24.7弧长与扇形面积同步练习（含解析）

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24.7弧长与扇形面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个扇形的弧长是12πcm，面积是108πcm2，则此扇形的圆心角的度数是(　　)
A．300° B．150° C．120° D．75°
2．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留π）（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是半圆O的直径，平分，且，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）

A．6π B．2π C．π D．π
5．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
6．一个扇形的半径为8 cm，弧长为π cm，则扇形的圆心角为(　　)
A．60° B．120° C．150° D．180°
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C．π D．2π
8．. 如图，图中正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．16-4 B．32-8 C．8-16 D．无法确定
9．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为( )
A．π B．π C．π D．π
10．用圆心角为120°，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（　　　）
A． B． C． D．
11．如图，用长的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框（包括窗棱），若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（ ）．

A． B． C． D．
12．若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）

14．如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D，C，B在一条直线上，且，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，如果，则的长是 ．
15．如图，在中，，，，将三角形绕点按逆时针方向旋转（）后得到三角形，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AB，M，N是线段EF的两个动点，且MN＝EF，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点B重合，若底面圆的直径为6cm，则正方形纸片上M，N两点间的距离是 cm．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为 ．
三、解答题
18．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．
19．如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C．
(1)求证：；
(2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积．
20．如图，已知A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）若将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后，求AC边扫过的图形的面积．
21．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交于点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求弧的长．
22．如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度．
23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的位置如图所示（顶点是网格线的交点）
（1）请画出△ABC向右平移2单位再向下平移3个单位的格点△A1B1C1
（2）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2并求出旋转过程中点B到B2所经过的路径长．
24．在⊙O中，弦所对的圆周角为30°，且，求的长．
嘉琪的解法如下：∵弦所对的圆周角是30°，
的长为．
请问嘉琪的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．
《24.7弧长与扇形面积》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D A B B C A C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】先根据扇形面积公式求出半径，再根据弧长公式解答即可．
【详解】解：设扇形所在的圆的半径为rcm，圆心角为n°，由题意得：，解得：r=18，
∵，
∴此扇形的圆心角n=120°．
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形面积和弧长公式的计算，属于常考题型，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是解答的关键．
2．B
【分析】首先要明确，然后依面积公式计算即可．
【详解】解：连接OF，
∵∠AOD=45°，四边形CDEF是正方形，
∴OD=CD=DE=EF，
在Rt△OFE中，OE=2EF，
∵OF=，，
∴，
解得：EF=1，
∴EF=OD=CD=1，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理的应用，得到正方形和三角形的边长是解题的关键．
3．C
【分析】连接，，证明是等边三角形，套用弧长公式计算即可．
【详解】连接，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
解得
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
4．D
【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的弧的长度是．
5．A
【分析】根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，
由弧长公式l，
∴2.5π，
解得：r＝6，
故选：A．
【点睛】本题考查了由弧长求半径，熟练掌握和灵活运用弧长公式为解题的关键，弧长公式l．
6．B
【详解】试题分析：设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式得到，然后解方程即可．
试题解析：设扇形的圆心角为n°，
根据题意得
，
解得n=120，
所以扇形的圆心角为120°．
故选B．
考点：弧长的计算．
7．B
【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
【详解】∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，
∴阴影部分的面积是：，
故选B．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．C
【详解】：根据图形，得
阴影部分的面积=2×π×22-4×4=8π-16．
故选C．
9．A
【详解】∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形．由题意得S△AED＝S△ABC，由图形可知S阴影＝S△AED＋S扇形ADB－S△ABC，∴S阴影＝S扇形ADB＝＝π，故选A.
10．C
【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高．
【详解】∵扇形的弧长＝=4π cm，
圆锥的底面半径为4π÷2π=2cm，
∴这个圆锥形筒的高为cm．
故选C．
【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，圆的周长公式的应用、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学相关知识．
11．B
【分析】窗户由半圆和矩形两部分组成，分别求出它们的面积，相加即可得到窗户的面积S与圆的直径x的函数关系；根据二次函数的性质可求出面积的最大值．
【详解】设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，
则窗框总长，
∴，
∴，
∵，
∴S有最大值，为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．解决问题的关键是熟练掌握矩形和圆的周长公式和面积公式，求二次函数的最大值．
12．B
【分析】根据弧长公式直接进行求解即可．
【详解】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，
∴此扇形的弧长．
故选B．
【点睛】本题考查了弧长公式，熟练掌握是解题的关键．
13．
【分析】由AB为圆的切线，得到OC垂直于AB，再由OA=OB，利用三线合一得到C为AB中点，且OC为角平分线，在Rt△AOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出AB的长，求出∠AOB度数，从而根据阴影部分面积=△AOB面积-扇形面积，求出即可．
【详解】解：∵AB与圆O相切，∴OC⊥AB
∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°
在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，∴OC=OA=2，∠AOC=60°
∴∠AOB=120°，
∴AB=2AC=
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及扇形面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
14．
【分析】此题考查了切线的性质，弧长公式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．连接，，根据为圆的切线，得到垂直于，利用得到直角三角形与直角三角形全等，利用全等三角形的对应角相等得到，再由，且为中点，得到，利用得到三角形与三角形全等，确定出度数，在直角三角形中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，即为圆的半径，利用弧长公式求出弧长即可．
【详解】解：连接，，
为圆的切线，
，即，
在和中，
，
，
，
，且，
，
在和中，
，
，
，，
，即，
在中，，，
，即圆半径为，
则．
故答案为：．
15．
【分析】把△ADE顺时针方向旋转60°到△ABC，要求的阴影部分的面积就是边长为5，角为60°的扇形面积．
【详解】圆形面积= =25π
扇形的面积= =
【点睛】此题考查了求阴影部分的面积，解题关键是把阴影的面积变成求扇形的面积．
16．
【分析】根据题意得到EF=AD=BC，MN=2EM，由卷成圆柱后底面直径求出周长，除以6得到EM的长，进而确定出MN的长即可．
【详解】解：根据题意得：EF=AD=BC，MN=2EM=EF，
∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，底面圆的直径为6cm，
∴底面周长为6πcm，即EF=6πcm，
则MN=cm，
故答案为．
【点睛】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
17．22015π
【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x轴，可知为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．
【详解】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…，
∵P1 是⊙O1上的点，
∴P1O1＝OO1，
∵直线l解析式为y＝x，
∴∠P1OO1＝45°，
∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，
同理，PnOn垂直于x轴，
∴ 为圆的周长，
∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，
∴OO1＝1＝20，OO2＝2＝21，OO3＝4＝22，OO4＝8＝23，…，
∴OOn＝，
∴，
∴，
故答案为：22015π．
【点睛】本题考查了图形类规律探索、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及弧长的计算，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）2-
【分析】（1）若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与半径垂直，故连接OE，证明OE∥AD即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）连接OE．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵∠DAE＝∠OAE，
∴∠OEA＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴∠ADC＝∠OEC，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
故∠OEC＝90°．
∴OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠C＝45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，
∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝2×2﹣＝2﹣．
【点睛】本题综合考查了圆与三角形，涉及了切线的判定、等腰三角形的性质、扇形的面积，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.
19．(1)见解析
(2)
【分析】(1)首先可证得，由圆周角定理得：，可得，再根据切线的性质，可得，根据垂直的定义可得，据此即可证得；
(2)首先由弦平分半径，，可得，，，再根据，可得，即可证得，最后由即可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
由圆周角定理得：，
，
与相切，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接，
弦平分半径，，
，在中，，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．
20．（1）如图所示，见解析；（2）.
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用扇形面积求法得出答案．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后，AC边扫过的部分的图形为扇形CA A'，根据勾股定理，CA，∴．
【点睛】本题考查了旋转变换以及扇形面积求法等知识，正确得出对应点位置是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OB，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得，再证明可得即可；
（2）先求出∠COD，然后再运用弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵点在上
∴是的切线；
（2）∵
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．
22．图中管道的展直长度约为6142mm．
【分析】根据弧长公式，结合图形计算即可．
【详解】解：3000＋≈6142（mm）.
答：图中管道的展直长度约为6142mm.
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：(其中为圆心角的弧度数，R为半径)是解题的关键．
23．（1）如图所示；见解析；（2）=π．
【分析】（1）先画出三角形各顶点平移后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到平移后的三角形；
（2）先画出三角形各顶点绕着点O逆时针旋转90°后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三角形；最后根据弧长计算公式进行计算，求得旋转过程中点B到B2所经过的路径长．
【详解】（1）如图；
（2）如图；
旋转过程中，点B到B2所经过的路径长为以OB为半径，90°为圆心角的弧长，2π×3π．
【点睛】本题考查了图形基本变换中的平移和旋转以及弧长的计算，解决问题的关键是先找准对应点，并依次连接对应点．需要注意的是，平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；旋转也不改变图形的大小和形状，但对应点到旋转中心的距离相等．
24．嘉琪的解法不正确，见解析
【分析】连接，，根据圆周角定理可得，进而得到是等边三角形，然后根据弧长计算公式可得答案．
【详解】解：嘉琪的解法不正确，理由如下：
如图，连接，，
所对的圆周角为，
，
，
是等边三角形，
，
的长为：．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理和弧长计算公式，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弧长公式中中是指圆心角的度数，而题干中给的是圆周角的度数，不能直接代入公式计算，要先求出圆心角的度数，再代入公式计算．
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