24.4直线与圆的位置关系同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
24.4直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，圆的两条弦相交于点和的延长线交于点，下列结论中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．圆O与直线L在同一平面上．若圆O半径为3公分，且其圆心到直线L的距离为2公分，则圆O和直线L的位置关系为（　　）
A．不相交 B．相交于一点 C．相交于两点 D．无法判别
4．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．经过半径外端的直线 B．垂直于半径的直线
C．与圆有公共点的直线 D．圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线
5．如图，、是的两条弦，，过点C的切线与的延长线交于点D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A是⊙O上一点，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，若∠B＝36°，则∠ACO的度数为（　　）
A．63° B．54° C．60° D．126°
7．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，已知圆的半径为4，劣弧的度数为120°，Q是圆上的一动点，则PQ长的最大值是（　　）
A．12 B．12 C．8 D．4
8．已知⊙O的面积为9πcm2，若圆心O到直线的距离为3cm，则直线与⊙O的位置关系是(　 　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
9．如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着轴向下运动，当⊙C与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　）
A．3秒或6秒 B．6秒 C．3秒 D．6秒或16秒
10．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
11．如图，已知分别与的边、的延长线、的延长线相切，则等于( )
A． B． C． D．
12．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和的公共点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
二、填空题
13．如图等边，以为直径的交于点，交于，于，下列结论正确的是： ．①是中点；②；③是的切线；④．
14．将直尺、有角的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺的交点，为光盘与直尺的交点，若，则光盘表示的圆的半径 ．
15．如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A( 6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为
17．如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为 ．

三、解答题
18．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证DE是⊙O的切线；
（2）若BF＝1，BD=，则菱形ABCD的面积为 ．

19．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC．
(1)如图①，连接AC，若，求∠ACD的大小；
(2)如图②，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小．
20．点的“值”定义如下：若点为圆上任意一点，线段长度的最大值与最小值之差即为点的“值”，记为.特别的，当点，重合时，线段的长度为0.
当⊙的半径为2时：
（1）若点，，则_________，_________；
（2）若在直线上存在点，使得，求出点的横坐标；
（3）直线与轴，轴分别交于点，.若线段上存在点，使得，请你直接写出的取值范围.
21．对于平面直角坐标系中的点和图形给出如下定义：点为图形上一点，点为图形上一点，当点是线段的中点时，称点是图形的“中立点”．如果点，，那么“中立点”的坐标为.已知，点，，．
（1）连接，在点，，中，可以成为点和线段的“中立点”的是______；
（2）已知点，的半径为2.如果直线上存在点可以成为点和的“中立点”，求点的坐标；
（3）以点为圆心，半径为2作圆．点为直线上的一点，如果存在点，使得轴上的一点可以成为点与的“中立点”，直接写出点的横坐标的取值范围．
22．如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径．
23．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．
（1）求∠D的度数；
（2）若CD=2，求BD的长．
24．的周长为，面积为，如果点O到一条直线的距离为，那么这条直线与有怎样的位置关系？
《24.4直线与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D A A B A D A
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】根据相交弦定理和割线定理即可求解.
【详解】解：
由相交弦定理知，由割线定理知, 所以D正确，
故选D .
【点睛】本题考查了相交弦定理和割线定理，熟记定理是解题关键.
2．D
【分析】求出直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限b的值，则相交时b的值在相切时的两个b之间．
【详解】当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时如图
在中，令x=0,y=b，则与y轴的交点为（0,b）
令y=0,x=b，则与x轴的交点为（b,0）
则OA=OB，即△AOB是等腰直角三角形
连接圆心O和切点C，则OC=1
∴△BOC也是等腰直角三角形
∴BC=OC=1
∴BO=
同理当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=-，
∴直线与⊙O相交，则b的取值范围是
故选D．
【点睛】此题主要考查直线与圆的关系综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值．
3．C
【分析】本题考查圆与直线的位置关系，根据圆心到直线的距离小于圆的半径可得直线和圆相交，进而即可得到答案
【详解】∵圆心到直线的距离是2公分小于圆的半径3公分，
∴直线和圆相交，
∴直线和圆有2个公共点．
故选C．
4．D
【分析】根据圆的切线的判定定理进行判断即可.
【详解】解：A. 经过半径外端的直线，但直线不一定垂直半径，故不能判断该直线是圆的切线；
B. 垂直于半径的直线，但直线不是经过半径外端，故不能判断该直线是圆的切线；
C. 与圆有公共点的直线，直线与圆相交也有公共点，故不能判断该直线是圆的切线；
D. 圆心到直线的距离等于这个圆的半径长的直线，能判断该直线是圆的切线.
故选D.
【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，圆的切线必须与半径垂直，且过半径的外端.
5．A
【分析】连接OC，可知∠OCD＝90°，而∠A＝35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．
【详解】解：连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°，
∴∠D＝∠OCD -∠COD =90°﹣60°＝30°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质，解题的关键是求出∠COD的度数．
6．A
【分析】根据切线的性质可得OA⊥AB，进而根据直角三角形的两锐角互余求得∠AOC，根据半径相等，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∵∠B＝36°，
∴∠AOC＝90°﹣∠B＝54°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝＝＝63°，
故选：A.
【点睛】本题考查了切线的性质，掌握切线的性质是解题的关键．
7．B
【详解】分析：当PQ是直径时，PQ长取最大值，连接OA，求出即可.
详解：当PQ是直径时，PQ长取最大值，
连接OA，
∵劣弧的度数为120°，
∴
∵圆的半径为4，
∴
∴
∴
故选B．
点睛：分析题意可知，当PQ是直径时，PQ长取最大值，是解题的关键.
8．A
【详解】设圆的半径是r，根据圆的面积公式求出半径,再和点到直线的距离比较即可.
解：设设圆的半径是r，则πr2=9π.
∴r=3
∵圆心O到直线的距离为3cm，
∵3=3，即：r=d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相切，
故选A.
9．D
【详解】试题解析：如图，
∵x=0时，y=-4，
y=0时，x=3，
∴A（3，0）、B（0，-4），
∴AB=5，
当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD，
则C到AB的距离等于1.5，
∴CB=1.5÷sin∠ABC=1.5×=2.5；
∴C运动的距离为：1.5+（4-2.5）=3，运动的时间为：3÷0.5=6；
同理当C在B下方，直线与圆相切时，
连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）=8，运动的时间为：8÷0.5=16．
故选D．
10．A
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11．C
【分析】设切点分别为，根据切线长定理可得，根据四边形内角和可得，即可求解．
【详解】解：与的边、的延长线、的延长线相切，设切点分别为，
∴，
．
故选C．
【点睛】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键，切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角．
12．C
【分析】根据当圆的半径大于圆心到直线的距离时，直线与圆相交，即可得出直线和的公共点的个数．
【详解】∵的半径为，圆心到直线的距离为，
∴直线与圆相交，
∴直线和的公共点个数为2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，掌握当圆的半径大于圆心到直线的距离时，直线与圆相交是解决问题的关键．
13．①②③④
【详解】【分析】连接AP．根据圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”的性质推知点P是线段BC的中点，同理证得点E是线段AC的中点；然后由三角形中位线定理，圆心角、弧、弦间的关系来证明；连接OP，由切线的判定证得OP⊥PF即可．
【详解】连接AP．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AP⊥BC；
又∵AB=AC，
∴点P是线段BC的中点，
故①正确；
同理，点E是线段AC的中点，
∴AE=EC，
故④正确；
∵连接PE．
点P、E分别是线段BC、AC的中点，BC=AC=AB（等边三角形的三条边相等），
∴PE=AB（三角形中位线定理），BP=BC=AB，
∴BP=PE（等量代换），
∴，
故②正确；
连接OP．
∵点P是线段BC的中点，点O是线段AB的中点，
∴OP是△ABC的中位线，
∴OP//AC；
又∵PF⊥AC，
∴PF⊥OP，
∵点P在⊙O上，
∴PF是⊙O的切线；
故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为①②③④．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、等边三角形的性质及圆周角定理．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
14．
【分析】由题意可知光盘与三角形的斜边和直尺是相切的关系，可以先连接圆心和切点，利用切线的性质和切线长定理可得，再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知光盘与三角形的斜边和直尺是相切的关系，
如图，设圆心为，光盘与三角形斜边的切点为，连接，，，
∵、都是圆的切线且切点为、，
∴，，，
∵三角尺中点所对应的角为，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，切线长定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
15．/64度
【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出，再根据，内错角得到答案．
【详解】如下图所示，连接OC
从图中可以看出，是圆弧对应的圆周角，是圆弧对应的圆心角
得．
∵BC是圆O的切线
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和平行线的相关知识．
16．
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【详解】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（-6，0）、B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴AB=6，
∴OP=AB=3，
∵OQ=2，
∴PQ=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
17．2
【分析】根据切线的性质可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等，对顶角相等可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，以及等腰三角形的判定是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）5
【分析】（1）根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，可证△DAF≌△DCE，可得∠DFA=∠DEC，证出∠ADE=∠DEC=90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线．
（2）在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2，解方程可求出AD的长即可．
【详解】（1）证明：连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB BF＝BC BE，即AF＝CE，
在△DAF和△DCE中，
，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
在Rt△BDF中，BF＝1，BD=，
∴DF2＝BD2 BF2＝5﹣1＝4，
∴DF＝2，
在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，
∴AB2＝22+（AB﹣1）2，
解得AB=，
∴S菱形ABCD＝AB DF=＝5．
故答案为5．
【点睛】此题考查圆的综合，三角形全等的性质和判定，直径所对圆周角性质，菱形的性质，圆的切线的判定，勾股定理，拓展一元一次方程等知识，解题关键是根据勾股定理列方程解决问题．
19．(1)25°
(2)22.5°
【分析】连接OC，根据AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，再由CD是⊙O的切线，可得∠BCO=∠ACD，即可求解；
（2）连接OC，根据四边形ODCE为平行四边形，可得OE∥CD，OD∥CE，从而得到∠COE=90°，再由OB=OC，可得∠OCE=∠E=45°，然后根据圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∴∠BCO=∠ACD，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
∴∠ACD=∠B=25°；
（2）解：如图，连接OC，
∵四边形ODCE为平行四边形，
∴OE∥CD，OD∥CE，
∵OC⊥CD，
∴OC⊥OE，即∠COE=90°，
∵OE=OC，
∴∠OCE=∠E=45°，
∴∠AOC=∠OCE=45°，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，平行四边形的性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，平行四边形的性质定理是解题的关键．
20．（1）1；4（2）-1或-（3）
【详解】试题分析：（1）根据定义求解即可；
（2）根据定义知：满足dP=2的点位于一点O为圆心，半径为1的圆周上，设P（a，2a+2），由PO=1，建立方程求解即可；
（3）根据题意可知，满足2≤dP＜3的点位于以点O为圆心，外径为，内径为1的圆环内．
分别求出当线段与外环相切或内切时， b的值即可．
试题解析：解：（1）dC=1，dD=4；
（2）根据题意，满足dP=2的点位于一点O为圆心，半径为1的圆周上．
∵点P在直线y=2x+2上，∴设P（a，2a+2）．
∵PO=1，∴a2+（2a+2）2=1，解得a=-1或a= ，∴xP=-1或．
（3）．解析如下：
根据题意，满足2≤dP＜3的点位于以点O为圆心，外径为，内径为1的圆环内．
当线段与外环相切时，解得b=；
当线段与内环相切时，解得b=.
点睛：本题考查了新定义．解题的关键是弄懂新定义的概念，然后根据概念解答．
21．（1）点，点；（2）点的坐标为或；（3）．
【分析】（1）根据“中立点”的定义，画出图形即可判断；
（2）如图2中，点和的“中立点”在以为圆心，1为半径的圆上运动，因为点在直线上，设 ，则有，求出 的值即可解决问题；
（3）如图3中，由题意，当点确定时，点与的“中立点”是以的中点为圆心1为半径的 ，当与轴相切时，点的横坐标分别为或，由此即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，
观察图象可知，满足条件的点在的平行于的中位线上，
故成为点和线段的“中立点”的是、．
故答案为、．
（2）如图2中，点和的“中立点”在以为圆心，1为半径的圆上运动，
因为点在直线上，设，
则有，
解得或1，
点坐标为或．
（3）如图3中，由题意，当点确定时，点与的“中立点”是以的中点为圆心1为半径的 ，
当与轴相切时，点的横坐标分别为或，
所以满足条件的点的横坐标的取值范围为．
圆与轴相切时，符合题意．所以点的横坐标的取值范围为．
【点睛】本题考查一次函数综合题、圆的有关知识、三角形的中位线定理、“中立点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)证明见解析；
(2)的半径为．
【分析】（）连接，，由圆周角定理得，又，则通过等腰三角形的性质得，然后由中位线定理可得，最后由平行线的性质即可求证；
（）过点作，垂足为，易证四边形是矩形，从而得出，设的半径为，然后利用垂径定理表示出，最后在中利用勾股定理列出关于的方程进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：过点作，垂足为，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定，中位线定理，等腰三角形的性质 ，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识的应用及根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（1）45°；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD=2∠A，求出∠D=∠COD，根据切线性质求出∠OCD=90°，即可求出答案；
（2）求出OC=CD=2，根据勾股定理求出BD即可．
试题解析：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵∠D=2∠A，
∴∠D=∠COD，
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=∠COD=45°；
（2）∵∠D=∠COD，CD=2，
∴OC=OB=CD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22=（2+BD）2，
解得：BD=．
考点：切线的性质
24．相离
【分析】首先利用圆的周长公式以及面积公式进而求出圆的半径，进而利用半径与点到一条直线的距离为cm的关系得出直线与的位置关系即可．
【详解】解：的周长为，
∴①，
的面积为，
∴②，
②①得：，
解得：，
点到一条直线的距离为＞半径2cm，
∴直线与圆相离．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆的周长和面积求出圆的半径是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)