24.2圆的基本性质同步练习（含解析）
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24.2圆的基本性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．圆有（ ）条对称轴．
A．0 B．1 C．2 D．无数
2．如图，在中，半径，，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A．是正方形 B．是长方形 C．是菱形 D．以上答案都不对
4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A． B．
C．4 D．2
5．如图，的半径为，直线到点的距离，点在上，，则点与的位置关系是（ ）
A．在内 B．在上 C．在外 D．以上都有可能
6．如图，MN为⊙O的弦，∠M=30°，则∠MON等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
7．在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是( )
A．C在⊙A上 B．C在⊙A外
C．C在⊙A内 D．C在⊙A位置不能确定
8．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，的直径与弦交于点E，若B为弧的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．弧弧 B． C． D．
11．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BC＝OD＝2，DC的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．2
12．已知，点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．2．5 C．3 D．2或3
二、填空题
13．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为 ．
14．如图，A、B、C是圆上的三点，，．若点C到的距离是，则该圆的半径为 ．
15．如图，为直径，点、在上，已知，，则 度．
16．已知内接于⊙，连接，若，则 ．
17．如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC= ．
三、解答题
18．已知：如图点O是∠EPF的角平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边交于点A、B、C、D．
求证：∠OBA=∠OCD
19．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
20．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，求折痕AB的长．
21．如图，在中，．
(1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）．
(2)已知，求的半径．
22．估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论．
23．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
24．已知是的外接圆，，圆心到底边距离为，圆的半径为，求的长．
丽丽的解法如下：
如图，假若是锐角，是锐角三角形，连接．
，
．
．，，
．
丽丽的解法正确吗？如果不正确，请说明理由．
《24.2圆的基本性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B A D C C B B
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】根据圆的基本特征即可直接得出答案．
【详解】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，经过一点的直线有无数条，
所以，圆有无数条对称轴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的基本特征，掌握圆是轴对称图形是关键．
2．A
【分析】根据，，首先计算，然后再由，可知，结合三角形外角的性质计算的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的性质、余角的性质、等腰三角形的性质以及外角的性质等知识，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题关键．
3．C
【分析】根据垂径定理和菱形的判定方法求解．
【详解】解：∵弦AB垂直平分半径OC，
由垂径定理知，OC垂直平分AB，
∴OC与AB互相垂直平分，
∴四边形OACB是菱形．
故选C
4．B
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM=AM=4，DN=CN=4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMPN是正方形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
∴AM=BM=4，CN=DN=4，
∵OA=OC=2，
∴OM=，
ON=，
∴OM=ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OMP=∠ONP=∠MPN=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMPN是正方形，
∴OP=OM=2，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
5．A
【分析】如图，连接，利用勾股定理可得，而，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵直线到点的距离，点在上，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴A在内，
故选A．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，点与圆的位置关系，掌握“点与圆心的距离小于半径，则点在圆内”是解本题的关键．
6．D
【分析】由圆的基本性质可得再利用等腰三角形的性质可得再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解： MN为⊙O的弦，∠M=30°，
故选D
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，圆的基本性质，掌握“等腰三角形的性质”是解本题的关键.
7．C
【分析】先根据勾股定理计算出AC的长，再比较AC与2.5的大小，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，
∴AC==，
∵r=2.5＞，
∴点C在⊙A内．
故选C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．也考查了勾股定理．
8．C
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，原命题错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意；
正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
9．B
【分析】连接，设，根据的长计算出的长，根据点为弦的中点，为圆心得到，从而求出的长，在中利用勾股定理求出的值，即可求出的长．
【详解】解：连接，
设，
则，
点为弦的中点，为圆心，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及推论，熟知：垂直于弦的直径平分这条弦，熟练掌握勾股定理的计算．
10．B
【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．
【详解】解：∵点B为的中点，
∴，故A选项说法正确，不符合题意；
∵是的直径，，
∴，，故C、D选项说法正确，不符合题意；
不能证明，故B选项说法错误，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
11．D
【分析】如图，令、的交点为，由垂径定理得，证明，则，，在中，由勾股定理得，求出的值，根据计算求解的值即可．
【详解】解：如图，令、的交点为，
∵，是的直径，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于由垂径定理得到．
12．D
【分析】根据点A与⊙O上的点的最小距离是2cm，最大距离是5 cm，分两种情况：点A在圆外；点A在圆内，分别解答即可得到结论．
【详解】解：∵点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，
∴当点A在圆外时，⊙O的半径=，
当点A在圆内时，⊙O的半径=，
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外 d>r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．分情况解答是关键．
13．12
【详解】试题分析：圆心为O，AB为弦，半径与弦的交点为C，则OC⊥AB，OA=12，OC=6，根据勾股定理可得AC=6，所以AB=2AC=12.
考点：垂径定理.
14．25
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系．设该圆的圆心为O，连接与交于点M，根据，得到，进而得，设半径的长为，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，设该圆的圆心为O，连接与交于点M，
，
，
为的半径，
，即，
，
，
，
设半径的长为，则，
，
解得，即该圆的半径为，
故答案为：25．
15．
【分析】根据同圆半径相等及等边对等角可知，借助三角形内角和可得，再利用两直线平行同位角相等即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识，掌握平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的性质是解题的关键．
16．45或30．
【分析】此题分锐角三角形和钝角三角形，结合同圆内半径相等及三角形内角和列方程求解
【详解】解：此题分为两种情况：
（1）如图1所示，当为锐角三角形时：
，设∠OAC= x°，∠OBA=4x°，∠OCB=3 x°，
∵OA=OB=OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝x°，∠OBA＝∠OAB＝4x°，∠OCB＝∠OBC＝3 x°，
∴∠BAC＝5x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝4x°，
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴5x°＋7x°＋4x°＝180°，
则x＝
∴∠ACB＝4x°＝45°
（2）如图2所示，当为钝角三角形时：
，设∠OAC= x°，∠OBA=4x°，∠OCB=3 x°，∵OA=OB=OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝x°，∠OBA＝∠OAB＝4x°，∠OCB＝∠OBC＝3 x°，
∴∠BAC＝3x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝2x°，
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°
∴3x°＋7x°＋2x°＝180°，
则x＝15
∴∠ACB＝2x°＝30°．
故答案为：45；30．
图1
图2
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆、三角形内角和定理，解题关键要根据题意判断外接圆圆心的位置，画出正确图形．
17．8
【分析】根据垂径定理的推论可得OD⊥BC，BD=DC，根据勾股定理求得的长，根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：∵点E是的中点，
∴∠BOE=∠COE，OD⊥BC，BD=DC．
∵BD=3，
∴BC=6．
∵AB=10，
∴OB=OE=5．
∵OD⊥BC即∠BDO=90°，
∴OB2=BD2+OD2．
设OD=x，∵OB=5，OD=x，BD=3，
∴52=32+x2．
解得：x=4，
∴OD=4．
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AC，
∴AC=8．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出半径是解决问题的关键．
18．见解析.
【分析】过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，则可知OM=ON，且OB=OC，则可证得△OMB≌△ONC，可得出∠OBA=∠OCD．
【详解】证明： 过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N
∵∠EPO=∠FPO，
∴OM=ON，
在Rt△OMB和Rt△ONC中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），
∴∠OBA=∠OCD．
【点睛】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定和性质，以及同圆半径相等的性质，正确掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
19．
【详解】作OD⊥AB于点D.
∵弦AB把圆周分成1：2的两部分，
∴∠AOB=360°÷3=120°.
∵OA=OB,
∴∠OAB=(180°-120°) ÷2=30°.
∵cos∠OAB= ,
,
∴AB=2AD= .
20．AB＝2cm
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．
【详解】
解：如图：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD＝OA＝1cm，
再根据勾股定理得：AD＝＝＝cm，
由垂径定理得：AB＝2cm．
【点睛】本题考查了垂径定理，根据题意构造垂径、应用勾股定理是解答本题的关键.
21．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可；
（2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可．
【详解】（1）解：如图，
（2）由（1）可知，连接
又
故的半径为：2
【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键．
22．见解析
【分析】由已知弧连接出两条弦，根据垂径定理的推论，作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心，从而确定各段弧所在圆的半径的大小．
【详解】解：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小．
①在较大的弧上取点A、B，连接AB，使线段AB同时过三条弧，再作AB的垂直平分线CD；
②连接DE，作DE的垂直平分线交CD与点O″，则此点即为 所在圆的圆心；
③连接GF，作GF的垂直平分线交CD与点O′，则O′即为中间的弧所在圆的圆心；
④连接BC，作BC的垂直平分线交CD与点O，则O即为较大的弧所在圆的圆心．
根据图形可知：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小．
【点睛】本题考查的是作图，垂径定理的应用，只要熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧即可轻松作答．
23．545m．
【详解】试题分析：连接OC，设弯路的半径为R，则OF=（R﹣90）m，再根据垂径定理求出CF的长，在Rt△OCF中根据勾股定理即可求出R的值．
试题解析：解：如图，连接OC，设弯路的半径为R，则OF=（R﹣90）m．
∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300（m）．
在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R﹣90）2
解得R=545（m），故这段弯路的半径为545m．
点睛：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．不正确；理由见解析
【分析】分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，先根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值即可．
【详解】丽丽的解法不正确．
理由：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论．
如图一，若是锐角，则是锐角三角形，连接．
，
．
，
∴D为BCR的中点，
连接AD,
∴A，O，D三点共线，
如图二，若是钝角，则是钝角三角形，
和图一解法一样，只是，
综上可得或．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，利用三角形外心求线段的长时，需要注意三角形的类型，三角形是锐角三角形时，外心在三角形内，三角形是钝角三角形时，外心在三角形外．
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24.2圆的基本性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．圆有（ ）条对称轴．
A．0 B．1 C．2 D．无数
2．如图，在中，半径，，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A．是正方形 B．是长方形 C．是菱形 D．以上答案都不对
4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A． B．
C．4 D．2
5．如图，的半径为，直线到点的距离，点在上，，则点与的位置关系是（ ）
A．在内 B．在上 C．在外 D．以上都有可能
6．如图，MN为⊙O的弦，∠M=30°，则∠MON等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
7．在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是( )
A．C在⊙A上 B．C在⊙A外
C．C在⊙A内 D．C在⊙A位置不能确定
8．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，的直径与弦交于点E，若B为弧的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．弧弧 B． C． D．
11．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BC＝OD＝2，DC的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．2
12．已知，点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．2．5 C．3 D．2或3
二、填空题
13．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为 ．
14．如图，A、B、C是圆上的三点，，．若点C到的距离是，则该圆的半径为 ．
15．如图，为直径，点、在上，已知，，则 度．
16．已知内接于⊙，连接，若，则 ．
17．如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC= ．
三、解答题
18．已知：如图点O是∠EPF的角平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边交于点A、B、C、D．
求证：∠OBA=∠OCD
19．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
20．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，求折痕AB的长．
21．如图，在中，．
(1)求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）．
(2)已知，求的半径．
22．估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论．
23．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
24．已知是的外接圆，，圆心到底边距离为，圆的半径为，求的长．
丽丽的解法如下：
如图，假若是锐角，是锐角三角形，连接．
，
．
．，，
．
丽丽的解法正确吗？如果不正确，请说明理由．
《24.2圆的基本性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B A D C C B B
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】根据圆的基本特征即可直接得出答案．
【详解】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，经过一点的直线有无数条，
所以，圆有无数条对称轴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的基本特征，掌握圆是轴对称图形是关键．
2．A
【分析】根据，，首先计算，然后再由，可知，结合三角形外角的性质计算的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的性质、余角的性质、等腰三角形的性质以及外角的性质等知识，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题关键．
3．C
【分析】根据垂径定理和菱形的判定方法求解．
【详解】解：∵弦AB垂直平分半径OC，
由垂径定理知，OC垂直平分AB，
∴OC与AB互相垂直平分，
∴四边形OACB是菱形．
故选C
4．B
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM=AM=4，DN=CN=4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMPN是正方形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
∴AM=BM=4，CN=DN=4，
∵OA=OC=2，
∴OM=，
ON=，
∴OM=ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OMP=∠ONP=∠MPN=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMPN是正方形，
∴OP=OM=2，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
5．A
【分析】如图，连接，利用勾股定理可得，而，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵直线到点的距离，点在上，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴A在内，
故选A．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，点与圆的位置关系，掌握“点与圆心的距离小于半径，则点在圆内”是解本题的关键．
6．D
【分析】由圆的基本性质可得再利用等腰三角形的性质可得再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解： MN为⊙O的弦，∠M=30°，
故选D
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，圆的基本性质，掌握“等腰三角形的性质”是解本题的关键.
7．C
【分析】先根据勾股定理计算出AC的长，再比较AC与2.5的大小，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，
∴AC==，
∵r=2.5＞，
∴点C在⊙A内．
故选C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．也考查了勾股定理．
8．C
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，原命题错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意；
正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
9．B
【分析】连接，设，根据的长计算出的长，根据点为弦的中点，为圆心得到，从而求出的长，在中利用勾股定理求出的值，即可求出的长．
【详解】解：连接，
设，
则，
点为弦的中点，为圆心，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及推论，熟知：垂直于弦的直径平分这条弦，熟练掌握勾股定理的计算．
10．B
【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．
【详解】解：∵点B为的中点，
∴，故A选项说法正确，不符合题意；
∵是的直径，，
∴，，故C、D选项说法正确，不符合题意；
不能证明，故B选项说法错误，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
11．D
【分析】如图，令、的交点为，由垂径定理得，证明，则，，在中，由勾股定理得，求出的值，根据计算求解的值即可．
【详解】解：如图，令、的交点为，
∵，是的直径，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于由垂径定理得到．
12．D
【分析】根据点A与⊙O上的点的最小距离是2cm，最大距离是5 cm，分两种情况：点A在圆外；点A在圆内，分别解答即可得到结论．
【详解】解：∵点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，
∴当点A在圆外时，⊙O的半径=，
当点A在圆内时，⊙O的半径=，
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外 d>r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．分情况解答是关键．
13．12
【详解】试题分析：圆心为O，AB为弦，半径与弦的交点为C，则OC⊥AB，OA=12，OC=6，根据勾股定理可得AC=6，所以AB=2AC=12.
考点：垂径定理.
14．25
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系．设该圆的圆心为O，连接与交于点M，根据，得到，进而得，设半径的长为，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，设该圆的圆心为O，连接与交于点M，
，
，
为的半径，
，即，
，
，
，
设半径的长为，则，
，
解得，即该圆的半径为，
故答案为：25．
15．
【分析】根据同圆半径相等及等边对等角可知，借助三角形内角和可得，再利用两直线平行同位角相等即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识，掌握平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的性质是解题的关键．
16．45或30．
【分析】此题分锐角三角形和钝角三角形，结合同圆内半径相等及三角形内角和列方程求解
【详解】解：此题分为两种情况：
（1）如图1所示，当为锐角三角形时：
，设∠OAC= x°，∠OBA=4x°，∠OCB=3 x°，
∵OA=OB=OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝x°，∠OBA＝∠OAB＝4x°，∠OCB＝∠OBC＝3 x°，
∴∠BAC＝5x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝4x°，
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴5x°＋7x°＋4x°＝180°，
则x＝
∴∠ACB＝4x°＝45°
（2）如图2所示，当为钝角三角形时：
，设∠OAC= x°，∠OBA=4x°，∠OCB=3 x°，∵OA=OB=OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝x°，∠OBA＝∠OAB＝4x°，∠OCB＝∠OBC＝3 x°，
∴∠BAC＝3x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝2x°，
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°
∴3x°＋7x°＋2x°＝180°，
则x＝15
∴∠ACB＝2x°＝30°．
故答案为：45；30．
图1
图2
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆、三角形内角和定理，解题关键要根据题意判断外接圆圆心的位置，画出正确图形．
17．8
【分析】根据垂径定理的推论可得OD⊥BC，BD=DC，根据勾股定理求得的长，根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：∵点E是的中点，
∴∠BOE=∠COE，OD⊥BC，BD=DC．
∵BD=3，
∴BC=6．
∵AB=10，
∴OB=OE=5．
∵OD⊥BC即∠BDO=90°，
∴OB2=BD2+OD2．
设OD=x，∵OB=5，OD=x，BD=3，
∴52=32+x2．
解得：x=4，
∴OD=4．
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AC，
∴AC=8．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出半径是解决问题的关键．
18．见解析.
【分析】过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，则可知OM=ON，且OB=OC，则可证得△OMB≌△ONC，可得出∠OBA=∠OCD．
【详解】证明： 过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N
∵∠EPO=∠FPO，
∴OM=ON，
在Rt△OMB和Rt△ONC中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），
∴∠OBA=∠OCD．
【点睛】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定和性质，以及同圆半径相等的性质，正确掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
19．
【详解】作OD⊥AB于点D.
∵弦AB把圆周分成1：2的两部分，
∴∠AOB=360°÷3=120°.
∵OA=OB,
∴∠OAB=(180°-120°) ÷2=30°.
∵cos∠OAB= ,
,
∴AB=2AD= .
20．AB＝2cm
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．
【详解】
解：如图：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD＝OA＝1cm，
再根据勾股定理得：AD＝＝＝cm，
由垂径定理得：AB＝2cm．
【点睛】本题考查了垂径定理，根据题意构造垂径、应用勾股定理是解答本题的关键.
21．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可；
（2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可．
【详解】（1）解：如图，
（2）由（1）可知，连接
又
故的半径为：2
【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键．
22．见解析
【分析】由已知弧连接出两条弦，根据垂径定理的推论，作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心，从而确定各段弧所在圆的半径的大小．
【详解】解：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小．
①在较大的弧上取点A、B，连接AB，使线段AB同时过三条弧，再作AB的垂直平分线CD；
②连接DE，作DE的垂直平分线交CD与点O″，则此点即为 所在圆的圆心；
③连接GF，作GF的垂直平分线交CD与点O′，则O′即为中间的弧所在圆的圆心；
④连接BC，作BC的垂直平分线交CD与点O，则O即为较大的弧所在圆的圆心．
根据图形可知：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小．
【点睛】本题考查的是作图，垂径定理的应用，只要熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧即可轻松作答．
23．545m．
【详解】试题分析：连接OC，设弯路的半径为R，则OF=（R﹣90）m，再根据垂径定理求出CF的长，在Rt△OCF中根据勾股定理即可求出R的值．
试题解析：解：如图，连接OC，设弯路的半径为R，则OF=（R﹣90）m．
∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300（m）．
在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R﹣90）2
解得R=545（m），故这段弯路的半径为545m．
点睛：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．不正确；理由见解析
【分析】分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，先根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值即可．
【详解】丽丽的解法不正确．
理由：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论．
如图一，若是锐角，则是锐角三角形，连接．
，
．
，
∴D为BCR的中点，
连接AD,
∴A，O，D三点共线，
如图二，若是钝角，则是钝角三角形，
和图一解法一样，只是，
综上可得或．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，利用三角形外心求线段的长时，需要注意三角形的类型，三角形是锐角三角形时，外心在三角形内，三角形是钝角三角形时，外心在三角形外．
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