19.2平行四边形同步练习（含解析）

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19.2平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，点E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，EG交FD于点H，则①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④．上述4个结论中说法正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
2．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，使得点B落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．15
3．如图，中，点D、E、F分别为边的中点，则下列关于线段和之间关系的说法中正确的是（ ）
A． B．
C．和互相平分 D．以上答案都不对
4．平行四边形的一边长为6，则两对角线长可能是（ ）
A．12和2 B．4和5 C．18和3 D．4和6
5．平行四边形ABCD中，经过对角线交点O的直线分别交AB、CD于点E、F,则图中全等的三角形共有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
6．平行四边形的一组对角的平分线（ ）
A．一定相互平行 B．一定相交 C．可能平行也可能相交 D．平行或共线
7．如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，且，，直线以每秒1个单位的速度向下平移，经过秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分，则t的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是（　　）
A．AD=BC B．OA=OC
C．AB=CD D．∠ABC+∠BCD=180°
9．在中，的平分线交于点，若，则为（ ）
A．10 B．16 C．6 D．13
10．在中，D、E分别是、的中点，若，则的值（ ）
A．3 B．6 C．9 D．24
11．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
12．如图，等腰三角形中，，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于D,E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线，交于点M；④分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于G,H两点；⑤作直线，交于点N，连接．则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题
13．若在 ABCD中，∠A=30°，AB=7cm，AD=6cm，则S ABCD= ．
14．如图，平行四边形的周长为20，的周长比的周长多5，则为 .

15．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB=5，AC=7，则ED= ．
16．如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是 ．
17．平行四边形的判定方法：
（1）两组对边分别 的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形
（3）两组对角分别 的四边形是平行四边形
（4）对角线 的四边形是平行四边形
（5）一组对边 的四边形是平行四边形
三、解答题
18．如图，如果四边形和都是平行四边形，那么四边形是平行四边形吗？小明认为四边形是平行四边形，并且给出了证明．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①
．②
又∵四边形也是平行四边形，
∴，③
．④
由①③，得
．⑤
由②④，得
，⑥
即．
∴四边形是平行四边形．
小明的考虑全面吗？为什么？你是怎样想的？把你的想法写出来．
19．如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
20．在平行四边形ABCD中， ∠A+∠C=160°，求∠A，∠C，∠B，∠D的度数．
21．如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB=DF．
（1）填空：=　　　　；﹣=　　
（2）求作：．
22．已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．
23．如图，在四边形ABCD中，，，∠BAD=45°，BC=8，DC=6，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，设运动的时间为t（秒）
（1）时，是否存在某一时刻t，使得与面积之比为2：3 若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，点P在∠ABC的角平分线上 请说明理由；
（3）设AQ中点为E，连接BD，与PQ相交于点F，若EF是的中位线，求此时点E到PQ的距离．
24．如图，已知在中，，求证：．
《19.2平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C A C D D C C B
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】根据平行四边形ABCD的性质和BD=2AD，可以确定等腰三角形OAD，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据直角三角形CDE的性质确定，根据三角形OAB的中位线的性质确定，再结合平行四边形ABCD的性质可判断②正确；根据三角形OAB的中位线和平行四边形ABCD的性质可以确定EF=DG，且，进而得到平行四边形EFGD，再应用其对角线互相平分的性质确定③正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形ABCD的性质确定和，进而得到，可判断④不正确．
【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO．
∵BD=2AD，
∴DO=AD．
∵E为OA中点，
∴．
故①正确．
②∵，G是CD中点，
∴．
∵E、F分别是OA、OB中点，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∴EF=EG．
故②正确．
如下图所示，连结FG和BE．
③如上图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD．
∵E、F分别是OA、OB中点，
∴．
∴，即．
∵，，
∴EF=DG．
∴四边形EFGD是平行四边形．
∴．
故③正确．
④如上图所示：∵F是OB中点，
∴．
∵E是OA中点，
∴．
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴O是AC中点，．
∴．
∵E是AO中点，O是AC中点，
∴．
∴．
故④不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线和直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键．
2．A
【分析】先利用平行四边形的性质得到，再由折叠的性质得到，，由此可得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∴，
∴，
∴在直角三角形中，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．C
【分析】连接FD，ED，根据三角形中位线定理可以证明四边形AEDF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】解：如图，连接FD，ED，
∵，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点，
∴DE，DF，EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴EF与AD互相平分，故C符合题意，D不符合题意；
根据现有条件，无法推出AD=EF，AD⊥EF，故A、B不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了中位线定理和平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．A
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的三边关系，可以画草图，根据平行四边形的性质和三角形的三边关系逐项判断即可．
【详解】解：如图，中，，对角线、相交于为O，
∴，，
A、若，，则，，
∵，
∴1、6、6能组成三角形，故选线A符合题意；
B、若，，则，，
∵，
∴2、2.5、6不能组成三角形，故选线B不符合题意；
C、若，，则，，
∵，
∴1.5、6、9不组成三角形，故选线C不符合题意；
D、若，，则，，
∵，
∴2、3、6不能成三角形，故选线D不符合题意；
故选：A．
5．C
【分析】根据平行四边形的性质所能得到的相等边和相等角来判断图中有多少全等的三角形．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，OD=OB，
∠OAB=∠OCD，∠OBD=∠ODC；
①∵AD=BC，AB=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS），同理可证得：△ABC≌△CDA；
②∵OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴△OAB≌△OCD（SSS），同理可证得：△OAD≌△OCB；
③∵OA=OC，∠OAB=∠OCD，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），同理可证得：△BOE≌△DOF．
所以图中共有6对全等三角形．
故选C．
【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定，平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
6．D
【分析】分两种情况：如果平行四边形的邻边不相等，那么它的一组对角的平分线互相平行；如果平行四边形的邻边相等，那么它的一组对角的平分线共线．
【详解】解：如图，中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，
∴∠BAD＝∠BCD，∠2＝∠3，
∵AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，
∴，
∴∠2＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴AE∥CF；
当是菱形时，AE与CF共线．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，将平行四边形分类讨论是解决本题的关键．
7．D
【分析】依题意，直线经过平行四边形对角线的交点时，平分平行四边形的面积，求出对角线交点坐标，进而根据一次函数平移的性质即可求解．
【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，
设t秒后直线可将平行四边形分成面积相等的两部分，则直线经过平行四边形的对角线的交点
∵点，
∴平行四边形对角线的交点坐标为
当过时，则
解得：，
∴向下平移个单位得到，
∴经过秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握平行四边形的中心对称性质，直线经过对角线的交点是解题的关键．
8．C
【详解】∵∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC，
A、根据平行四边形的判定有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判断平行四边形，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，故本选项错误，符合题意；
D、根据AD∥BC和∠ABC+∠BCD=180°，能推出符合判断平行四边形的条件，不符合题意.
故选C.
9．C
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，角平分线的性质解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的两组对边分别平行且相等．先画出图形，根据平行四边形的性质可得，再结合的平分线可得，即可求得结果．
【详解】解：如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．B
【分析】根据三角形的中位线性质求解即可．
【详解】解：∵在中，D、E分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的中位线，熟知三角形的中位线性质是解答的关键．
11．B
【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．
【详解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2××AC×BF，
∴4×6=2××8×BF，
∴BF=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．
12．B
【分析】根据作图过程可得AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，由等腰三角形三线合一，得AM是边BC上的中线，可得MN是△ABC的中位线，进而可得MN的长．
【详解】解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，
∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，
∴AM是边BC上的中线，
∴BM＝CM，
∵GH是边AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MNAC＝3．
故选：B．
【点睛】此题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解题的关键．
13．21cm2
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由直角三角形的性质可得DE=AD=3，即可求平行四边形ABCD的面积．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠A=30°，DE⊥AB，
∴DE=AD=3，
∴S ABCD=BA×DE=7×3=21(cm2)，
故答案为：21cm2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，利用直角三角形的性质求DE的长度是本题的关键．
14．
【分析】根据平行四边形的周长为20，对边相等，得到，根据的周长比的周长多5，平行四边形对角线互相平分，得到，解得．
【详解】∵平行四边形的周长为20，
∴，
由题意知：，
∵，
∴，
∴由可得：，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的边和对角线的性质．
15．1
【分析】延长BE交AC于F，由已知条件可得△BAF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得BE=EF，又因为BD=CD是，所以DE是△BCF的中位线，由三角形中位线定理即可求出DE的长．
【详解】解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE，
∴∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEF=90°，
在△ABE与△AFE中，，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴BE=EF，AB=AF，
∵AB=5，
∴AF=5，
∵AC=7，
∴CF=AC-AF=7-5=2，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=CF=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，得到△BAF是等腰三角形．
16．
【分析】首先根据B、C两点的坐标确定线段BC的长，然后根据A点向右平移线段BC的长度得到D点，即可由A点坐标求得点D的坐标．
【详解】解：∵B，C的坐标分别是（ 2， 2），（2， 2），
∴BC＝2 （ 2）＝2＋2＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，
∵点A的坐标为（0，1），
∴点D的坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段BC的长，难度不大．
17． 平行 相等 相等 互相平分 平行且相等
【解析】略
18．小明的考虑不全面，原因见解析，想法见解析
【分析】小明的考虑不全面．他只分析了点B和点C分别在直线和上这种特殊情况下四边形的形状．如图，连接，当点B和点C不在直线和上时，根据平行四边形的性质与判定证明四边形是平行四边形．
【详解】小明的考虑不全面．他只分析了点B和点C分别在直线和上这种特殊情况下四边形的形状．
正确证法：如图，连接
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵四边形也是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABE≌△DCF；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得∠AEB=∠DFC，则∠AEF=∠DFE，所以根据平行线的判定可以证得AE∥DF．由全等三角形的对应边相等证得AE=DF，则易证得结论．
【详解】解：（1）如图，∵AB∥CD，∴∠B=∠C．
∵在△ABE与△DCF中，AB=CD，∠B=∠C，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
（2）如图，连接AF、DE，
由（1）知，△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC．
∴∠AEF=∠DFE．∴AE∥DF．
∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
20．∠A=∠C =80°，∠B=∠D =100°
【分析】根据平行四边形的性质“对角相等、邻角互补”来解答即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，．
∵∠A+∠C=160°，
∴∠A=∠C=80°，
∵，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B =180°-∠A=100°．
综上可知∠A=∠C =80°，∠B=∠D =100°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
21．（1），；（2）作图见解析．
【分析】（1）根据平行四边形法则，即可得出答案．
（2）利用平行四边形法则来作合向量：即可．
【详解】解：（1）；
故答案是：；；
（2），
，
即是根据平行四边形法则求作和的合向量．
图形如下所示：所作即为所求．
【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练掌握．
22．证明见解析．
【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
23．（1）存在，或；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）分两种情况讨论，用含t的式子表示△ABP与△ABQ的面积，利用面积之比为2：3，求出对应的t；
（2）利用角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”和等面积法求解；
（3）由中位线，求出t的值，利用等面积法求出E到PQ的距离．
【详解】解：（1）由题意得：过点B作BH⊥AD于点H，则：四边形BCDH为矩形，
∴HD=BC=8，BH=CD=6，
∵∠BAD=45°，
∴AH=BH=6，AB=6，
∴AD=AH+HD=14，
当时，
AP=14-2t，BQ=8-t，
∵S△ABP：S△ABQ=2：3，S△ABQ= BQ BH，S△ABP= AP BH，
∴，
解得：t=．
当时，
∴AP=2t -14，BQ=8-t，
同理得：，
解得：t=．
综上，存在，或；
（2）过点P作PM⊥AB于点M，
∵点P在∠ABC的角平分线上，
∴PM=CD=6，
由（1）得，S△ABP= AP BH，AB=6，
∴S△ABP= 6 PM，
∴ 6 PM= AP BH，
∴PM=7-t，
∴7-t=6，
解得：t=7-3．
（3）∵EF是△APQ的中位线，点E是AQ的中点，
∴点F是PQ的中点，
∴PF=FQ，
∵AD∥BC，
∴∠FPD=∠FQB，
又∵∠DFP=∠BFQ，
∴△FPD≌△FQB（ASA），
∴PD=BQ，
∴2t=8-t，
解得：t=，
∴PD=，CQ=，AP=，
作QN⊥AD于点N，设点E到PQ的距离为h，
∴PN=PD-DN=PD-CQ=，
∴PQ=，
∵点E为AQ的中点，
∴S△EPQ=S△APQ= AP CD=××6=13，
∴ h =13，
解得：h=．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积、中位线的性质、三角形全等和等面积法求高．在解题中，要善于用含有t的式子表示线段，再结合相关的知识构造特殊的三角形求出对应的t值．
24．见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合平行四边形的性质，利用证明可证明结论；
【详解】证明：∵四边形为平行四边形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴；
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