19.4综合与实践多边形的镶嵌同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 19.4综合与实践多边形的镶嵌同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 557.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-01 21:14:00 | ||
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文档简介
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19.4综合与实践多边形的镶嵌
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用边长相等的下列两种正多边形，不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．等边三角形和正六边形 B．正方形和正八边形
C．正五边形和正十边形 D．正六边形和正十二边形
2．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正五边形
3．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
4．一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边数为（ ）
A．12 B．8 C．9 D．7
6．用正三角形和正六边形镶嵌,若每一个顶点周围有m个正三角形、n 个正六边形,则m,n满足的关系式是( )
A．2m+3n=12 B．m+n=8 C．2m+n=6 D．m+2n=6
7．六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是（ ）
A．正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖 D．正四边形地砖
8．小李家装饰地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
9．小华家房屋地面装修，爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，小华告诉爸爸：只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，这种正多边形地砖的形状可以是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
10．在下列四组多边形地板砖中：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
11．用一种正多边形铺满地面的条件是（ ）
A．内角是整数度数 B．边数是3的倍数
C．内角能被整除 D．内角能被整除
12．某中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形、正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数分别是( )
A．1、2 B．2、1 C．2、2 D．2、3
二、填空题
13．与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是 ．（只要求写出一种即可）
14．如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ．
15．将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则 ．
16．幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板 (填三种)．
17．如果铺满地面，那么用正方形和等边三角形，正六边形三种组合的比例应为 ．
三、解答题
18．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌（简称镶嵌）．在生活中，我们运用镶嵌可以设计出美丽的图案．
（1）观察图①，我们发现：用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为 °；
（2）如图②，长方形的长为2cm、宽为1cm，若用4个这样的长方形镶嵌成1个大长方形，则该长方形周长的最小值是 cm；
（3）如图③，用3个边长为1cm的正三角形和2个边长为1cm的正方形，可以镶嵌成1个七边形，请你画出该七边形的示意图．
19．四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？
20．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）
（2）请画出你的镶嵌图．
21．如图，足球由正五边形皮块（黑色）和正六边形皮块（白色）缝成．如果取下一黑两白两两相邻的三块皮块，能不能将这三块皮块连在一起铺平？为什么？
（提示：三块皮块有一个公共顶点．考虑位于公共定点处的三个内角的和是否360°）
22．【问题背景】
生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
（1）填写表中空格：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
（2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．
①正三角形
②正五边形
③正六边形
④正七边形
⑤正八边形
【拓展应用】
（3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值．
23．用黑白两种颜色的六边形地板砖按如图所示的方法拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地板砖多少块？
……
第1个 第2个 第3个
24．使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里面叫做平面镶嵌）．平面镶嵌显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形．
(1)请填写下表
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
(2)如果单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是________
A．正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正五边
(3)在镶嵌平面时，围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角，请求x和y的值
《19.4综合与实践多边形的镶嵌》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B A D A C B D
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】A、正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°=360°，能密铺；
B、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密铺，；
C、正五形的每个内角是108°，正十边形的每个内角是144°，∵2×108°+144°=360°，能密铺，；
D、正六边形的每个内角是120°和正十二边形的每个内角是150°，120m+150n=360°，m=3﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选D．
【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是掌握平面镶嵌（密铺）的条件.
2．D
【分析】本题主要查了几何图形镶嵌成平面．根据“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌”，即可作出判断：
【详解】A、正三角形的一个内角度数为，是的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为，是的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正方形的一个内角度数为，是的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正五边形的一个内角度数为，不是的约数，不能镶嵌平面，符合题意．
故选D．
3．D
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．
【详解】解：A、正三角形的一个内角度数为180°﹣360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正四边形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正八边形的一个内角度数为180°﹣360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
故选D．
4．B
【分析】根据镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为，列式求解即可．
【详解】解：正方形的每个内角是，正三角形的每个内角是，
根据题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌时在一个顶点处各个内角和为．
5．A
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：正多边形的外角是：180°-150°=30°，
360°÷30°=12．
则这个正多边形是正十二边形．
故选：A．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．
6．D
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【详解】正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360度，
而正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，
根据题意可知60°×m+120°×n=360°，
化简得到m+2n=6．
故选D．
【点睛】本题考查了平面镶嵌的条件，熟练掌握在每一个顶点处的几个角的和为360度是解题的关键.
7．A
【详解】解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
B、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意．
故选：A．
8．C
【分析】根据密铺的条件得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可．
【详解】解：A、正方形的每个内角是90°，90°×2＋60°×3＝360°，所以能密铺；
B、正六边形每个内角是120°，120°＋60°×4＝360°，所以能密铺；
C、正八边形每个内角是180° 360°÷8＝135°，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，所以不能密铺；
D、正十二边形每个内角是150°，150°×2＋60°＝360°，所以能密铺．
故选：C．
【点睛】本题考查两种正多边形的镶嵌应符合多个内角度数和等于360°．
9．B
【分析】本题考查平面镶嵌，解决此类题的关键是记住几个常用正多边形的内角度数，以及能够用多种正多边形镶嵌的几个组合．根据题意，先清楚正八边形的每个内角度数为，再求出所给选项中的图形每个内角的度数，看其能否够成的周角，并以此为依据进行求解判断即可．
【详解】解：A项，正八边形、正三角形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意；
B项，正方形、正八边形的每个内角度数分别为，，由于，所以能铺满，符合题意
C项，正八边形、正五边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意
D项，正六边形和正八边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意．
故选：B．
10．D
【详解】解：（1）正三角形内角为60°，正方形内角为90°，可以由3个正三角形和2个正方形可以密铺；
（2）正六边形内角120°，可由2个正三角形2个正六边形密铺；
（3）正六边形和正方形无法密铺；
（4）正八边形内角为135°，正方形内角为90°，2个正八边形和1个正方形可以密铺．
故选D．
11．D
【分析】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为，因此我们只需验证是不是正多边形的一个内角度数的整数倍．
【详解】解：用一种正多边形能进行平面图形铺设的条件，只需验证是不是正多边形的一个内角度数的整数倍，即内角整除．
故选：D．
12．D
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
【详解】正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°=360°，
∴正方形、正三角形地砖的块数可以分别是2，3．
故选D．
【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
13．正方形．
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】解：可以选正方形，
正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°=360°，
∴正方形和正三角形能铺满地面，
故答案为正方形．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
14．
【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数．
【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与，
，
这块正多边形地砖的边数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面密铺的知识，解决此类题，记住几个常用正多边形的内角，关键是看位于同一顶点处的几个角之和为．
15．84
【分析】根据正三角形和正五边形的内角即可证明.
【详解】解：设图形的交点为A,B,C,
如下图,∵正三角形的每个内角为60°,正五边形的每个内角为108°,
∴∠1=180°-∠BAC-60°,
∠2=180°-∠ABC-108°,
∠3=180°-∠BCA-108°,
∴540°-（∠BAC+∠ABC+∠BCA）-（60°+108°+108°）=84°.
【点睛】本题考查了正多边形的内角,三角形内角和,中等难度,熟悉正多边形概念,是解题关键.
16．正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形(写出其它图形，只要符合题目要求，均可得分)
【详解】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意一种多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
17．2:1:1
【分析】根据几何图形镶嵌成平面的条件是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得出答案．
【详解】解：∵正方形、等边三角形和正六边形的内角的度数分别是90，60，120，
∴正方形、等边三角形和正六边形三种组合的比例应为2：1：1；
故答案为2：1：1．
【点睛】本题考查平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
18．（1）360；（2）12；（3）见解析
【分析】（1）根据周角的定义即可得到答案；
（2）根据矩形的周长计算即可；
（3）根据周角360°即可得到图形．
【详解】解：（1）用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为360°，
故答案为：360；
（2）如图，
长方形的长为2cm、宽为1cm，若用4个这样的长方形镶嵌成1个大长方形，则该长方形周长的最小值是12（cm），
故答案为：12；
（3）七边形如图所示，
【点睛】本题考查了图形的镶嵌，矩形的性质，正确理解题意画出图形是解题的关键．
19．两个三角形；两条对角线；将五边形分成三个三角形．
【分析】画出图形判断即可．
【详解】解：四边形图形如下：
∴四边形的一条对角线将四边形分成两个三角形，
五边形图形如下：
∴从五边形的一个顶点出发，可以画出两条对角线，它们将五边形分成三个三角形．
【点睛】本题考查了多边形，正确画出图形是解题的关键．
20．（1）3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；（2）如图所示见解析.
【分析】（1）看几个正方形的一个内角与几个正三角形的一个内角度数之和为360°即可；
（2）根据（1）得到的结果画出相应图形即可．
【详解】解：（1）正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，因为3×60+2×90=360°，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；
（2）如图所示：
【点睛】用到的知识点为：两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为360°．
21．不能将这三块皮块连在一起铺平，理由见解析.
【分析】利用五边形以及正六边形的性质得出两图形在平面内无法组合成,即可得出答案.
【详解】不能将这三块皮块连在一起铺平，因为正五边形每个内角是108°，正六边形每个内角是120 ，108 ＋120 ×2＝348 ＜360 ，所以不能将这三块皮块连在一起铺平.
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌,利用正多边形内角的关系是解题关键.
22．（1），；（2）①③；（3）x和y是值为或
【分析】该题主要考查了n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握n边形内角和定理以及平面镶嵌．
（1）根据n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解；
（2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答；
（3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解；
【详解】解：（1）正三角形的每一个内角的度数为，
正方形的每一个内角的度数为，
正五边形的每一个内角的度数为，
故答案为：，；
（2）由（1）的方法可求出，
①正三角形的每一个内角的度数是，
②正五边形的每一个内角的度数是，
③正六边形的每一个内角的度数是，
④正七边形的每一个内角的度数是，
⑤正八边形的每一个内角的度数是，
由于，
所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形，
故答案为：①③；
（3）由题意得，x、y满足的正整数解，
二元一次方程的正整数解为或，
答：x和y是值为或．
23．块
【分析】根据题意：第1个图案中，白色的地砖有6=4×1+2块；第2个图案中，白色的地砖有4×2+2=10块；第3个图案中，白色的地砖有4×3+2=14块；...第n个图形中，白色的地砖有（4n+2）块．
【详解】第1个图案中有白色地板砖6块，
第2个图案中有白色地板砖10块，
第3个图案中有白色地板砖14块，
……
可归纳第n个图案中有（4n+2）块白色地板砖，
故答案为（4n+2）.
【点睛】此题考查规律型：图形的变化类，平面镶嵌（密铺），解题关键在于找到规律.
24．(1)填表见解析
(2)D
(3)，
【分析】（1）根据正多边形的内角和公式及正多边形的每个内角都相等依次求出结果即可；
（2）根据每个多边形内角的度数进行判断即可；
（3）根据x个正方形和y个正八边形的内角和为列出二元一次方程，然后再根据x、y为正整数求出结果即可．
【详解】（1）解：，则正三角形的每个内角为；
，则正四边形的每个内角为；
，则正五边形的每个内角为；
，则正六边形的每个内角为；
则正n边形的每个内角为；
填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
（2）解：A．∵，∴正三角形能进行平面镶嵌，故A不符合题意；
B．∵，∴正六边形能进行平面镶嵌，故B不符合题意；
C．∵，∴正方形能进行平面镶嵌，故C不符合题意；
D．∵，∴正五边形不能进行平面镶嵌，故D符合题意；
故选：D．
（3）解：根据题意，可得方程：
，
整理得：，
∵x、y为正整数，
∴，
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
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19.4综合与实践多边形的镶嵌
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用边长相等的下列两种正多边形，不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．等边三角形和正六边形 B．正方形和正八边形
C．正五边形和正十边形 D．正六边形和正十二边形
2．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正五边形
3．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
4．一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边数为（ ）
A．12 B．8 C．9 D．7
6．用正三角形和正六边形镶嵌,若每一个顶点周围有m个正三角形、n 个正六边形,则m,n满足的关系式是( )
A．2m+3n=12 B．m+n=8 C．2m+n=6 D．m+2n=6
7．六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是（ ）
A．正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖 D．正四边形地砖
8．小李家装饰地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
9．小华家房屋地面装修，爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，小华告诉爸爸：只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，这种正多边形地砖的形状可以是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
10．在下列四组多边形地板砖中：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
11．用一种正多边形铺满地面的条件是（ ）
A．内角是整数度数 B．边数是3的倍数
C．内角能被整除 D．内角能被整除
12．某中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形、正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数分别是( )
A．1、2 B．2、1 C．2、2 D．2、3
二、填空题
13．与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是 ．（只要求写出一种即可）
14．如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ．
15．将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，则 ．
16．幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板 (填三种)．
17．如果铺满地面，那么用正方形和等边三角形，正六边形三种组合的比例应为 ．
三、解答题
18．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌（简称镶嵌）．在生活中，我们运用镶嵌可以设计出美丽的图案．
（1）观察图①，我们发现：用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为 °；
（2）如图②，长方形的长为2cm、宽为1cm，若用4个这样的长方形镶嵌成1个大长方形，则该长方形周长的最小值是 cm；
（3）如图③，用3个边长为1cm的正三角形和2个边长为1cm的正方形，可以镶嵌成1个七边形，请你画出该七边形的示意图．
19．四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？
20．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）
（2）请画出你的镶嵌图．
21．如图，足球由正五边形皮块（黑色）和正六边形皮块（白色）缝成．如果取下一黑两白两两相邻的三块皮块，能不能将这三块皮块连在一起铺平？为什么？
（提示：三块皮块有一个公共顶点．考虑位于公共定点处的三个内角的和是否360°）
22．【问题背景】
生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
（1）填写表中空格：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
（2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．
①正三角形
②正五边形
③正六边形
④正七边形
⑤正八边形
【拓展应用】
（3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值．
23．用黑白两种颜色的六边形地板砖按如图所示的方法拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地板砖多少块？
……
第1个 第2个 第3个
24．使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里面叫做平面镶嵌）．平面镶嵌显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形．
(1)请填写下表
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
(2)如果单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是________
A．正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正五边
(3)在镶嵌平面时，围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角，请求x和y的值
《19.4综合与实践多边形的镶嵌》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B A D A C B D
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】A、正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°=360°，能密铺；
B、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密铺，；
C、正五形的每个内角是108°，正十边形的每个内角是144°，∵2×108°+144°=360°，能密铺，；
D、正六边形的每个内角是120°和正十二边形的每个内角是150°，120m+150n=360°，m=3﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选D．
【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是掌握平面镶嵌（密铺）的条件.
2．D
【分析】本题主要查了几何图形镶嵌成平面．根据“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌”，即可作出判断：
【详解】A、正三角形的一个内角度数为，是的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为，是的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正方形的一个内角度数为，是的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正五边形的一个内角度数为，不是的约数，不能镶嵌平面，符合题意．
故选D．
3．D
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．
【详解】解：A、正三角形的一个内角度数为180°﹣360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正四边形的一个内角度数为180°﹣360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的一个内角度数为180°﹣360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正八边形的一个内角度数为180°﹣360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
故选D．
4．B
【分析】根据镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为，列式求解即可．
【详解】解：正方形的每个内角是，正三角形的每个内角是，
根据题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌时在一个顶点处各个内角和为．
5．A
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：正多边形的外角是：180°-150°=30°，
360°÷30°=12．
则这个正多边形是正十二边形．
故选：A．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．
6．D
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【详解】正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360度，
而正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，
根据题意可知60°×m+120°×n=360°，
化简得到m+2n=6．
故选D．
【点睛】本题考查了平面镶嵌的条件，熟练掌握在每一个顶点处的几个角的和为360度是解题的关键.
7．A
【详解】解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
B、正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意．
故选：A．
8．C
【分析】根据密铺的条件得，两多边形内角和必须凑出360°，进而判断即可．
【详解】解：A、正方形的每个内角是90°，90°×2＋60°×3＝360°，所以能密铺；
B、正六边形每个内角是120°，120°＋60°×4＝360°，所以能密铺；
C、正八边形每个内角是180° 360°÷8＝135°，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，所以不能密铺；
D、正十二边形每个内角是150°，150°×2＋60°＝360°，所以能密铺．
故选：C．
【点睛】本题考查两种正多边形的镶嵌应符合多个内角度数和等于360°．
9．B
【分析】本题考查平面镶嵌，解决此类题的关键是记住几个常用正多边形的内角度数，以及能够用多种正多边形镶嵌的几个组合．根据题意，先清楚正八边形的每个内角度数为，再求出所给选项中的图形每个内角的度数，看其能否够成的周角，并以此为依据进行求解判断即可．
【详解】解：A项，正八边形、正三角形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意；
B项，正方形、正八边形的每个内角度数分别为，，由于，所以能铺满，符合题意
C项，正八边形、正五边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意
D项，正六边形和正八边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意．
故选：B．
10．D
【详解】解：（1）正三角形内角为60°，正方形内角为90°，可以由3个正三角形和2个正方形可以密铺；
（2）正六边形内角120°，可由2个正三角形2个正六边形密铺；
（3）正六边形和正方形无法密铺；
（4）正八边形内角为135°，正方形内角为90°，2个正八边形和1个正方形可以密铺．
故选D．
11．D
【分析】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为，因此我们只需验证是不是正多边形的一个内角度数的整数倍．
【详解】解：用一种正多边形能进行平面图形铺设的条件，只需验证是不是正多边形的一个内角度数的整数倍，即内角整除．
故选：D．
12．D
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
【详解】正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°=360°，
∴正方形、正三角形地砖的块数可以分别是2，3．
故选D．
【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
13．正方形．
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】解：可以选正方形，
正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，
∵3×60°+2×90°=360°，
∴正方形和正三角形能铺满地面，
故答案为正方形．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
14．
【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数．
【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与，
，
这块正多边形地砖的边数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面密铺的知识，解决此类题，记住几个常用正多边形的内角，关键是看位于同一顶点处的几个角之和为．
15．84
【分析】根据正三角形和正五边形的内角即可证明.
【详解】解：设图形的交点为A,B,C,
如下图,∵正三角形的每个内角为60°,正五边形的每个内角为108°,
∴∠1=180°-∠BAC-60°,
∠2=180°-∠ABC-108°,
∠3=180°-∠BCA-108°,
∴540°-（∠BAC+∠ABC+∠BCA）-（60°+108°+108°）=84°.
【点睛】本题考查了正多边形的内角,三角形内角和,中等难度,熟悉正多边形概念,是解题关键.
16．正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形(写出其它图形，只要符合题目要求，均可得分)
【详解】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意一种多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
17．2:1:1
【分析】根据几何图形镶嵌成平面的条件是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得出答案．
【详解】解：∵正方形、等边三角形和正六边形的内角的度数分别是90，60，120，
∴正方形、等边三角形和正六边形三种组合的比例应为2：1：1；
故答案为2：1：1．
【点睛】本题考查平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
18．（1）360；（2）12；（3）见解析
【分析】（1）根据周角的定义即可得到答案；
（2）根据矩形的周长计算即可；
（3）根据周角360°即可得到图形．
【详解】解：（1）用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为360°，
故答案为：360；
（2）如图，
长方形的长为2cm、宽为1cm，若用4个这样的长方形镶嵌成1个大长方形，则该长方形周长的最小值是12（cm），
故答案为：12；
（3）七边形如图所示，
【点睛】本题考查了图形的镶嵌，矩形的性质，正确理解题意画出图形是解题的关键．
19．两个三角形；两条对角线；将五边形分成三个三角形．
【分析】画出图形判断即可．
【详解】解：四边形图形如下：
∴四边形的一条对角线将四边形分成两个三角形，
五边形图形如下：
∴从五边形的一个顶点出发，可以画出两条对角线，它们将五边形分成三个三角形．
【点睛】本题考查了多边形，正确画出图形是解题的关键．
20．（1）3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；（2）如图所示见解析.
【分析】（1）看几个正方形的一个内角与几个正三角形的一个内角度数之和为360°即可；
（2）根据（1）得到的结果画出相应图形即可．
【详解】解：（1）正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，因为3×60+2×90=360°，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；
（2）如图所示：
【点睛】用到的知识点为：两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为360°．
21．不能将这三块皮块连在一起铺平，理由见解析.
【分析】利用五边形以及正六边形的性质得出两图形在平面内无法组合成,即可得出答案.
【详解】不能将这三块皮块连在一起铺平，因为正五边形每个内角是108°，正六边形每个内角是120 ，108 ＋120 ×2＝348 ＜360 ，所以不能将这三块皮块连在一起铺平.
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌,利用正多边形内角的关系是解题关键.
22．（1），；（2）①③；（3）x和y是值为或
【分析】该题主要考查了n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握n边形内角和定理以及平面镶嵌．
（1）根据n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解；
（2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答；
（3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解；
【详解】解：（1）正三角形的每一个内角的度数为，
正方形的每一个内角的度数为，
正五边形的每一个内角的度数为，
故答案为：，；
（2）由（1）的方法可求出，
①正三角形的每一个内角的度数是，
②正五边形的每一个内角的度数是，
③正六边形的每一个内角的度数是，
④正七边形的每一个内角的度数是，
⑤正八边形的每一个内角的度数是，
由于，
所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形，
故答案为：①③；
（3）由题意得，x、y满足的正整数解，
二元一次方程的正整数解为或，
答：x和y是值为或．
23．块
【分析】根据题意：第1个图案中，白色的地砖有6=4×1+2块；第2个图案中，白色的地砖有4×2+2=10块；第3个图案中，白色的地砖有4×3+2=14块；...第n个图形中，白色的地砖有（4n+2）块．
【详解】第1个图案中有白色地板砖6块，
第2个图案中有白色地板砖10块，
第3个图案中有白色地板砖14块，
……
可归纳第n个图案中有（4n+2）块白色地板砖，
故答案为（4n+2）.
【点睛】此题考查规律型：图形的变化类，平面镶嵌（密铺），解题关键在于找到规律.
24．(1)填表见解析
(2)D
(3)，
【分析】（1）根据正多边形的内角和公式及正多边形的每个内角都相等依次求出结果即可；
（2）根据每个多边形内角的度数进行判断即可；
（3）根据x个正方形和y个正八边形的内角和为列出二元一次方程，然后再根据x、y为正整数求出结果即可．
【详解】（1）解：，则正三角形的每个内角为；
，则正四边形的每个内角为；
，则正五边形的每个内角为；
，则正六边形的每个内角为；
则正n边形的每个内角为；
填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
（2）解：A．∵，∴正三角形能进行平面镶嵌，故A不符合题意；
B．∵，∴正六边形能进行平面镶嵌，故B不符合题意；
C．∵，∴正方形能进行平面镶嵌，故C不符合题意；
D．∵，∴正五边形不能进行平面镶嵌，故D符合题意；
故选：D．
（3）解：根据题意，可得方程：
，
整理得：，
∵x、y为正整数，
∴，
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
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