24.3圆周角同步练习（含解析）
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24.3圆周角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，为半圆直径，、为圆周上两点，且，与交于点，则图中与相等的角有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③
3．如图，在⊙O中，若C是的中点，则图中与∠BAC相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．等弧所对的圆心角相等
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
5．如图，点A，B，C均在⊙上，当时，的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
6．如图，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115° B．105° C．100° D．95°
8．如图，点A，B，C，D在上，，点D是的中点，则的度数是（ ）
A．36 B．40 C．46 D．72
9．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB＝65°，则∠BOC＝( )
A．25° B．50° C．130° D．155°
11．如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．8
12．如图， AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
二、填空题
13．如图，已知是半圆上的三等分点，连接和相交于点，有下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的有 （填序号）．
14．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ．
15．如图，已知锐角三角形内接于半径为2的，于点，，则 ．
16．如图，在菱形ABCD中，，，点E是射线CD上一点，连接BE，点P在BE上，连接AP，若，则面积的最大值为 ．
17．如图，是圆的弦，若，则的大小为 度．
三、解答题
18．如图，中，，，求的度数．
19．如图所示，四边形内接于，．
求证：
(1)；
(2)是的直径．
20．如图，已知，以边为直径画交边于点E，点E为的中点．若，求的度数．
21．已知P是上一点，过点P不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接、，若．
(1)如图1，当，，时，求的半径；
(2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，若，探究直线与的位置关系，并证明．
22．如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE. 求证：△ABE∽△ADC .
23．如图，是的两条弦．
（1）如果，那么__________，___________．
（2）如果，那么__________，___________．
（3）如果，那么__________，___________．
（4）如果，垂足分别为与相等吗？为什么？
24．为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．
《24.3圆周角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C D D B A C C
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】首先与∠BCE相等的角有对顶角∠DCA．由于AB是圆 O的直径，可得∠ADB=90°；已知AD=DE，根据垂径定理可知OD⊥AE；根据等角余角相等，可得出∠DCA=∠ADO=∠DAO；易证得△OAD≌△OED，因此∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；因此与∠BCE相等的角有5个：∠DCA、∠OAD、∠ODA、∠ODE、∠OED．
【详解】解：∵在△ADO和△DOE中
∴△OAD≌△ODE(SSS),
∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，
∵AO=DO，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是直径，
∴
∵AD=DE，
∴∠ABD=∠DBE，
∴
∴∠DAB=∠BCE，
∵∠DCA=∠BCE（对顶角相等）
∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
则与∠ECB相等的角有5个．
故选D．
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．C
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系进行判断即可．
【详解】①∵在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故不正确；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等，正确；③同圆中等弧所对的圆心角相等，正确.
故选C.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.
3．C
【详解】解：∵点C是弧BD的中点，
∴，
∴∠BAC=∠CAD，
∠BAC=∠BDC，
∠CAD=∠CBD，
∴∠CAD=∠BDC=∠CBD=∠BAC，
于是图中与∠BAC相等的角共有3个，
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
4．C
【分析】本题主要考查了垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理等圆的有关性质及定理，利用圆的有关性质及定理，分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，故该选项错误；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故该选项错误；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，故该选项正确；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故该选项错误；
故选C．
5．D
【分析】在优弧AB上任意找一点D，根据三角形的内角和得到∠AOC=100°，根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，即可根据圆内接四边形的对角互补得到结论．
【详解】
解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，CD，
∵OA=OC，∠OAC=40°，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-40°-40°=100°，
∴∠D=∠AOC=50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠B=180°-50°=130°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．D
【详解】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.
7．B
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选：B．
8．A
【分析】连接OD，根据点D是中点求出∠COD，再利用圆周角定理得出结果．
【详解】解：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠COD= ，
∴∠B= ，
故选择A．
【点睛】本题考查圆周角定理以及弧和圆心角关系，注意通过弧进行角的转化是解决问题的关键．
9．C
【分析】画出符合题意的几何图形，证明△OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数．
【详解】解：如图，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了等边三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键．
10．C
【详解】解：∵CD⊥AB．∠DAB=65°，
∴∠ADC=90°﹣∠DAB=25°，
∴∠AOC=2∠ADC=50°，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=130°．
故选C．
考点：圆周角定理；
11．D
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案．
【详解】解：连接、，
点A是的中点，
，设垂足为点，
，
，
和所对的弧都是，
，
，且，
，
，
，
在中，,，，，
，
是的直径，
，
故选D．
12．C
【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.
【详解】∵∠A=20°，
∴∠COB=2∠A=40°，
∵CD⊥AB，OC=OD，
∴∠DOB=∠COB=40°，
∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
13．①②③④
【分析】①首先根据点C，D是半圆上的三等分，求出的度数；然后根据圆周角定理，求出的度数即可；②根据三角形的内角和定理，求出，即可判断出；③根据垂径定理判断出E是的中点，然后得到是的中位线，即可判断出，④先证明，再证明是等边三角形，得到，根据菱形的判定方法可判断四边形是菱形.
【详解】解：连接，
∵已知是半圆上的三等分点，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，故②正确；
∴，，
∴是的中位线，
∴，故③正确；
∵是半圆O的直径，
∴，又，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是平行四边形，又，
∴四边形是菱形．故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦三者的关系，菱形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定义及中位线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．.
【详解】由圆周角定理可知，∠E=∠C，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠E=∠C，
∴△ABE∽△ACD.
∴AB:AD=AE:AC，
∵AB=4，AC=5，AD=4，
∴4:4=AE:5，
∴AE=5，
故答案为5.
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是证出△ABE∽△ACD.
15．1
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD.
【详解】解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，OB=OC=2，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=OB=1，
故答案为：1.
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外接圆的性质，等腰三角形三线合一，30°的直角三角形的性质，解题时需要添加辅助线，从而运用圆周角定理.
16．
【分析】若要使的面积最大，底AB固定，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；可证，故可知点P在△APB的外接圆的劣弧上，当点P在劣弧的中点处，△APB的面积最大，求出AB边上的高即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，AB//CD，
∴
∵，
∴ 即，
∵，
∴，
∵，
∴点P在△APB的外接圆上，
若要使的面积最大，底AB固定，，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；此时点P在劣弧的中点处，如图，
设点O为△APB的外接圆的圆心，OP⊥AB于点F，
∴，,
∴
∴
由勾股定理得，
∴
∴PF=
∴
即面积的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知识，正确作出辅助圆，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．110
【分析】由半径相等可求得∠A=∠B，在△OAB中利用三角形内角和定理可求得答案．
【详解】解：∵AB是O的弦，
∴OA=OB，
∴
∴
故答案为110.
【点睛】考查圆的有关性质，掌握同圆中的半径相等是解题的关键.
18．
【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出，再利用三角形内角和定理求出即可．
此题主要考查圆周角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟知同圆或等圆中等弧所对圆周角相等．
【详解】∵，
，
．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再由可计算出，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到；
（2）根据三角形内角和定理可计算出，则根据圆周角的推理即可得到为的直径．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
而，
，
，
，
；
（2），，
，
为的直径．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
20．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．连结，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连结，
∵边为的直径，
∴．
，
∵点E是的中点，
∴．
∴，
，
∴．
21．(1)；
(2)平行，证明见解析．
【分析】（1）连接，首先根据已知条件求出，进而判断出为直径，然后再根据勾股定理求出的长度，即可求出的半径；
（2）连接、、，延长交于点，根据圆周角定理可得，再结合已知条件可得，根据已知条件可得，进而求得，再根据三线合一得到，最后根据平行线的判定定理证出结论．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵ ，，
∴，
∴为直径，
∵，，
∴在中根据勾股定理得：
，
∴或（舍去），
∴半径为．
（2）解：直线与的位置关系为：，
证明：连接、、，交于点F，延长交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，（三线合一），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等弧所对的圆心角相等、相等的圆周角所对的弧相等、三线合一、平行线的判定定理，是一道综合题，正确作出辅助线并灵活运用相关知识是解题的关键．
22．见解析
【分析】由AE是⊙O的直径可得∠ABE是直角，所以∠ABE=∠ADC，由∠C、∠E是同弧 所对的圆周角可得∠C=∠E，所以△ABE与△ADC相似．
【详解】证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC．
又∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠BEA=∠DCA．
∴△ABE ∽△ADC．
【点睛】考查了圆周角的性质和三角形相似的判定方法，解题关键是由利用了圆周角性质得出∠BEA=∠DCA.
23．（1），∠AOB＝∠COD；（2）AB＝CD；∠AOB＝∠COD；（3）AB＝CD，；（4）OE与OF相等；见解析
【分析】（1）、（2）、（3）利用圆心角、弧、弦的关系直接求解；
（4）先利用垂径定理得到AE＝BE，CF＝DF，而AB＝CD，则AE＝CF，然后利用勾股定理可判断OE＝OF．
【详解】（1）如果AB＝CD，那么，∠AOB＝∠COD；
（2）如果，那么∠AOB＝∠COD；AB＝CD；
（3）如果∠AOB＝∠COD，那么，AB＝CD；
（4）OE与OF相等．理由如下：
∵OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，
∴AE＝BE，CF＝DF，
而AB＝CD，
∴AE＝CF，
∵OE＝
OF＝，OA=OC，
∴OE＝OF．
故答案为：（1），∠AOB＝∠COD；（2）AB＝CD；∠AOB＝∠COD；（3）AB＝CD，．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
24．见解析
【分析】根据题意画出示意图，其中BC表示电影幕的宽，G、I分别为圆弧形排列的座位中的任意两个，根据图形可知∠BGC、∠BJC分别为两个座位的视角，由此结合圆周角定理的推论求解即可．
【详解】根据题意画出图形，BC表示电影幕的宽，
由同弧所对圆周角相等可知∠BGC=∠BJC，即同排的观众视角相等．
【点睛】本题是圆周角定理的推论在实际问题中的应用，解题的关键是要理解在同排的观众视角需相同．
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24.3圆周角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，为半圆直径，、为圆周上两点，且，与交于点，则图中与相等的角有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③
3．如图，在⊙O中，若C是的中点，则图中与∠BAC相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．等弧所对的圆心角相等
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
5．如图，点A，B，C均在⊙上，当时，的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
6．如图，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A．115° B．105° C．100° D．95°
8．如图，点A，B，C，D在上，，点D是的中点，则的度数是（ ）
A．36 B．40 C．46 D．72
9．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB＝65°，则∠BOC＝( )
A．25° B．50° C．130° D．155°
11．如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．8
12．如图， AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
二、填空题
13．如图，已知是半圆上的三等分点，连接和相交于点，有下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的有 （填序号）．
14．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ．
15．如图，已知锐角三角形内接于半径为2的，于点，，则 ．
16．如图，在菱形ABCD中，，，点E是射线CD上一点，连接BE，点P在BE上，连接AP，若，则面积的最大值为 ．
17．如图，是圆的弦，若，则的大小为 度．
三、解答题
18．如图，中，，，求的度数．
19．如图所示，四边形内接于，．
求证：
(1)；
(2)是的直径．
20．如图，已知，以边为直径画交边于点E，点E为的中点．若，求的度数．
21．已知P是上一点，过点P不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接、，若．
(1)如图1，当，，时，求的半径；
(2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，若，探究直线与的位置关系，并证明．
22．如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE. 求证：△ABE∽△ADC .
23．如图，是的两条弦．
（1）如果，那么__________，___________．
（2）如果，那么__________，___________．
（3）如果，那么__________，___________．
（4）如果，垂足分别为与相等吗？为什么？
24．为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．
《24.3圆周角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C D D B A C C
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】首先与∠BCE相等的角有对顶角∠DCA．由于AB是圆 O的直径，可得∠ADB=90°；已知AD=DE，根据垂径定理可知OD⊥AE；根据等角余角相等，可得出∠DCA=∠ADO=∠DAO；易证得△OAD≌△OED，因此∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；因此与∠BCE相等的角有5个：∠DCA、∠OAD、∠ODA、∠ODE、∠OED．
【详解】解：∵在△ADO和△DOE中
∴△OAD≌△ODE(SSS),
∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，
∵AO=DO，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是直径，
∴
∵AD=DE，
∴∠ABD=∠DBE，
∴
∴∠DAB=∠BCE，
∵∠DCA=∠BCE（对顶角相等）
∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
则与∠ECB相等的角有5个．
故选D．
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．C
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系进行判断即可．
【详解】①∵在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故不正确；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等，正确；③同圆中等弧所对的圆心角相等，正确.
故选C.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.
3．C
【详解】解：∵点C是弧BD的中点，
∴，
∴∠BAC=∠CAD，
∠BAC=∠BDC，
∠CAD=∠CBD，
∴∠CAD=∠BDC=∠CBD=∠BAC，
于是图中与∠BAC相等的角共有3个，
故选C．
【点睛】本题考查圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
4．C
【分析】本题主要考查了垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理等圆的有关性质及定理，利用圆的有关性质及定理，分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，故该选项错误；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故该选项错误；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，故该选项正确；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故该选项错误；
故选C．
5．D
【分析】在优弧AB上任意找一点D，根据三角形的内角和得到∠AOC=100°，根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=50°，即可根据圆内接四边形的对角互补得到结论．
【详解】
解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，CD，
∵OA=OC，∠OAC=40°，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-40°-40°=100°，
∴∠D=∠AOC=50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠B=180°-50°=130°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．D
【详解】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.
7．B
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选：B．
8．A
【分析】连接OD，根据点D是中点求出∠COD，再利用圆周角定理得出结果．
【详解】解：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠COD= ，
∴∠B= ，
故选择A．
【点睛】本题考查圆周角定理以及弧和圆心角关系，注意通过弧进行角的转化是解决问题的关键．
9．C
【分析】画出符合题意的几何图形，证明△OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数．
【详解】解：如图，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了等边三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键．
10．C
【详解】解：∵CD⊥AB．∠DAB=65°，
∴∠ADC=90°﹣∠DAB=25°，
∴∠AOC=2∠ADC=50°，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=130°．
故选C．
考点：圆周角定理；
11．D
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案．
【详解】解：连接、，
点A是的中点，
，设垂足为点，
，
，
和所对的弧都是，
，
，且，
，
，
，
在中，,，，，
，
是的直径，
，
故选D．
12．C
【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.
【详解】∵∠A=20°，
∴∠COB=2∠A=40°，
∵CD⊥AB，OC=OD，
∴∠DOB=∠COB=40°，
∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
13．①②③④
【分析】①首先根据点C，D是半圆上的三等分，求出的度数；然后根据圆周角定理，求出的度数即可；②根据三角形的内角和定理，求出，即可判断出；③根据垂径定理判断出E是的中点，然后得到是的中位线，即可判断出，④先证明，再证明是等边三角形，得到，根据菱形的判定方法可判断四边形是菱形.
【详解】解：连接，
∵已知是半圆上的三等分点，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，故②正确；
∴，，
∴是的中位线，
∴，故③正确；
∵是半圆O的直径，
∴，又，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是平行四边形，又，
∴四边形是菱形．故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦三者的关系，菱形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定义及中位线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．.
【详解】由圆周角定理可知，∠E=∠C，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠E=∠C，
∴△ABE∽△ACD.
∴AB:AD=AE:AC，
∵AB=4，AC=5，AD=4，
∴4:4=AE:5，
∴AE=5，
故答案为5.
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是证出△ABE∽△ACD.
15．1
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD.
【详解】解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，OB=OC=2，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=OB=1，
故答案为：1.
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外接圆的性质，等腰三角形三线合一，30°的直角三角形的性质，解题时需要添加辅助线，从而运用圆周角定理.
16．
【分析】若要使的面积最大，底AB固定，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；可证，故可知点P在△APB的外接圆的劣弧上，当点P在劣弧的中点处，△APB的面积最大，求出AB边上的高即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=6，AB//CD，
∴
∵，
∴ 即，
∵，
∴，
∵，
∴点P在△APB的外接圆上，
若要使的面积最大，底AB固定，，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；此时点P在劣弧的中点处，如图，
设点O为△APB的外接圆的圆心，OP⊥AB于点F，
∴，,
∴
∴
由勾股定理得，
∴
∴PF=
∴
即面积的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知识，正确作出辅助圆，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．110
【分析】由半径相等可求得∠A=∠B，在△OAB中利用三角形内角和定理可求得答案．
【详解】解：∵AB是O的弦，
∴OA=OB，
∴
∴
故答案为110.
【点睛】考查圆的有关性质，掌握同圆中的半径相等是解题的关键.
18．
【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出，再利用三角形内角和定理求出即可．
此题主要考查圆周角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟知同圆或等圆中等弧所对圆周角相等．
【详解】∵，
，
．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，再由可计算出，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到；
（2）根据三角形内角和定理可计算出，则根据圆周角的推理即可得到为的直径．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
而，
，
，
，
；
（2），，
，
为的直径．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
20．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．连结，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连结，
∵边为的直径，
∴．
，
∵点E是的中点，
∴．
∴，
，
∴．
21．(1)；
(2)平行，证明见解析．
【分析】（1）连接，首先根据已知条件求出，进而判断出为直径，然后再根据勾股定理求出的长度，即可求出的半径；
（2）连接、、，延长交于点，根据圆周角定理可得，再结合已知条件可得，根据已知条件可得，进而求得，再根据三线合一得到，最后根据平行线的判定定理证出结论．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵ ，，
∴，
∴为直径，
∵，，
∴在中根据勾股定理得：
，
∴或（舍去），
∴半径为．
（2）解：直线与的位置关系为：，
证明：连接、、，交于点F，延长交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，（三线合一），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等弧所对的圆心角相等、相等的圆周角所对的弧相等、三线合一、平行线的判定定理，是一道综合题，正确作出辅助线并灵活运用相关知识是解题的关键．
22．见解析
【分析】由AE是⊙O的直径可得∠ABE是直角，所以∠ABE=∠ADC，由∠C、∠E是同弧 所对的圆周角可得∠C=∠E，所以△ABE与△ADC相似．
【详解】证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC．
又∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠BEA=∠DCA．
∴△ABE ∽△ADC．
【点睛】考查了圆周角的性质和三角形相似的判定方法，解题关键是由利用了圆周角性质得出∠BEA=∠DCA.
23．（1），∠AOB＝∠COD；（2）AB＝CD；∠AOB＝∠COD；（3）AB＝CD，；（4）OE与OF相等；见解析
【分析】（1）、（2）、（3）利用圆心角、弧、弦的关系直接求解；
（4）先利用垂径定理得到AE＝BE，CF＝DF，而AB＝CD，则AE＝CF，然后利用勾股定理可判断OE＝OF．
【详解】（1）如果AB＝CD，那么，∠AOB＝∠COD；
（2）如果，那么∠AOB＝∠COD；AB＝CD；
（3）如果∠AOB＝∠COD，那么，AB＝CD；
（4）OE与OF相等．理由如下：
∵OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，
∴AE＝BE，CF＝DF，
而AB＝CD，
∴AE＝CF，
∵OE＝
OF＝，OA=OC，
∴OE＝OF．
故答案为：（1），∠AOB＝∠COD；（2）AB＝CD；∠AOB＝∠COD；（3）AB＝CD，．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
24．见解析
【分析】根据题意画出示意图，其中BC表示电影幕的宽，G、I分别为圆弧形排列的座位中的任意两个，根据图形可知∠BGC、∠BJC分别为两个座位的视角，由此结合圆周角定理的推论求解即可．
【详解】根据题意画出图形，BC表示电影幕的宽，
由同弧所对圆周角相等可知∠BGC=∠BJC，即同排的观众视角相等．
【点睛】本题是圆周角定理的推论在实际问题中的应用，解题的关键是要理解在同排的观众视角需相同．
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