18.2勾股定理的逆定理同步练习（含解析）

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18.2勾股定理的逆定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　)
A． B．1,
C．6,7,8 D．2,3,4
2．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，，2 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，3，2
3．下面四组数中是勾股数的一组是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，10 C．5，11，12 D．10，20，26
4．在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（　　）
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，BC=7，AC=24，AB=25，如果CD是AB边上的高，则CD=（ ）
A．7 B．24 C．25 D．
6．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40m/min，甲客轮用30min到达A处，乙客轮用40min到达B处.若A，B两处的直线距离为2000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
7．已知下列四组线段：①5，12，13 ； ②15，8，17 ； ③1.5，2，2.5 ； ④．其中能构成直角三角形的有（ ）组
A．四 B．三 C．二 D．一
8．勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（ ）
A． B． C．5，15，20 D．9，40，41
9．小明向东走后，沿方向又走了，再沿方向走了回到原地，则方向是（ ）
A．南向或北向 B．东向或西向 C．南向 D．北向
10．已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点P的坐标为其中正确的说法个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．在中，，， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
D．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
12．的三边长分别为，，，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的形状一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 . .
14．如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为 ．
15．在四边形中，，分别是边，的中点，若，，，，则 ．
16．若三角形的三边长是6，8，，当的值为 时，该三角形是直角三角形.
17．如图所示，为的中线，，，，的周长是 ．

三、解答题
18．如图所示，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明．
19．如图所示的四边形是张亮家的一块种小麦的田地.经测量边长为30米，边长为40米，边长为120米，边长为130米，，求这块地的面积.
20．如图，在一条东西走向公路的一侧有一小区，公路旁原有两个汽车充电站，其中．由于某种原因，由到的路现在已经不通，该小区为方便居民充电，决定在公路旁新建一个汽车充电站（在同一直线上），并新建一条路，测得．
(1)是不是从小区到公路最近的路？通过计算加以说明；
(2)求新路比原路短多少千米．
21．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）下列四边形是勾股四边形的有　 　．（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．
22．如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9，
（1）求DC的长；
（2）求证：ΔABC是直角三角形．
23．在中，，，在中，是边上的高，，．
(1)求的长：
(2)求四边形的面积．
24．已知：如图，AB=4，BD=12，CD=13，AC=3，AB⊥AC，求证：BC⊥BD．

《18.2勾股定理的逆定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C D C A D A D
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可.
【详解】解：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误，不符合题意；
B．12+（）2=（）2,故该选项正确，符合题意；
C．62+72≠82，故该选项错误，不符合题意；
D．22+32≠42，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会判断是否为直角三角形是解答关键.
2．A
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证三边满足即可验证是直角三角形．
【详解】A：，能构成直角三角形；
B：，不能构成直角三角形；
C：，不能构成直角三角形；
D：，不能构成直角三角形；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3．B
【详解】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答可得：
A、42+52≠62，不能构成勾股数，故错误；
B、62+82=102能构成勾股数，故正确误；
C、52+112≠122不能构成勾股数，故错误；
D、102+202≠262不能构成勾股数，故错误；
故选B．
4．C
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定和性质是解题的关键．
根据直角三角形有一个角是直角，另外两个角互余可判定A选项；根据勾股定理可判定B，C选项；根据直角三角形两锐角互余可判定D选项，由此即可求解．
【详解】解：．∵，
∴，
∴，
∴，
∴不能判定为直角三角形，故不符合题意；
．∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴不能判定是直角三角形，故不符合题意；
．∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故符合题意；
．，
∴不能判定为直角三角形，故不符合题意，
故选：．
5．D
【分析】由题干条件知：AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，根据三角形的面积相等即可求出CD的长．
【详解】在△ABC中，∵AB=25，AC=24，BC=7，
∴242+72=252，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．
根据三角形面积相等可知，
BC AC=AB CD，
∴CD=．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，利用好勾股定理的逆定理以及面积法求高是解答本题的关键．
6．C
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程,再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系,进而可得答案.
【详解】根据题意可得甲的路程：40×30＝1200（m），
乙的路程：40×40＝1600（m）.
∵12002＋16002＝20002，
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系.
∵甲客轮沿着北偏东30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°.
故选C.
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用,关键是掌握如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形.
7．A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于较长边的平方，那么就能构成直角三角形来判断．
【详解】解：要组成直角三角形，三条线段满足较小的平方和等于较大的平方即可．
①，②，③，④，均可以，
故选A．
8．D
【分析】根据勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数进行分析．
【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、52+152≠202，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意；
D、92+402＝412，能构成直角三角形，且为正整数，为勾股数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
9．A
【分析】设小明一开始的位置为O，向东走到的位置为C，沿A方向走到的位置为D，由题意得OC=80m，CD=60m，OD=100m，然后利用勾股定理的逆定理得到∠OCD=90°即可求解．
【详解】解：设小明一开始的位置为O，向东走到的位置为C，沿A方向走到的位置为D，
∴由题意得OC=80m，CD=60m，OD=100m，
∴，
∴∠OCD=90°，
∵OC的方向为东，
∴CD的方向为南或北，即A的方向为南或北，
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．D
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；分别求出BD=3，,，然后利用勾股定理的逆定理即可判断②；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为．
【详解】解：直线：与直线：都经过，
方程组的解为，
故①正确；
把，代入直线：，可得
，
解得，
直线：，
∴点B的坐标为（0，4），
又直线：经过点
，
∴ ，
∴直线：，
∴点D的坐标为（0，1），
∴BD=3，,，
∴，
∴△BCD是直角三角形
故②正确；
在直线：中，令，则，
，
，
，
故③正确；
点A关于y轴对称的点为，
设过点C，的直线为，则
，
解得，
，
令，则，
当的值最小时，点P的坐标为，
故④正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11．B
【分析】根据勾股定理的逆定理解答，并且注意直角三角形的三边及对应角的关系．
【详解】解：A、因为直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，故错误；
B、命题为勾股定理的逆定理，故正确；
C、因为△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠C=90°，故错误；
D、因为△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90°，则c2+a2=b2，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的综合运用．
12．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理逆定理．根据一元二次方程根与系数的关系，可得，即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
故选：A
13．120 cm
【分析】设三边的长是，，，根据周长即可求得x的值，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．
【详解】设三边的长是，，，
则，
解得：，
则三边长是10 cm，24 cm，26 cm．
∵
∴三角形是直角三角形，
∴三角形的面积是（cm）
故答案为：120 cm
【点睛】考查勾股定理逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
14． 8 12
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学模型是解题的关键．
当伸缩杆打开最大时，先证明是直角三角形，由勾股定理，得，即可由求得长；当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，由平行线间的距离，可得，，，再由勾股定理，得，即，即可求得，即可由求解．
【详解】解：如图2，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵成，
∴是直角三角形，由勾股定理，得
∴；
当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，如图，
∵，于H，过点D作于F，
∴，，
∴，
∴
由勾股定理，得
∴
∴
∴
故答案为：8；12．
15．145°
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，结合图形计算即可．
【详解】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，
∴∠ADB＝∠AFE＝55°，
∵，，
∵， ，
∴，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°，
故答案为：145°．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．100或28
【分析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算.
【详解】①最长边为8时，82-62=，则=28；
②最长边不是8时，82+62=，则=100.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边.
17．64
【分析】根据中线的性质得出，由勾股定理逆定理得出，再由勾股定理得出的长，从而可得结论．
【详解】解：在中，，，，
且，，
，
故是直角三角形，且，
∵是中线，
，
∴，
∴在中，，，
∴的周长为．
故答案为64．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，熟练掌握勾股定理以及逆定理是解答本题的关键．
18．不会穿过
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是利用面积相等的方法求得其斜边上的高．首先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，然后利用面积相等的方法求得其斜边上的高，大于10不会穿过，否则就穿过．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
作于D点，
∴，
即：，
解得，
∵，
∴不会穿过．
19．3600平方米.
【分析】连接，由勾股定理得到，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据三角形面积公式进行计算，即可得到答案.
【详解】如图，连接.
在中，根据勾股定理是，
得.
在中，
因为，
所以为直角三角形，且.
所以（平方米）.
所以这块地的面积为3600平方米.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理和三角形的面积公式.
20．(1)是最近的路，理由见详解
(2)新路比原路短
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，点到直线垂线最短等知识的运用，掌握勾股定理及其逆定理的运算是解题的关键．
（1）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，结合点到直线垂线段最短即可求解；
（2）由（1）可得是直角三角形，设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：是最近的路，理由如下，
∵，则，
∴，
∴是直角三角形，即，
根据点到直线垂线段最短可得，是小区到公路最近的路；
（2）解：设，则，
由（1）可得，，即，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴新路比原路短了．
21．（1）①③；（2）（3，4）或（4，3）；（3）见解析
【分析】（1）根据定义和勾股四边形的性质，有矩形或正方形或直角梯形满足题意；
（2）OM＝AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；
（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形．
【详解】（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：矩形，正方形
故答案为：①③；
（2）如图1所示：M（3，4）或（4，3）；
故答案为（3，4）或（4，3）；

（3）证明：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，
∵∠CBE＝60，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴DC2+EC2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
22．（1）12 ；（2）证明见详解．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出CD即可；
（2）根据勾股定理的逆定理即可证明出△ABC是直角三角形．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
在Rt△CDB中，∵BC=15，DB=9，
∴根据勾股定理，得CD==12；
（2）证明：Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2，
∴122+AD2=202，
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25，
∴AC2+BC2=202+152=625=AB2
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的内容，求出AB是解题的关键．
23．(1)；
(2)
【分析】（1）根据三角形的面积公式列式求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，求出的面积，进而可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴；
（2）解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是证明是直角三角形．
24．见解析
【分析】先利用勾股定理求出BC，再利用勾股定理可得到∠CBD=90°，从而得证.
【详解】∵AB=3，AC=4，AB⊥AC，
∴BC=5．
∵BD=12，CD=13，
∴∠CBD=90°．
∴BC⊥BD．
【点睛】本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握两个定理并能灵活运用是解题关键.
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