17.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
17.4一元二次方程的根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于x的方程有一个根为，则另一个根为（ ）
A．5 B．2 C． D．
2．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1 x2等于（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
3．若m，n是方程x2－x－2 022＝0的两个根，则代数式（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）的值为（ ）
A．2 023 B．2 022 C．2 021 D．2 020
4．若一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若、是的两个根，且，则的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
7．已知一元二次方程的两根为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
8．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
9．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则方程另一个根是（ ）
A．x＝－4 B．x＝－3 C．x＝3 D．x＝4
10．关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（　　）
A．-6 B．-3 C．3 D．6
11．若一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
12．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（　　）
A．m+n＝﹣2 B．mn＝﹣5 C．m2+2m﹣5＝0 D．m2+2n﹣5＝0
二、填空题
13．写出一个解为1和2的一元二次方程： ．
14．写出一个以﹣1和﹣2为两根的一元二次方程（二次项系数为1） ．
15．若x1和x2是一元二次方程2x2+4x-3=0的两个实数根，则x1+x2= ；x1x2= ．
16．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两根为m、n，则m2n+mn2= ．
17．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是，则m= ，n= ．
三、解答题
18．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
19．已知一元二次方程（m+1）x2-x+m2-3m-3=0有一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
20．求一个一元二次方程，使它的两根分别为，．
21．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；
(2)设的两个实数根为，，若，求的值．
22．关于x的一元二次方程有一个根为3，求k的值及另一个根．
23．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，
(1)求实数m的取值范围；
(2)若 ，求m的值．
24．小明、小华、小亮分别求出了方程的根．
小明：；
小华：；
小亮：．
谁的答案正确？说说你的判断方法．
《17.4一元二次方程的根与系数的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B B B C D C B
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】由题意可知，方程显然有两个实数根，故而结合韦达定理即根与系数的关系解答即可；
【详解】由题知：关于的方程有一个根为﹣1，另一根为；
∴，
解得：，则另一根为5；
故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，重点在于熟练理解和掌握韦达定理的应用；
2．C
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，
∴x1 x2＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两个根为x1,x2,则x1+x2=-，x1 x2=．
3．B
【详解】解：∵m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，
∴m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，
∴m2-m=2022，n2-n=2022，
∴（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）
=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)
=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)
=-mn
=2022，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022是解此题的关键．
4．B
【分析】设该一元二次方程的另一个根为x1，根据两个之积等于求出x1=-3，再根据两根之和为求出k．
【详解】解：设该一元二次方程的另一个根为x1，根据两根之积为得x1=-3，
根据两根的和为，得1+x1=-k，即k=-(1-3)=2，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键．
5．B
【分析】根据一元二次方程根与系数关系解答即可．
【详解】解：因为是一元二次方程的实数根，
则，，
故选：B．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记， ．
6．B
【分析】根据根与系数关系得出，由配方得，得出方程，解方程即可．
【详解】解：∵、是的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
解得，
但b=-7时，方程为，此时，所以原方程无实数根，
故选B．
【点睛】本题考查根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程，掌握根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程是解题关键．
7．C
【分析】本题考查了根与系数的关系：，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】由题意得：
故选：C．
8．D
【分析】设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（-1）=2，解此方程即可．
【详解】解：设方程另一个根为x1，
∴x1+（﹣1）＝2，
解得x1＝3．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=- ，x1 x2=．
9．C
【分析】设方程的另一根为 由两根之积从而可得答案.
【详解】解：设方程的另一根为
则
所以方程的另一根为：
故选C
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟悉“一元二次方程的根与系数的关系：”是解本题的关键.
10．B
【详解】分析：根据一元二次方程的两根之和等于－5求解.
详解：设另一个根为a，则根据根与系数的关系可得－2＋a＝－5，解得a＝－3.
故选B.
点睛：已知一元二次方程的一个根，求所含的字母系数的方法有：①把已知的根代入到原方程中，求出字母系数，再把字母系数的值代回到原方程求出另一个根；②用两根之和或者两根之积求解.
11．B
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=-1，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：根据题意得：
x1+x2=3，x1x2=-1，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
12．D
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义求出答案即可判断．
【详解】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0，n2+2n﹣5＝0，
∴选项A、B、C正确，选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，本题属于基础题型．
13．x2-3x+2=0
【详解】解：∵1+2=3，1×2=2，
∴以1和2为根的一元二次方程可为x2-3x+2=0．
故答案是：x2-3x+2=0．
14．不唯一如：（x+1）(x+2)=0
【详解】∵以为根，且二次项系数为1的一元二次方程为，
∴以-1，-2为根，且二次项系数为1的一元二次方程为，即.
15．
【分析】利用根与系数关系即可求出．
【详解】解： 和是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查一元一次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系式解题的关键．
16．﹣12
【详解】试题解析：∵m，n是一元二次方程x2-4x-3=0的两个根，
∴m+n=4，mn=-3，
则m2n +mn2= mn（m+n）=-3×4=-12．
17． 4, 1
【分析】将方程的一个根代入方程，得到一个代数式，根据m、n均为有理数可得到m的值，从而得到n的值．
【详解】解：∵方程x2-mx+n=0中有一个根是2+，
∴(2+)2-m（2+）+n=0，
即7-2m+n=m-4，
又m、n均为有理数，
∴m-4=0
解得：m=4
所以7-2×4+n=0
解得n=1．
故答案为4；1．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，将根代入是一个很方便的方法．
18．（1）a＞﹣且a≠0；（2）a的值为1，方程的另一个实数根为﹣3
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac＞0即可进行解答；
（2）解方程即可得到结论．
【详解】（1）∵关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，且a≠0，
即22﹣4a （﹣3）＞0，且a≠0，
∴a＞﹣且a≠0；
（2）将x＝1代入方程ax2+2x﹣3＝0，
解得：a＝1，
把a＝1代入ax2+2x﹣3＝0，得x2+2x﹣3＝0，
解方程得，x1＝1，x2＝﹣3，
∴a的值为1，方程的另一个实数根为﹣3．
【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根．
19．m=3，另一根为
【分析】把方程的已知根代入方程就出m的值，然后根据根与系数之间的关系可以求出另一根．
【详解】设另一根为x，
∵一元二次方程（m+1）x2-x+m2-3m-3=0有一个根是1，
∴m+1-1+m2-3m-3=0，
解得m=3或-1（舍去），
故m=3，
∴x+1=，
∴x=-，
故另一根为-．
20．（答案不唯一）
【详解】解：设这个方程为
∵方程的两个根分别为，，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，
即，，若，则，，
∴这个方程可以是：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合运算，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点．
（1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再由（1）中的取值范围即可确定的值．
【详解】（1）解：该方程有两个实数根，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
即，
，
，，
，
．
22．，．
【分析】将代入方程，求解关于的一元一次方程，再将代入原方程，根据两根之积求解即可．
【详解】解：把代入，
得，解得，
∴原方程为，
设另一根为，
由根与系数的关系可得：，即
解得，即原方程的另一个根是．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，涉及了一元一次方程的求解，理解一元二次方程解的含义以及熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，利用一元二次方程根的判别式大于或等于零，求得m的范围．
（2）由题意，利用一元二次方程根与系数的关系解方程求得m值．
【详解】（1），
∵，
∴，
∴，
∴实数的取值范围是；
（2），，
又∵，
∴，
∴，
解得，，
又∵，
∴，
∴即的值为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，属于基础题．
24．小明、小华的答案错误，小亮的答案正确，判断方法见解析
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，求出和，之后与题中三人答案进行运算对比即可．
【详解】解：，
根据韦达定理：，，
小明：，不满足，
∴小明的答案错误；
小华：，，不满足，
∴小华的答案错误；
小亮：，，满足韦达定理，
∴小亮的答案正确；
∴小明、小华的答案错误，小亮的答案正确．
判断方法：先利用一元二次方程根与系数的关系，求出和，然后用三人答案进行运算对比即可得出三人答案的错误与正确．
【点睛】题目主要考查求解一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)