24.5三角形的内切圆同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
24.5三角形的内切圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，任意长为半径画弧交射线，于两点，分别以这两点为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，以下说法中错误的是（ ）

A．点到边的距离相等 B．平分
C．点是的内心 D．点到三点的距离相等
2．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．如图，已知点为勾股形（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中为直角，点、、分别在边、、上，，若，，则正方形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．16
4．在中，，，的内切圆半径为1，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　）
A．2 B．4 C．1.5 D．2.5
6．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的垂心不一定只有一个
B．三角形的外心一定在三角形的内部
C．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
D．三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
7．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（ ）
A． B．12r C．13r D．26r
8．如图，若是的内切圆，且，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为(　　)
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
11．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形的中心
C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上
12．如图，在正方形ABCD中，点O是的内心，连接BO并延长交CD于F点，则的度数是（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
二、填空题
13．如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则圆O的半径为 ．
14．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是 ．
15．已知中，，则它的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ．
16．如果正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为 ．
17．如图，在四边形中，．若，则的内切圆面积 （结果保留）．
三、解答题
18．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
19．阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积．
如图①，当时，设切于点，连结，
，，，．
在中，，，
，, ,
．
(1) 如图②，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得： ；
(2) 如图③，当时，仿照（1）中的方法和过程求；
(3) 如图④，根据以上探索过程，请直接写出．
20．如图，中，， ，，分别切，，于D，E，F，求的内心I与外心O之间的距离．
21．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．求证：ID=BD.
22．如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆．三角形的内心是否都在三角形内部？
23．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.
(1)求证：IE＝BE；
(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的长．
24．已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若，如图①.
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．
《24.5三角形的内切圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B A D C C A B
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】根据作图先判断平分，再由三角形内心的性质解答即可．
【详解】解：A．由作图可知，是的平分线，
∴I到边的距离相等，故选项正确，不符合题意；
B．∵平分，三角形三条角平分线交于一点，
∴平分，故选项正确，不符合题意；
C．由上可知，I是的内心，故选项正确，不符合题意，
D．∵I是的内心，
∴I到的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．
2．B
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD=CF=1，根据切线长定理得出AD=AE，BE=BF，CF=CD，求出AD+BF=AE+BE=AB=6，即可求出答案．
【详解】解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD=CF=1，
由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB=6=AE+BE=BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．
3．B
【分析】先根据已知条件证明和全等，和全等，然后设正方形的边长为，在中，利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可．
【详解】，∠ABO=∠CBO，
是和的公共边，
，
同理可得，，
，，
由题意得，四边形为正方形，
设，
，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
正方形的面积是4，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、一元二次方程的解法、勾股定理、三角形的内心等知识，熟练掌握正方形的性质，根据勾股定理列出方程式是解答本题的关键．
4．B
【分析】根据直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，即可求得两条直角边的和，从而求得其周长．
【详解】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得，
．
则三角形的周长．
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟记直角三角形的内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解答此题的关键．
5．A
【分析】此题重点考查三角形内切圆的定义、切线的性质定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．设与、、分别相切于点、、，连接，则，由勾股定理求得，连接、、，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设与、、分别相切于点、、，连接，则，
，，，
，
连接、、，
，，，
，，，，
，
解得，
故选：A．
6．D
【分析】根据三角形的垂心、外心、内心、重心的意义及重心的性质判断即可．
【详解】A．三角形的垂心是指三角形的三边上的高所在直线的交点，则垂心是唯一的，故此说法错误；
B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，此交点可在三角形的外部、内部，也可以在三角形的边上，故此说法错误；
C．三角形的内心是三角形三内角平分线的交点，则此点到三角形三边的距离相等，故此说法错误；
D．根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离等于重心到对边中点距离的2倍，由此可知重心与两个顶点所构成的三角形的面积是：，其中S表示原三角形的面积，故此结论正确；
故选：D
【点睛】本题考查三角形的垂心、外心、内心及重心的意义，重心的性质，掌握这些知识是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；
根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可．
【详解】 是的内切圆且半径为r，，，
，
，
则的面积为，
故选：C
8．C
【分析】此题主要考查了三角形的内切圆的性质和三角形内角和定理．由三角形内切圆定义可知、是、的角平分线，所以可得到关系式，得出，最后利用三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵点O是的内心，
∴，
∴，
∴．
故选：C.
9．A
【分析】三角形的内切圆与三角形各边都相切，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点；连接OD、OC，本题中为等边三角形，D点也是BC边上的中线.
【详解】解：连接OD、OC，
由三角形内切圆的性质以及等边三角形性质可知，其内切圆的圆心是高线、中线、角平分线的交点，故可得，
OD⊥BC，∠OCD=∠ACB=30°，CD=BC=1，
故在RT△ODC中，OD=CDtan∠OCD=1×=.
【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系，熟记三角形内切圆的定义是解题关键.
10．B
【分析】过点作，根据切线长定理设，进而结合已知条件表示出，求得的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵是的内心，
∴，
设，
∵BD＝10，
∴，
∴,，
∵，
∴，
解得，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
11．D
【分析】根据三点确定一个圆的定理、三角形外心的定义依次判断即可．
【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故A选项说法错误；
等边三角形的外心是三角形的中心，故B选项说法错误；
三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故C选项说法错误；
等腰三角形的外心在顶角的角平分线上，故D选项说法正确；
故选：D．
【点睛】此题考查点确定圆的条件，三角形外心的定义及性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
12．C
【分析】先由性质求出，再由三角形内心的概念得是的平分线，由角平分线定义即可求解．
【详解】解：在正方形中，，
∵点是的内心，
∴是的平分线
∴，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心是三角形角平分线的交点是解题的关键．
13．2
【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，由勾股定理可计算出AC的长，根据面积关系 ，即可求得半径．
【详解】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O为的内切圆，切点分别为D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
∵
∴
即
∴OD=2
即⊙O的半径为2
故答案为：2
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理，图形的面积等知识，利用面积关系解答是关键．
14．
【分析】根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．
【详解】解：如图，连接OB，
根据题意得：∠OBD=30°，BD= ，AD⊥BC，
∴tan∠OBD== ，
∴OD=×=．
即内切圆半径是．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．
15． 5 2
【分析】由勾股定理的逆定理可得，为直角三角形，即可求得外接圆的半径；设内切圆半径为，利用切线长定理求得内切圆半径．
【详解】解：∵，
∴
∴为直角三角形，，
∴外接圆的圆心为斜边的中点，半径为
设内切圆的半径为，如下图，

由题意可得：
∴四边形为矩形，
又∵
∴矩形为正方形，
∴
∴，
由切线长定理可得：，
则：，解得
故答案为：5，2
【点睛】此题考查了圆的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的逆定理，切线长定理等性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
16．
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内切圆的性质、解直角三角形，关键在于作辅助线构建直角三角形．
过点作，则，在中，即可解答；
【详解】解：如图，过点作，则．
∵是的内心，是等边三角形，
∴，
在中，，
∴ ，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】根据，得出为的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得，进而得出为等边三角形；利用，得出为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
【详解】解：如图，设与交于点F，的内心为O，连接．
∵，
∴是线段的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
∵，
∴．
∵O为的内心，
∴．
∴．
∴的内切圆面积为．
故答案为．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定、三角形内切圆、等边三角形判定与性质、解直角三角形，解题关键是根据垂直平分线的判定确定为等边三角形，根据解直角三角形求出内切圆半径．
18．S=(a+b+c)r
【分析】设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解
【详解】如图，设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
则OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC．
∵S△AOB=AB OD=cr，同理，S△OBC=ar，S△OAC=br．
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即S=cr+ar+br=(a+b+c)r
【点睛】本题考查了三角形的内切圆的计算，正确作出辅助线，把△ABC的面积的计算分解成几个三角形的面积的计算是关键.
19．(1) ；(2) ；(3) ．
【分析】（1）如图②，要求正四边形的面积，只需求△OAB的面积，只需求AB，根据等腰三角形的性质可得AB＝2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后运用三角函数即可解决问题；
（2）如图③，要求正五边形的面积，只需求△OAB的面积，只需求AB，根据等腰三角形的性质可得AB＝2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后运用三角函数即可解决问题；
（3）如图④，要求正n边形的面积，只需求△OAB的面积，只需求AB，根据等腰三角形的性质可得AB＝2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后运用三角函数即可解决问题．
【详解】(1) （根据题干中的规律进行解答）
(2) 如图③，当时，设切于点，连结，.
，又，，，.
，．
(3) ．
【点睛】本题考查的是内切圆，熟练掌握内切圆的性质是解题的关键.
20．
【分析】本题考查的是直角三角形的外心与内心概念，内切圆的性质，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．连接，，，，证得四边形为正方形，即得，从而得到，，再在中根据勾股定理即可求得．
【详解】解：如图，连接，，，，
在，，，，
∴，
∴为外接圆半径，，
设的内接圆的半径为r，则，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
即，
解得，
∴，
∴，
在中，．
21．详见解析.
【分析】根据三角形的内心的概念，得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，再利用外角性质得到∠BID=∠IBD，从而根据等腰三角形的性质证明即可.
【详解】解：∵ 点I是△ABC的内心，∴ ∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.
∵ ∠CBD=∠CAD，∴ ∠BAD=∠CBD.
∴ ∠BID=∠ABI+∠BAD =∠CBI+∠CBD=∠IBD. ∴ID=BD.
【点睛】此题主要考查了三角形内心的性质和三角形的外角的性质，以及等腰三角形的判定，关键是明确三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.
22．作图见解析；三角形的内心都在三角形的内部
【分析】分别作三角形的角平分线，以角平分线的交点为圆心，交点到三角形的边的距离为半径作圆即可，由图可知三角形的内心都在三角形的内部．
【详解】如图所示，
由图可知三角形的内心都在三角形的内部．
【点睛】本题考查了三角形的内心，作角平分线，作垂线，理解三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）DE＝2.
【分析】（1）连接IB，只需证明∠IBE=∠BIE．根据三角形的外角的性质、三角形的内心是三角形的角平分线的交点以及圆周角定理的推论即可证明；
（2）IE的长，即是BE的长，则可以把要求的线段和已知的线段构造到两个相似三角形中，进行求解．
【详解】解： 连结IB.
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBD.
又∵∠BIE＝∠BAD＋∠ABI，
∴∠BIE＝∠CAD＋∠IBD＝∠DBE＋∠IBD＝∠IBE，
∴BE＝IE；　
(2)在△BED和△AEB中，
∵∠EBD＝∠CAD＝∠EAB，∠BED＝∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴＝.
∵IE＝4，
∴BE＝4.
∵AE＝8，
∴DE＝＝2.
【点睛】此题要理解三角形的内心即是三角形角平分线的交点，能够熟练运用三角形的外角的性质、圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质．
24．(1)等腰三角形 (2)
【详解】分析：(1)、易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解题；(2)、连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根据AE长度即可解题．
详解：(1)等腰三角形．
证明：∵AC，AB，BC是⊙O的切线， ∴∠BDO＝∠BEO＝∠CFO＝∠CEO＝90°.
∵＝，∴∠EOF＝∠EOD， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC， 即△ABC是等腰三角形；
(2)∵AC＝AB，CE＝BE， ∴AE⊥BC，∠FAO＝∠DAO，∵AF＝AD，
∴FM＝DM，AE⊥DF，∴AE过圆心O，DF∥BC，∴AF∶AC＝DF∶BC，即4∶6＝DF∶4，
∴DF＝，∴FM＝， ∴AM＝＝.
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了等腰三角形的性质，考查了圆的切线的性质，本题中求DF∥BC是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)