17.5一元二次方程的应用同步练习（含解析）

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17.5一元二次方程的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用一张80cm长，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得（ ）
A．x2﹣70x+825=0 B．x2+70x﹣825=0 C．x2﹣70x﹣825=0 D．x2+70x+825=0
2．据报道，为推进某市绿色农业发展．2020～2022年，该市将完成农业绿色发展项目总投资616亿元．已知福州2020年已完成项目投资100亿元，假设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．某水产品公司今年10月的营业额为25万元，按计划12月的营业额要达到36万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（　　）
A．15% B．20% C．5% D．25%
5．张明同学参加“献爱心”储蓄活动，把积蓄的100元存入银行，如果月利率是0.2%，那么x个月后，本金与利息的和是(　　)
A．100(1+0.2%)x B．100×0.2%x C．100(1+0.2%x) D．100(1+x)×0.2%
6．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为，则根据题意列出的符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．为积极响应国家“双减政策”，某中学校2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟． 设每季度平均每周作业时长的下降率为m，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（　　）
A．10% B．15% C．18% D．20%
10．某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套，若网店要获利2100元，设每套运动装降价元，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　）
A．若，则有一种围法
B．若，则有两种围法
C．若，则有两种围法
D．若，则有一种围法
12．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽米，竖着比城门高米，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度．若设竹竿长x米，则根据题意，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排21场比赛，则参赛队数为 个.
14．股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
15．某批发店将进价为 元的小商品按 元卖出时，可卖出 件，已知这种商品每件涨价 元，其销售量就减少 件．若要赚得 元利润，设每件涨价 元，则 满足方程 ．
16．某商品原价为元，后连续两次以同一个百分率降价，若设此百分率为，那么两次降价后该商品的售价为 元（用含与的代数式表示）．
17．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是
三、解答题
18．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．
19．细心的小明发现，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数之间的“秘密”关系．
（1）当x＝1时有a+b+c＝0，当x＝﹣1时有a﹣b+c＝0．若9a+c＝3b，求x；
（2）若2a+b＝0，3a+c＝0，写出满足条件的一个一元二次方程，并求另一个根；
（3）当老师写出方程2x2﹣3x﹣1＝0，要求不解方程判断根的情况时，小明立即回答，有两个不相等的实数根．据此，你能根据一元二次方程系数a、b、c的符号以及相互之间的数量关系，写出一些关于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数之间的规律吗？请写一写（至少两条）．
20．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

21．第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
22．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
（1）当时，请直接写出的值；
（2）当时，求的值．
23．学校为了美化校园环境，在一块长40米，宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米，宽7米的长方形花圃．
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案；
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．
24．张老师自编了一套健美操，他先教会一些同学，然后让学会健美操的同学每人教会相同的人数，每人每轮教会的人数相同，经过两轮，全班57人(含张老师)都能做这套健美操，请问每轮中每人必须教会几人？
《17.5一元二次方程的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B C D C D A A
题号 11 12
答案 A B
1．A
【详解】试题分析：本题设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则可得出长方体的盒子底面的长和宽，根据底面积为1500cm2，即长与宽的积是1500cm2，列出方程化简．
解：设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，
则得出长方体的盒子底面的长为：80﹣2x，宽为：60﹣2x，
又底面积为1500cm2
所以（80﹣2x）（60﹣2x）=1500，
整理得：x2﹣70x+825=0
故选A．
点评：本题要注意读清题意，找出等量关系．
2．A
【分析】利用平均增长率，分别表示2021年，2022年的投资，计算三年的投资总和，列方程即可．
【详解】设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用平均增长率问题，熟练掌握平均增长率是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
【详解】解：根据题意可得：，
故选：．
4．B
【详解】解：如果设平均每月降低率为x，根据题意可得
250（1﹣x）2=160，
解得：x1=20%．x2=180%（舍去）．
故选B．
考点：一元二次方程．
5．C
【分析】利用本金与利息的和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数，即可求得答案.
【详解】解：利息＝100×0.2％×x,利用本金与利息的和＝100+100×0.2％×x.故选：C.
【点睛】熟练掌握本金和利息的和和利息的计算公式是本题解题的关键.
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意并正确的列出方程．
根据题意两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子即可列出方程．
【详解】解：∵两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子，
，
故选：D．
7．C
【分析】设每季度平均每周作业时长的下降率为m，分别表示出2022年第四季度和2023年第一季度平均每周作业时长，由此列得方程．
【详解】解：设每季度平均每周作业时长的下降率为m，
∵2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，
∴2022年第四季度平均每周作业时长为分钟，
2023年第一季度平均每周作业时长为分钟，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意掌握增长率（或下降率）类方程的列法是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出相关方程是解答本题的关键．根据百分率的意义及方程的意义即可得出答案．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
一次降价后价格可表示为，再次降价后价格表示为，
可列方程为，
故选：D．
9．A
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1-x），那么第二次降价后的单价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
100×（1﹣x）2＝81，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
故选A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．
10．A
【分析】设每套运动装降价x元，则每天的销售量为（20+4x）件，根据总利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得每套运动装降价x元，则每天的销售量为（20+4x）件，
依题意，得：（45-x）（20+4x）=2100．
故选： A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1
11．A
【分析】分两种情况讨论：，图2围法，设矩形菜园垂直于墙的边为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
【详解】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，
解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若，，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，
解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验符合题意，
综上：若，则有两种围法，故B不符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，
解得： 经检验都符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
若，则有两种围法，C不符合题意，
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，
解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
综上所述，若，则有一种围法，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
12．B
【分析】用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可．
【详解】设竹竿的长为x米．
由题意得．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．
13．7
【分析】设参赛队数为x个，根据计划安排21场比赛列方程，解方程即可得到答案.
【详解】解：设参赛队数为x个，
则，
解得（不合题意，舍去），
∴参赛队数为7个
故答案为：7
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键.
14．
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，第一天涨为，第二天涨为，据题意列出方程．
【详解】解：这两天此股票股价的平均增长率为x，
根据题意，得．
故答案为：．
【点睛】本题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．
15．
【分析】设每件涨价 元，小商品的利润为元，再根据每件涨价 元其销售量就减少 件得到该商品的销售量件，再根据根据总利润单件利润销售数量即可解答．
【详解】解：设每件涨价 元根据题意，
可得方程，
故答案为；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意明确题目中的数量关系与等量关系是解题的关键．
16．
【分析】设这两年该药品价格平均降低率为x，则第一次降价后每盒的价格是原价的1-x，第二次降价后每盒的价格是原价的（1-x）2，根据题意列方程解答即可．
【详解】∵某商品原价为元，后连续两次以同一个百分率降价，
∴第一次降价后每盒的价格是a(1-x)，第二次降价后每盒的价格是a(1-x)2，
故答案为a(1-x)2.
【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
17．x（x-1）=90
【详解】设某一小组共有x个队，
那么每个队要比赛的场数为x-1；
则共赛的场数可表示为x（x-1）=90．
18．12
【分析】设旗杆高度为x米，根据勾股定理解答即可.
【详解】设旗杆高为x米，则绳长为(x＋1)m，根据勾股定理有(x＋1)2＝x2＋52，解得x＝12.故答案是12.
【点睛】本题考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，解题的关键是运用勾股定理列出等量关系式.
19．（1）x＝﹣3（2）x2-3x-4=0;x2＝4；（3）见解析.
【分析】（1）直接通过观察对比可得出答案.
（2）由题意可知一个根为-1，再举例即可.
（3）根据根的判别式和韦达定理解答即可.
【详解】（1）∵9a+c＝3b，
∴9a﹣3b+c＝0，
∴x＝﹣3，
（2）∵
②﹣①得：a﹣b+c＝0，
∴x＝﹣1，
符合条件的方程可以为：x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x1＝4，x2＝﹣1，
（3）2x2﹣3x﹣1＝0，
因为a＝2，c＝﹣1，可知：ac＜0，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
根据一元二次方程系数a、b、c的符号以及相互之间的数量关系，有：①当a与c异号时，△＞0，方程有两个不相等的实根；
②设方程ax2+bx+c＝0的两根x1、x2，满足x1+x2＝，x1x2＝．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程根与系数的关系.
20．(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【详解】解：（1），
，
所以或或
，，；
故答案为，1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
21．(1)2022
(2)9
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1），
故答案为：2022；
（2）根据题意有：，
整理得：，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．
22．（1）或；（2）或
【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可；
（2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得．
【详解】解：（1）由题意可得：，
，
则或，
解得或；
（2）由题意得：，
，
，
整理得：，
∴，
则或，
解得或，
或．
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键．
23．（1）见解析；（2）不能.
【详解】分析：（1）本题根据实际有多种不同的方案．
（2）设长方形花圃的长为x米，则宽为．即可列方程，然后根据可知方程有无解．
详解：（1）学校计划新建的花圃的面积是9×7=63（平方米），比它多1平方米的长方形面积是64平方米，因此可设计以下方案：
方案一：长和宽都是8米；
方案二：长为10米，宽为6.4米；
方案三：长为20米，宽为3.2米.
(2)在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃面积不能增加2平方米.
由题意得长方形长与宽的和为16米,
设长方形花圃的长为x米,则宽为(16 x)米,
x(16 x)=63+2,
∵
∴此方程无实数根,
∴在周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增加2平方米.
点睛：考查一元二次方程的应用，在解题时要考虑实际情况，懂得开放性思考.
24．每轮中每人必须教会7人
【详解】【分析】设每轮中每人必须教会人数为x，根据等量关系：经过两轮，全班57人都能做这套健美操，列出方程求解即可．
【详解】设每轮中每人必须教会的人数为x，
由题意得1＋x＋x2＝57 ，
解得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去)，
故每轮中每人必须教会7人
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
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