方程，解分式方程，正确掌握各自的特点及解法是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）p=0、2、－2．
【详解】解：（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，
∴
∵方程有整数解，
∴为整数即可，
∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．
22．（1）k＞；（2）.
【分析】（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
【详解】解：（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，
∴k＞；
(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，
设方程的两个根为m，n，
∴m＋n＝5，mn＝5，
∴矩形的对角线长为：.
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
23．见解析
【分析】求出一元二次方程根的判别式，再确定根的判别式的符号，进行证明即可；
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
Δ＝22﹣4×1×（1﹣p2）＝4p2，
∵p2≥0，
∴无论p为何值，方程总有实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
24．(1)见详解
(2)1或
【分析】（1）将方程化为一般形式，计算判别式即可；
（2）由因式分解法求出方程的解，根据两个根的差是2方程即可求出m．
【详解】（1）证明：，
∵ ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：，
∴（x-1）（x-m-2）=0，
∴x1=1，x2=m+2，
∵方程两个根的差是2，
∴若，则；
若，则．
∴实数的值为1或．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式得到方程的根的情况，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键．
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