19.3矩形、菱形、正方形同步练习（含解析）

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19.3矩形、菱形、正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，在他的几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出，的中点，，再沿过点的直线折叠使落在线段上，点的对应点为点，折痕为，点在边上，连接，，则长度恰好是方程的一个正根的线段为（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将矩形（长方形）沿折叠，使点与点重合，点落在处，连接，，则下列结论：①，②，③，④，，三点在同一直线上，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
5．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形
D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形
6．如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．，
C． D．，
7．如图，在菱形ABCD中MN分别在AB、CD上且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若∠DAC=62°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28° B．52° C．62° D．72°
8．C、D是线段的垂直平分线上的两点，平分，则下列说法不一定正确的是（ ）．
A． B． C．垂直平分 D．
9．矩形的四个内角平分线围成的四边形（　　）
A．一定是正方形 B．是矩形
C．菱形 D．只能是平行四边形
10．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．矩形ABCD的面积是16，它的长与宽的比为4：1，则该矩形的宽为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（ ）
A． B．8 C． D．
二、填空题
13．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB= °时，四边形AECF是正方形．
14．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为 ．

15．如图，正方形ABCD中，E在BC延长线上，AE，BD交于点F，连接FC，若，那么的度数是 ．
16．如图，在中，点D、E、F分别为各边的中点，是高，若，则的度数为 ．
17．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ．
三、解答题
18．如图，在中，，的平分线交于点，DEAB，DFAC．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，求四边形的面积．
19．如图，在中，分别是边的中点，是对角线，交的延长线于．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是矩形，判断四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论．
20．如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为．
21．给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图所示的正方形孔吗？
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：（1）△ODE≌△FCE;
（2）四边形OCFD是矩形．
23．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
24．如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连接 E，F，G，H，得到的四边形 EFGH 叫中点四边形．求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
《19.3矩形、菱形、正方形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C B A D A B
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】设，则，从而可以用表示等式．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．
【详解】解：设，则．
由题意可知：，是的中点，
，．
∴，
，
，
．
的解为：，
取正值为．
这条线段是线段．
故选：B．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
2．C
【分析】先证明四边形OCED为平行四边形，再利用菱形的性质证明 求解 再证明平行四边形OCED为矩形，再利用矩形的性质可得答案．
【详解】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查菱形的性质及正方形的判定．在菱形基础上添加一个内角为直角或者对角线相等即可得到正方形，据此求解即可．
【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
A、当时，菱形是正方形，选项不符合题意；
B、当时，菱形是正方形，选项不符合题意；
C、当时，，菱形是正方形，选项不符合题意；
D、当时，菱形不能确定是正方形，选项符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】根据矩形的对边平行和折叠前后的图形对称的性质，逐项进行分析可得出正确结论.
【详解】∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，
∴BF=DF，∠BFE=∠EFD，
∵，
∴∠DEF=∠EFB，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，故①正确；
同理，∠BEF=∠DEF，∠EBF=∠AEB，
∠AEB与∠BEF不一定相等，
∴∠EBF与∠BEF不一定相等，FB与FE不一定相等，故②错误；
，
∵BF=DF，DE=DF,
∴DE=BF,
又∵，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴，故③正确；
由矩形可知，
已证四边形BFDE是平行四边形，则有，
∴，，三点在同一直线上，即④正确；
综上正确的有①③④，
故选：B
【点睛】本题考查了矩形的性质及折叠的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
5．C
【详解】
A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误．
B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到四边形ABCD是菱形，故此选项错误．
C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，
∴BO=DO，AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两条对角线AC与BD互相垂直，
∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确．
D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形的常用判定方法有：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是90度的平行四边形是矩形；有三个角是90度的四边形是矩形．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：A、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故本选项符合题意；
C、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意；
D、由，，，无法判断四边形是矩形，故不符合题意．
故选：B．
7．A
【分析】连接OB，根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】解：连接OB，
∵四边形ABCD为菱形
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=62°，
∴∠BCA=∠DAC=62°，
∴∠OBC=90°-62°=28°．
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
8．D
【分析】根据线段垂直平分线的性质对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：根据题意可画出下图，
A、∵C、D是线段的垂直平分线上的两点，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴AD=BD，故本选项正确；
B、∵C是线段的垂直平分线上的点，∴AC=BC，∴，∵AB平分，∴，∴，∴，故本选项正确；
C、∵AB平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴垂直平分，故本选项正确；
D、∵AB与CD互相垂直平分，∴四边形ABCD是菱形，∴AB、CD不一定相等，故本选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识点，综合运用以上性质定理是解答此题的关键．
9．A
【详解】矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°．又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形．
故选A．
点睛：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，方法有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
10．B
【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断．
【详解】解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确．
故答案为B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．
11．B
【详解】设矩形的宽为x，则长为4x．
根据题意得：4x2=16，
所以x2=4．
根据算术平方根的意义可得x=2．
故选：B．
12．A
【分析】由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．
【详解】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD==13，
又∵E是边AD的中点，
∴OE=AD=×13=6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG=OE=6.5．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
13．90
【详解】（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD．
又∵CE平分∠ACB，FC平分∠ACD．
∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴EO=OC，FO=OC，
∴EO=FO；
OE=OC=OF，
当OC=OA，即点O为AC的中点时，
∴OE=OC=OF=OA，
∴四边形AECF是平行四边形，AC=EF，
∴这时四边形AECF是矩形,
∴当点O运动到AC中点时，
四边形AECF是矩形，
由正方形AECF可知，AC⊥EF，
又∵EF∥BC，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是∠ACB=90°.
14．/
【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解．
【详解】解：的周长为18，
．
为的中点，
．
，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，O为的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
15．58°/58度
【分析】先证明△ADF≌△CDF，得到∠DAF=∠DCF，求出∠DAF，进而可求∠BCF．
【详解】解：∵在正方形ABCD，AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF=∠DCF，
又∵AD∥BC，∠E=32°，
∴∠DAF=32°，
∴∠DCF=32°，
∴∠BCF=∠DCB－∠DCF=90°－32°=58°．
故答案为：58°．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
16．/60度
【分析】连结，根据点D、E、F分别为各边的中点，可得，为的中位线，可确定，，利用平行线性质可得，由，点D为中点，点F为中点，根据直角三角形斜边中线性质可得，，可证在和中，即可．
【详解】解：连结，
∵点D、E、F分别为各边的中点，
∴，为的中位线，
∴，，
∴，
∵，点D为中点，点F为中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，掌握三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质是解题关键．
17．．
【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴，即，BP=，CP=BC﹣BP==，
S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD DQ﹣CQ CP﹣BE BP=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，
故答案为．
【点睛】本题考查1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．
18．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据题目条件可得四边形为平行四边形，进而可通过角平分线证明其邻边相等，再加上一个角，即可说明是正方形，
（2）根据正方形的性质先求出边长，即可得面积．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
平分，
．
，
．
．
．
四边形是菱形．
，
四边形是正方形．
（2）解：四边形是正方形，，
，
，
，
四边形的面积为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，正方形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握正方形的几种判定方法及性质是解题关键．
19．(1)见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【详解】（1）证明：在中，．又，
∴四边形是平行四边形．
（2）四边形是菱形．证明：∵四边形是平行四边形，．∵点分别是的中点，．．∴四边形是平行四边形．∵四边形是矩形，．在中，为的中点，．∴平行四边形是菱形．
易错点分析:本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、直角三角形的性质．解题时应注意：在直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半．
20．阴影部分的面积和为14
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，如图，因为四边形，是正方形，所以可以得到四边形是对角互补的四边形，过作，的垂线，垂足分别为，，先证，从而推得四边形的面积为正方形面积的四分之一，同样的方法，求得另外两个阴影部分面积，即可解决．
【详解】解：设正方形、、中的面积分别为，，，
如图，设与交于点，与交于点，
过分别作于，于，
连接，，
四边形是正方形，是对角线的交点，
平分，且是等腰直角三角形，
，，
，
，
四边形为正方形，
，
四边形是正方形，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
同理，，，
阴影部分的面积和为：．
21．能，过程见解析
【分析】根据题意，剪纸图案是正方形，为轴对称图形，根据正方形的性质，再结合轴对称性质：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，即可得到答案．
【详解】解：能，具体操作如下：
首先沿着正方形的两边、中点所在直线折叠，得到矩形，如图所示：
然后沿着矩形的两边、中点所在直线折叠，得到正方形，如图所示：
最后取正方形两边、上两点、，使，沿着剪掉，即可得到图形，如图所示：
【点睛】本题考查了轴对称的意义及正方形的性质在实际生活当中的运用，熟练掌握正方形的性质及轴对称的意义是解决问题的关键．
22．（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据题意得出，，根据AAS即可证明；
（2）由（1）可得到，再根据菱形的性质得出，即可证明平行四边形OCFD是矩形.
【详解】证明：（1），
，.
E是CD中点，，
又
(AAS)
（2），
，.
，
四边形OCFD是平行四边形，
平行四边形ABCD是菱形，
.
平行四边形OCFD是矩形.
【点睛】此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.
23．作图见解析.
【分析】分类讨论如下：
①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；
②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；
③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；
④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；
⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可．
【详解】解：满足条件的所有图形如图所示：
【点睛】本题主要考查了作图—应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理．
24．见解析
【详解】试题分析：连接BD．利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；
试题解析：证明：连接BD.
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线,
EH∥BD.
同理得 FG∥BD.
∴EH=FG,EH∥FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
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