第二十四章圆同步练习（含解析）
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第二十四章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．丁丁和当当用半径大小相同的圆形纸片分别剪成扇形（如图）做圆锥形的帽子，请你判断哪个小朋友做成的帽子更高一些（ ）
A．丁丁 B．当当 C．一样高 D．不确定
2．边长为的正六边形的边心距等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在半径为5的中，圆心到弦的距离为3，则弦的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
4．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的半径为，弦，点是弦上的动点且点不与点重合，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
7．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．3 D．3
8．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是( )
A．4 B． C．8 D．
9．图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
10．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）
A．64° B．58° C．72° D．55°
11．如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（ ）
A．12πcm2 B．15πcm2 C．18πcm2 D．24πcm2
12．已知在平面直角坐标系中，点关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．
14．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，则a的取值范围是 ．
15．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
16．如图，在中，，点在边上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接．当是等腰三角形时，的长为 ．
17．如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC＝16，的中点D到BC的距离ED＝4，则这个圆形工件的半径是 ．
三、解答题
18．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）哪两个图形成中心对称？
（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
（3）已知AB=5，AC=3，求AD的取值范围.
19．如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全．
20．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由．
21．如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=60°，求⊙O的直径．
22．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．设∠B＝α，∠ADC＝β．
（1）求∠BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；
（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．
23．如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，求的度数．
24．如图，在中，，平分交于点，是边上一点，以点为圆心，长为半径的圆经过点，作于点，延长交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求与的面积之比．
《第二十四章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D A D A C B B
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】由图形可知，丁丁扇形的弧长大于当当扇形的弧长，根据弧长与圆锥底面圆的周长相等，可得丁丁剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径r大于当当剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径r，由扇形的半径相等，即母线长相等R，设圆锥底面圆半径为r,母线为R，圆锥的高为h,根据勾股定理由即，可得丁丁的h小于当当的h即可．
【详解】解：由图形可知，丁丁扇形的弧长大于当当扇形的弧长，
根据弧长与圆锥底面圆的周长相等，
∴丁丁剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径r大于当当剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径r，
∵扇形的半径相等，即母线长相等R，
设圆锥底面圆半径为r,母线为R，圆锥的高为h,，
根据勾股定理由即，
∴丁丁的h小于当当的h，
∴由勾股定理可得当当做成的圆锥形的帽子更高一些．
故选：B．
【点睛】本题考查扇形作圆锥帽子的应用，利用圆锥的母线底面圆的半径，和圆锥的高三者之间关系，根据勾股定理确定出当当的帽子高是解题关键．
2．A
【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，
∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=a，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=a，
在△OAM中，由勾股定理得：OM==a．
故选A．
【点睛】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键．
3．C
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再根据垂径定理即可得．
【详解】如图，连接OB
在中，
由垂径定理得：
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握理解垂径定理是解题关键．
4．D
【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．
【详解】解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，
∵，是的中点，
∴∠COE=45°，
∵，，
∴CE⊥OB，
∴∠OCE=∠COE=45°，
∴CE=OE=，
∴BE=OB－OE=，
∵OA=OB，，
∴∠ABO=45°，
∴∠BDE=∠ABO=45°，
∴EB=ED=，
∴CD=CE－DE=．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．
5．A
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，过作于，连接，根据勾股定理求出的值，进而可求出的取值范围，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过作于，连接，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：．
6．D
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°.
故选D.
7．A
【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
【详解】解：如图所示，设OA与BC相交于D点
∵AB=OA=OB=6，
∴△OAB是等边三角形
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD=
所以BC=2BD=
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理. 解题的关键在于要利用好题中的条件圆O与圆A的半径相等，从而得出△OAB是等边三角形，为后继求解打好基础．
8．C
【详解】连接OC,∵大圆的弦AB切小圆于点C,∴OC⊥AB,∴AB=2AC,∵OD=2,∴OC=2,
∵tan∠OAB=,∴AC=4,∴AB=8,故选C.
9．B
【分析】根据平行四边形的性质及旋转的性质可知，然后可得，则有，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质与旋转的性质是解题的关键．
10．B
【详解】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．
解：∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．
故选B．
11．B
【详解】∵底面周长是6π,
∴底面圆的半径为3cm，
∵高为4cm，
∴母线长5cm，
∴根据圆锥侧面积=底面周长×母线长，可得S=×6π×5=15πcm2．
故选B．
12．C
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点位置，再结合第三象限内点的坐标特点得出答案．
【详解】解：点关于坐标原点对称的点位于第一象限，
点在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数，
，
解得：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
13．∠ABC=90°（答案不唯一）．
【分析】根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，从而得出答案即可.
【详解】当∠ABC=90°时，BC与圆相切．故添加的条件可以是∠ABC=90°，或AB⊥BC等，答案不唯一．
14．1＜a＜5
【详解】解：当点在圆内，则说明点到圆心的距离小于半径，
则，则1＜a＜5.
故答案为：1＜a＜5
15．60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
16．或
【详解】设，则，当时，如图①，由题意得，在中，，即，解得，即；当时，如图②，作交延长线于点，由旋转的性质知，又，，，，，在中，，即，整理得，解得，则．综上所述，的长为或．
17．10．
【分析】由DE⊥BC，DE平分弧BC，根据垂径定理的推论得到圆心在直线DE上，设圆心为O，连结OB，设圆的半径为R，根据垂径定理得BE＝CE＝BC＝8，然后根据勾股定理得到R2＝82+（R﹣4）2，再解方程即可．
【详解】∵DE⊥BC，DE平分弧BC，
∴圆心在直线DE上，
设圆心为O，如图，连结OB，设圆的半径为R，则OE＝R﹣4，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝×16＝8，
在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣4）2，解得R＝10，
即这个圆形工件的半径是10．
故答案为10
【点睛】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理的应用很广泛，常见的有：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
18．（1）△ADC和△EDB成中心对称；（2）△ABE的面积为8；（3）2＜AD＜8．
【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积；
（3）可证△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．
【详解】（1）解：图中△ADC和△EDB成中心对称.
（2）解：∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8
（3）解：∵在△ABD和△CDE中，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，AD=DE
∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜8，
∴2＜AD＜8．
【点睛】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．（3）题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查确定对称中心，补全中心对称图形，根据中心对称的性质解决问题即可．
【详解】解：如图所示，的交点即为O，即为所求．
20．⊙A与直线BC相交．理由见解析.
【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，垂足为点D，利用勾股定理求得线段AD的长与⊙O的半径比较后即可确定直线与圆的位置关系．
试题解析：：⊙A与直线BC相交．
过A作AD⊥BC，垂足为点D．
∵AB=AC，BC=16，
∴BD=BC=×16=8，
在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，
∴AD=，
∵⊙O的半径为7，
∴AD＜r，⊙A与直线BC相交．
考点：直线与圆的位置关系．
21．2．
【详解】试题分析：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∠ABD=90°，∠ADB=∠ACB=60°，而AB=3cm，所以sin60°===，解出AD即可.
试题解析：
连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，如图，
∠ABD=90°，
又∵∠ADB=∠ACB=60°，
而AB=3cm，
∴sin60°===，
∴AD=2（cm），
即⊙O的直径为 2cm．
点睛：本题关键在于辅助线的构造，要求直径，先构造出直径，再结合已知条件求解.
22．（1）∠BOD＝2α+2β；（2）AC＝；（3）OC＝．
【分析】（1）作辅助线OA，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可确定∠DOB的值；
（2）分析△ACD中只有∠D可能等于30°，得出∠D的对应角为∠B，根据相垂径定理可得出AC的长；
（3）先根据比例中项得出a和b的关系式，再证明△ACD∽△OCA，再得出AD和AC的关系式，两式联立即可求出AC、AD，从而求出OC．
【详解】解：（1）连接AO，如图：
∵OA＝OD，OA＝OB，∠B＝α，∠ADC＝β，
∴∠OAD＝∠ADC＝α，∠OAB＝∠B＝β，
∴∠BOD＝2∠DAB＝2（∠OAD+∠OAB）＝2α+2β；
（2）∵点C不与A、B重合，
∴∠DAC＞30°，∠ACD＞30°，
∵△ACD∽△OCB，
∴∠D＝∠B＝α＝30°，
由（1）知∠DOB＝2（30°+30°）＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠OCB＝90°，
根据垂径定理知C是AB的中点，
∴AC＝BC＝OB cos30°＝；
（3）∵α＝β，
∴∠ADO=∠ABO，
∵OA=OD=OB，
∴∠ADO=∠OAD=∠ABO=∠OAB，
∴△ADO≌△ABO，
∵OA是∠DAC的角平分线，
设AD＝a，AC=b，AD、AC边上的高为h，
则：，，，
又∵S2是S1和S3的比例中项，
∴，即，
化简得a2﹣b2＝ab①，
∵α＝β，
∴∠DOB＝4α，
∴∠DCB＝3α，
∴∠AOC＝∠DAC＝2α，
∴△ACO～△DCA，
∴，
∴，
整理得：，a2b＝a+b②，
联立①②得：
，
∴OC＝．
【点睛】本题主要考查圆的知识的综合应用，关键是要熟练掌握与圆有关性质，包括垂径定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，第二问关键要考虑到只有∠D可以等于30°，这样就能找到对应的边，当出现多个未知数时，要考虑用方程组的思想解决．
23．
【分析】本题考查了圆相关概念的认识，等腰三角形的性质及三角形外角性质．根据，由是半径，把半径连起来，可得和都是等腰三角形，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（2）先证明，得到，，再根据半径相等即可证明求解；
（3）连接，，设，则，利用在中,利用列出方程求出半径，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
经过，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）证明：，，
，
又，
，
，
，
，
；
（3）连接，，
平分，，，，
，
设，则，
在中，，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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第二十四章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．丁丁和当当用半径大小相同的圆形纸片分别剪成扇形（如图）做圆锥形的帽子，请你判断哪个小朋友做成的帽子更高一些（ ）
A．丁丁 B．当当 C．一样高 D．不确定
2．边长为的正六边形的边心距等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在半径为5的中，圆心到弦的距离为3，则弦的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
4．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的半径为，弦，点是弦上的动点且点不与点重合，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
7．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．3 D．3
8．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是( )
A．4 B． C．8 D．
9．图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
10．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）
A．64° B．58° C．72° D．55°
11．如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（ ）
A．12πcm2 B．15πcm2 C．18πcm2 D．24πcm2
12．已知在平面直角坐标系中，点关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．
14．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，则a的取值范围是 ．
15．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
16．如图，在中，，点在边上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接．当是等腰三角形时，的长为 ．
17．如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC＝16，的中点D到BC的距离ED＝4，则这个圆形工件的半径是 ．
三、解答题
18．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）哪两个图形成中心对称？
（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
（3）已知AB=5，AC=3，求AD的取值范围.
19．如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全．
20．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由．
21．如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=60°，求⊙O的直径．
22．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．设∠B＝α，∠ADC＝β．
（1）求∠BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；
（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．
23．如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，求的度数．
24．如图，在中，，平分交于点，是边上一点，以点为圆心，长为半径的圆经过点，作于点，延长交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求与的面积之比．
《第二十四章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D A D A C B B
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】由图形可知，丁丁扇形的弧长大于当当扇形的弧长，根据弧长与圆锥底面圆的周长相等，可得丁丁剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径r大于当当剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径r，由扇形的半径相等，即母线长相等R，设圆锥底面圆半径为r,母线为R，圆锥的高为h,根据勾股定理由即，可得丁丁的h小于当当的h即可．
【详解】解：由图形可知，丁丁扇形的弧长大于当当扇形的弧长，
根据弧长与圆锥底面圆的周长相等，
∴丁丁剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径r大于当当剪成扇形做圆锥形的帽子的底面半径r，
∵扇形的半径相等，即母线长相等R，
设圆锥底面圆半径为r,母线为R，圆锥的高为h,，
根据勾股定理由即，
∴丁丁的h小于当当的h，
∴由勾股定理可得当当做成的圆锥形的帽子更高一些．
故选：B．
【点睛】本题考查扇形作圆锥帽子的应用，利用圆锥的母线底面圆的半径，和圆锥的高三者之间关系，根据勾股定理确定出当当的帽子高是解题关键．
2．A
【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，
∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=a，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=a，
在△OAM中，由勾股定理得：OM==a．
故选A．
【点睛】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键．
3．C
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再根据垂径定理即可得．
【详解】如图，连接OB
在中，
由垂径定理得：
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握理解垂径定理是解题关键．
4．D
【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．
【详解】解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，
∵，是的中点，
∴∠COE=45°，
∵，，
∴CE⊥OB，
∴∠OCE=∠COE=45°，
∴CE=OE=，
∴BE=OB－OE=，
∵OA=OB，，
∴∠ABO=45°，
∴∠BDE=∠ABO=45°，
∴EB=ED=，
∴CD=CE－DE=．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．
5．A
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，过作于，连接，根据勾股定理求出的值，进而可求出的取值范围，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过作于，连接，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：．
6．D
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°.
故选D.
7．A
【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
【详解】解：如图所示，设OA与BC相交于D点
∵AB=OA=OB=6，
∴△OAB是等边三角形
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD=
所以BC=2BD=
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理. 解题的关键在于要利用好题中的条件圆O与圆A的半径相等，从而得出△OAB是等边三角形，为后继求解打好基础．
8．C
【详解】连接OC,∵大圆的弦AB切小圆于点C,∴OC⊥AB,∴AB=2AC,∵OD=2,∴OC=2,
∵tan∠OAB=,∴AC=4,∴AB=8,故选C.
9．B
【分析】根据平行四边形的性质及旋转的性质可知，然后可得，则有，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质与旋转的性质是解题的关键．
10．B
【详解】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．
解：∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．
故选B．
11．B
【详解】∵底面周长是6π,
∴底面圆的半径为3cm，
∵高为4cm，
∴母线长5cm，
∴根据圆锥侧面积=底面周长×母线长，可得S=×6π×5=15πcm2．
故选B．
12．C
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出点位置，再结合第三象限内点的坐标特点得出答案．
【详解】解：点关于坐标原点对称的点位于第一象限，
点在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数，
，
解得：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
13．∠ABC=90°（答案不唯一）．
【分析】根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，从而得出答案即可.
【详解】当∠ABC=90°时，BC与圆相切．故添加的条件可以是∠ABC=90°，或AB⊥BC等，答案不唯一．
14．1＜a＜5
【详解】解：当点在圆内，则说明点到圆心的距离小于半径，
则，则1＜a＜5.
故答案为：1＜a＜5
15．60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
16．或
【详解】设，则，当时，如图①，由题意得，在中，，即，解得，即；当时，如图②，作交延长线于点，由旋转的性质知，又，，，，，在中，，即，整理得，解得，则．综上所述，的长为或．
17．10．
【分析】由DE⊥BC，DE平分弧BC，根据垂径定理的推论得到圆心在直线DE上，设圆心为O，连结OB，设圆的半径为R，根据垂径定理得BE＝CE＝BC＝8，然后根据勾股定理得到R2＝82+（R﹣4）2，再解方程即可．
【详解】∵DE⊥BC，DE平分弧BC，
∴圆心在直线DE上，
设圆心为O，如图，连结OB，设圆的半径为R，则OE＝R﹣4，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝×16＝8，
在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣4）2，解得R＝10，
即这个圆形工件的半径是10．
故答案为10
【点睛】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理的应用很广泛，常见的有：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
18．（1）△ADC和△EDB成中心对称；（2）△ABE的面积为8；（3）2＜AD＜8．
【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；
（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积；
（3）可证△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．
【详解】（1）解：图中△ADC和△EDB成中心对称.
（2）解：∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8
（3）解：∵在△ABD和△CDE中，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，AD=DE
∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜8，
∴2＜AD＜8．
【点睛】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．（3）题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查确定对称中心，补全中心对称图形，根据中心对称的性质解决问题即可．
【详解】解：如图所示，的交点即为O，即为所求．
20．⊙A与直线BC相交．理由见解析.
【详解】试题分析：过A作AD⊥BC，垂足为点D，利用勾股定理求得线段AD的长与⊙O的半径比较后即可确定直线与圆的位置关系．
试题解析：：⊙A与直线BC相交．
过A作AD⊥BC，垂足为点D．
∵AB=AC，BC=16，
∴BD=BC=×16=8，
在Rt△ABC中，AB=10，BD=8，
∴AD=，
∵⊙O的半径为7，
∴AD＜r，⊙A与直线BC相交．
考点：直线与圆的位置关系．
21．2．
【详解】试题分析：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∠ABD=90°，∠ADB=∠ACB=60°，而AB=3cm，所以sin60°===，解出AD即可.
试题解析：
连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，如图，
∠ABD=90°，
又∵∠ADB=∠ACB=60°，
而AB=3cm，
∴sin60°===，
∴AD=2（cm），
即⊙O的直径为 2cm．
点睛：本题关键在于辅助线的构造，要求直径，先构造出直径，再结合已知条件求解.
22．（1）∠BOD＝2α+2β；（2）AC＝；（3）OC＝．
【分析】（1）作辅助线OA，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可确定∠DOB的值；
（2）分析△ACD中只有∠D可能等于30°，得出∠D的对应角为∠B，根据相垂径定理可得出AC的长；
（3）先根据比例中项得出a和b的关系式，再证明△ACD∽△OCA，再得出AD和AC的关系式，两式联立即可求出AC、AD，从而求出OC．
【详解】解：（1）连接AO，如图：
∵OA＝OD，OA＝OB，∠B＝α，∠ADC＝β，
∴∠OAD＝∠ADC＝α，∠OAB＝∠B＝β，
∴∠BOD＝2∠DAB＝2（∠OAD+∠OAB）＝2α+2β；
（2）∵点C不与A、B重合，
∴∠DAC＞30°，∠ACD＞30°，
∵△ACD∽△OCB，
∴∠D＝∠B＝α＝30°，
由（1）知∠DOB＝2（30°+30°）＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠OCB＝90°，
根据垂径定理知C是AB的中点，
∴AC＝BC＝OB cos30°＝；
（3）∵α＝β，
∴∠ADO=∠ABO，
∵OA=OD=OB，
∴∠ADO=∠OAD=∠ABO=∠OAB，
∴△ADO≌△ABO，
∵OA是∠DAC的角平分线，
设AD＝a，AC=b，AD、AC边上的高为h，
则：，，，
又∵S2是S1和S3的比例中项，
∴，即，
化简得a2﹣b2＝ab①，
∵α＝β，
∴∠DOB＝4α，
∴∠DCB＝3α，
∴∠AOC＝∠DAC＝2α，
∴△ACO～△DCA，
∴，
∴，
整理得：，a2b＝a+b②，
联立①②得：
，
∴OC＝．
【点睛】本题主要考查圆的知识的综合应用，关键是要熟练掌握与圆有关性质，包括垂径定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，第二问关键要考虑到只有∠D可以等于30°，这样就能找到对应的边，当出现多个未知数时，要考虑用方程组的思想解决．
23．
【分析】本题考查了圆相关概念的认识，等腰三角形的性质及三角形外角性质．根据，由是半径，把半径连起来，可得和都是等腰三角形，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（2）先证明，得到，，再根据半径相等即可证明求解；
（3）连接，，设，则，利用在中,利用列出方程求出半径，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
经过，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）证明：，，
，
又，
，
，
，
，
；
（3）连接，，
平分，，，，
，
设，则，
在中，，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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