第二十六章 概率初步 单元练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十六章概率初步
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为，，， ，，，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为，计算，则其结果恰为的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（反，反）的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中是确定事件的是（ ）
A．直角三角形都相似 B．正方形都相似 C．等腰三角形都相似 D．菱形都相似
4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
5．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的试验可能是（　　）
试验次数 100 200 500 800 1000 1200
实验频率 0.343 0.326 0.335 0.330 0.331 0.330
A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空
D．从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同
6．某收费站在小时内对经过该站的机动车统计如下：
类型 轿车 货车 客车 其他
数量（辆）
若有一辆机动车将经过这个收费站，利用上面的统计估计它是轿车的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．经过十字路口的汽车，可能直行，也可能向左或向右转，如果三种可能性大小相同，两辆车经过这个路口全部右行的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．抛掷一枚质量分布均匀的硬币，出现“正面”和出现“反面”的机会均等，则下列说法正确的是（　　）
A．抛1000次的话一定会有500次出现“正面”
B．抛1000次的话一定会有500次出现“反面”
C．抛1000次的话出现“正面”和出现“反面”的次数都可能接近500次
D．抛1000次的话，出现“正面”和出现“反面”的次数无法预测，没有规律可循
9．如图，湖边建有，，，共4座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参观一遍，从入口处进，先经过凉亭，接下来参观凉亭或凉亭（已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中，正确的是（　　）
A．不可能事件发生的概率是0 B．打开电视机正在播放动画片，是必然事件
C．随机事件发生的概率是 D．对“梦想的声音”节目收视率的调查，宜采用普查
11．某十字路口的交通信号灯，每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的可能性大小为（ ）
A． B． C． D．
12．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外其余均相同的小球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋子中白球有 个．
14．一个袋子中有两个黄球，一个红球，任意摸出一个球后放回去，再任意摸出一个球，求两次摸到一红球和一黄球的概率为 ．
15．已知0（i=1，2，…，2024）满足，则使得一次函数y=aix+i（i=1，2，…，2024）的图像过一、二、三象限的ai的概率为 ．
16．在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，估计袋中红球有 个．
17．“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是 事件（填“随机”“不可能”或“必然”）．
三、解答题
18．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率
（1）计算表中相应的“射中9环以上”的频率（结果保留小数点后两位）．
（2）这些频率具有怎样的稳定性？
（3）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（结果保留小数点后一位）．
19．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次．
（1）若两次数字之和为6，7或8，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
（2）若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．
20．如图，在一块三角形面板上，分别为的中点，小宇随意向三角形面板内部掷飞镖（假如每次都能掷在三角形的区域内）．
(1)求掷中三角形区域的概率；
(2)小恒与小宇比赛，规定如下：若小宇掷中三角形区域，则小宇获胜；若小恒掷中阴影区域，则小恒获胜．这个规则公平吗？为什么？
21．小明同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：分)的数据，统计如下：
公交车 用时/分
A线路 59 151 166 124
B线路 43 57 149 251
(1)据此估计，早高峰期间，乘坐B线路用时不超过35分钟的概率是多少？
(2)若要在40分钟内到达学校，应尽量选择乘坐哪条公交线路？
22．小明有3双黑袜子和1双白袜子，假设袜子不分左右，那么从中随机抽取2只恰好配成一双的概率是多少？如果袜子分左右呢？
23．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个,它们除颜色外都相同，其中黄球的个数是白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是.
(1)求袋中红球的个数；
(2)求从袋中摸出一个球是白球的概率；
(3)取走10个球(其中没有红球)后,求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率.
24．国宝大熊猫作为体育盛会的吉祥物见证了祖国的日益强大．从1990年北京亚运会的“盼盼”，到2008年北京奥运会的“福娃晶晶”，再到北京冬奥会的“冰墩墩”．现在将4张卡片（如图，分别记为A、B、C、D）背面朝上洗匀，这些卡片除图案外其余均相同．
(1)小明从中随机抽取1张，抽到冰墩墩的概率为______；
(2)小明从中随机抽取2张，抽取规则为：先随机抽取1张不放回，再随机抽取1张．请利用树状图或列表法求出小明抽取的2张卡片都是冰墩墩的概率．
《第二十六章概率初步》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D D B A C C A
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】本题考查了绝对值方程，概率公式求概率，先求出绝对值方程的解，即可解决问题．
【详解】解：，
或．
其结果恰为的概率为
故选：C．
2．D
【分析】由列举法可得：掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情况有1种，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情况有1种，
∴（反，反）的概率．
故选：D
【点睛】本题考查了列举法求概率，解本题的关键在熟练掌握概率公式．概率=所求情况数与总情况数之比．
3．B
【分析】根据随机事件，确定事件的定义一一判断即可．
【详解】A．任意直角三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似，故选项错误，不符合题意；
B．任意正方形的对应角相等，对应边的比也相等，所以正方形都相似是确定事件，故选项正确，符合题意；
C．任意等腰三角形的对应角不一定相等，不一定相似，故选项错误，不符合题意；
D．任意菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了随机事件，确定事件等知识，解题的关键是正确理解确定事件、随机事件的概念：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．D
【分析】直接由概率公式求解即可.
【详解】根据题意得=30%，解得：n=30，
经检验：n=30符合题意，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．
【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键.
5．D
【分析】根据统计图可知，试验结果的频率在0.33附近波动，即其概率约为0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】解：由表格可知：此实验的频率最后稳定在0.33左右，
如下树状图：
故先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为，与表格不符，不符合题意；
B．如下表：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6的概率为，与表格不符，不符合题意；
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空的概率为1，与表格不相符，不符合题意；
D．如下树状图：
故从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同的概率为，与表格相符，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．B
【分析】根据图表即可得出轿车的数量以及机动车的数量，进而求出概率即可．
【详解】解：由图表可得出：
轿车的数量为：36，机动车的数量为：36+24+8+12=80，
∴轿车的概率为：，
故选B．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率以及概率求法，根据已知得出轿车的数量以及机动车的数量是解题关键．
7．A
【分析】可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，恰好全部右行的有1种结果，根据概率公式计算可得．
【详解】画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能结果，其中两辆汽车经过这个十字路口时，恰好全部右行的有1种结果
有两辆汽车经过十字路口全部直行的概率是，
故选：A．
【点睛】此题考查了树状图法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．
8．C
【分析】根据频率与概率之间的关系进行解答即可．
【详解】“抛掷一枚质量分布均匀的硬币，出现‘正面’和出现‘反面’的机会均等”的意思是说，每抛掷一次，出现“正面”或“反面”的机会是均等，但不是说每抛掷两次，‘正面’和‘反面’就各出现一次；即在大次数的抛掷试验中，出现“正面”和“反面”的次数是接近的；所以A、B、D的说法都是错的，只有C的说法是正确的．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，掌握大量重复实验得出的频率稳定值即为概率是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
由树状图得：共有4种等可能的情况数，其中最后一次参观的凉亭为凉亭的有2种，
则最后一次参观的凉亭为凉亭的概率为，
故选：C．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
10．A
【详解】试题解析A、不可能事件发生的概率是0，故A符合题意；
B、打开电视机正在播放动画片，是随机事件，故B不符合题意；
C、随机事件发生的概率是0＜P＜1，故C不符合题意；
D、对“梦想的声音”节目收视率的调查，宜采用抽样调查，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
11．C
【分析】用绿灯亮的时间除以三种灯亮总时间即可解答．
【详解】解：除以三种灯亮总时间是30+25+5=60秒，绿灯亮25秒，
所以绿灯的概率是：．
故选C．
【点睛】本题主要考查了概率的基本计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键.
12．A
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少．
【详解】根据题意可知，每分钟内黄灯亮的时间为秒，每分钟内黄灯亮的概率为，故抬头看是黄灯的概率为.
故选A.
【点睛】本题主要考查求随机事件概率的方法，熟悉掌握随机事件A的概率公式是关键.
13．4
【详解】试题分析：不透明的布袋中的小球除颜色不同外，其余均相同，共有10个小球，设其中白色小球x个，根据古典型概率公式知：P（白色小球），解得：x=4．
14．
【分析】先画出树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次摸到一红球和一黄球的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有9种，其中，两次摸到一红球和一黄球的结果有4种，
则两次摸到一红球和一黄球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
15．
【分析】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握绝对值的性质，一次函数的图象和性质，以及概率的求解方法．根据的值不是1就是，得出有12个是负数，2012个是正数，再根据一次函数经过一、二、三象限得出一次项系数大于0，即可求出概率．
【详解】解：∵的值不是1就是，
且满足，
∴，，，
∴有12个是，2012个是1，
∵时直线的图象经过一、二、三象限，
∴使直线的图象经过一、二、三象限的概率是．
故答案为：．
16．
【分析】根据口袋中有个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，口袋中有个黑球，
∴设有个红球，
∴，解得，，
经检验是分式方程的解，
∴口袋中红球约有个．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
17．随机
【分析】此题主要考查了随机事件的概念，解决本题需要正确理解不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可解决．
【详解】解：“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是随机事件．
故答案为：随机．
18．（1）0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80；（2）在 0.8附近摆动；（3）0.8．
【分析】（1）根据频率=频数÷总数进行求解即可；
（2）根据（1）中计算的结果进行分析即可；
（3）用频率估计概率即可得到答案．
【详解】解：（1），，，，，，
故答案为：0.75，0.83，0.78，0.79，0.80，0.80；
（2）从频率的波动情况来看可以发现频率稳定在0.8附近；
（3）P（9环以上）=0.8，从频率的波动情况来看可以发现频率稳定在0.8附近，
∴运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键在于能够熟练掌握大量反复试验下频率稳定值即概率．
19．（1）不公平，理由见解析；（2）不公平，理由见解析
【分析】根据题意通过列表法，分别求得小明和小亮获胜的概率即可解决问题．
【详解】（1）依题意列表得
A\B 2 3 4 5 6
1 1+2=3 1+3=4 1+4=5 1+5=6 1+6=7
2 2+2=4 2+3=5 2+4=6 2+5=7 2+6=8
3 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+5=8 3+6=9
4 4+2=6 4+3=7 4+4=8 4+5=9 4+6=10
5 5+2=7 5+3=8 5+4=9 5+5=10 5+6=11
共25种等可能结果，两次数字之和为6，7或8，有13种可能结果，
则小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，游戏不公平；
（2）根据（1）中的列表可知，共25种等可能结果，两次数字之和为奇数，有13种可能结果，则小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，游戏也不公平．
【点睛】本题考查了列表法求概率，所有可能取值的概率之和为1，掌握列表法求概率是解题的关键．
20．(1)
(2)公平，理由见解析
【分析】本题考查了几何概率，游戏的公平性，三角形的中线，掌握概率的计算方法是解题的关键．
（）根据三角形中线的性质可得，进而根据概率公式计算即可求解；
（）根据三角形中线的性质可得，进而求出掷中阴影区域的概率，再根据掷中三角形区域的概率比较即可求解；
【详解】（1）解：∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∴掷中三角形区域的概率为；
（2）解：公平，理由如下：
∵分别为的中点，
∴，，
∵为的中点，
∴，，
∴，,
∴，
即，
∴掷中阴影区域的概率，
∵掷中三角形区域的概率与掷中阴影区域的概率相等，
∴这个规则公平．
21．(1)
(2)选择A线路
【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，解题的关键是熟练掌握概率公式．
（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）先求出A线路不超过40分钟的有个，B线路不超过40分钟的有249个，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：∵乘坐B线路用时不超过35分钟的有（个），
∴乘坐B线路用时不超过35分钟的概率为；
（2）解：∵A线路不超过40分钟的有（个），B线路不超过40分钟的有（个），
又∵，
∴选择A线路．
22．
【分析】设黑色的袜子用A表示，B表示白色的袜子，根据要求画树状图计算即可．
【详解】解：当袜子不分左右时，设黑色的袜子用A表示，B表示白色的袜子，画树状图如下：
共有7×8=56种等可能性，
若袜子不分左右，从中随机抽取2只恰好配成一双的结果数为32，
所以袜子不分左右，那么从中随机抽取2只恰好配成一双的概率：=；
若分左右，设奇数号表示左脚，偶数表示右脚，根据题意，
共有7×8=56种等可能性，配成双的等可能性有20种等可能性，
所以袜子分左右，那么从中随机抽取2只恰好配成一双的概率==．
【点睛】本题考查了画树状图计算概率，熟练掌握概率的计算是解题的关键．
23．（1）30个(2)1/4(3)1/3
【详解】解：（1）根据题意得：100×=30，
答：袋中红球有30个.
（2）设白球有x个，则黄球有（2x－5）个，
根据题意得x＋2x－5=100－30，解得x=25．
∴摸出一个球是白球的概率为．
（3）∵取走10个球后，还剩90个球，其中红球的个数没有变化，
∴从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为．
（1）根据红、黄、白三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可．
（2）设白球有x个，得出黄球有（2x－5）个，根据题意列出方程，求出白球的个数，再除以总的球数即可．
（3）先求出取走10个球后，还剩的球数，再根据红球的个数，除以还剩的球数即可
24．(1)；
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：小明从中随机抽取1张，抽到冰墩墩的概率为；
故答案为：；
（2）盼盼和福娃晶晶分别用A、B表示，2张冰墩墩用C表示，
列表如下：
A B C C
A BA CA CA
B AB CB CB
C AC BC CC
C AC BC CC
由表可知，共有12种等可能的结果，其中小明抽取的2张卡片都是冰墩墩的结果有2种，
则小明抽取的2张卡片都是冰墩墩的概率是．
答：小明抽取的2张卡片都是冰墩墩的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)