26.2 等可能情形下的概率事件 同步练习（含解析）

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26.2等可能情形下的概率事件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在一个不透明的盒子中装有个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在，那么可以推算出大约是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．40
2．在四边形中，从以下四个条件中：①②③④，其中任选两个能判定四边形为平行四边形的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在边长为2的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为2的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是(　　)
①试验条件不会影响某事件出现的频率；
②在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较精确的估计值，但各人所得的值不一定相同；
③如果一枚骰子的质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等；
④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的机会相同．
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
5．一个两位数记作（，，其中，， 均为自然数，任意取出一个 ），任意取出一个 的两位数的概率是 ( )
A． B． C． D．
6．某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．一套书共有上，中，下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左到右恰好成上，中，下顺序的概率为( )
A． B． C． D．
8．把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数是奇数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
9．气象预报员报道：“本市明天降水的概率是90％”，这句话的意思是（ ）
A．明天一定会下雨
B．明天90％的时间在下雨
C．明天本市有90％的地方要下雨，另外10％的地方不下雨
D．明天下雨的可能性是90％，但也有可能不下雨
10．已知抛物线，如图所示，下列命题：①；②对称轴为直线；③抛物线经过，两点，则；④顶点坐标是（，其中真命题的概率是（　　）
A． B． C． D．1
11．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
12．5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯山、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩，则王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙，下午选中江郎山这两个地的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如果任意选择一对有序整数(m，n)，其中|m|≤1，|n|≤3，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2＋nx＋m＝0有两个相等实数根的概率是 ．
14．在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是 ．
15．密码锁的密码是一个四位数字的号码，每位上的数字都可以是0到9中的任一个，某人忘了密码的最后一位号码，此人开锁时，随意拨动最后一位号码正好能把锁打开的概率是 ．若此人忘了中间两位号码，随意拨动中间两位号码正好能把锁打开的概率是 ．
16．现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有解的概率为 ．
17．如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ．
三、解答题
18．某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100张奖券，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个，已知每张奖券获奖的可能性相同．求：
(1)一张奖券中特等奖的概率．
(2)一张奖券中一等奖或二等奖的概率．
19．有一个转盘如图所示，被分成6个大小相同的扇形，颜色分别为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．有下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色．
(1)在上述事件中，可能性最大的是________，可能性最小的事件是________（填序号）；
(2)将上述事件按发生的可能性从小到大的顺序排列________（填序号）．
20．某餐厅为了开展促销活动，设立一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被分成四等份）．规定凡在本餐厅就餐的顾客，可以连续转动转盘两次，如果两次指针指向同一个汉字所在区域，即可获得一份礼物．请用画树状图（或列表）的方法（其中吉祥如意分别用ABCD代替），求顾客连续转动转盘两次能获得礼物的概率．
21．准备两组相同的牌，每组两张且大小一样，两张牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张牌，称为一次试验．
（1）一次试验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？
（2）两张牌的牌面数字和为几的概率最大？
（3）两张牌的牌面数字和等于3的概率是多少？
22．即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热，小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方注列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
23．甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
（2）求出现平局的概率．
24．解决问题：甲、乙同时各掷一枚骰子一次．
(1)求出两个朝上数字的积为偶数的概率；
(2)若得到的积为偶数则甲得1分，否则乙得1分，平均每次甲、乙各得多少分？
(3)这个游戏对甲、乙双方公平吗？为什么？
(4)若不公平，你们能修改规则，使之公平吗？你们能想出多少种方法．
《26.2等可能情形下的概率事件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B B A B C D C
题号 11 12
答案 B A
1．A
【详解】∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，
∴，
解得：n=10．
故选A．
2．C
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能使四边形ABCD成为平行四边形的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，能使四边形ABCD成为平行四边形的有8种情况，
分别为：①②，①④，②③，②④，②①，④①，③②，④②，
∴从中任选两个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的概率是：．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定及列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，熟练掌握平行四边形的判定方法是解决本题的关键．
3．B
【详解】试题解析：如图所示，
∵在格点上任意放置点C，
∴有关有16种可能，其中有6个点（见图）恰好能使得△ABC的面积为2，
∴恰好能使得△ABC的面积为2的概率=．
故选B．
考点：概率公式.
4．B
【分析】根据频率与概率的关系分析各个选项即可．
【详解】解：①错误，实验条件会极大影响某事件出现的频率，不符合题意；
②正确，符合题意；
③正确，符合题意；
④错误，“两个正面”、“两个反面”的概率为 ，“一正一反”的机会较大，为 ，不符合题意．
故选B
【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率．易错点是得到抛掷两枚硬币得到所有的情况数．
5．B
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】试题解析：列表如下：
ba 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 12 13 14 15 16 17 18 19
2 23 24 25 26 27 28 29
3 34 35 36 37 38 39
4 45 46 47 48 49
5 56 57 58 59
6 67 68 69
7 78 79
8 89
9
共有种等可能的结果，其中的两位数占36种，
所以任意取出一个的两位数的概率
故选B．
6．A
【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有9种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种情况，
∴小明和小慧选择参加同一项目的概率为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率公式、画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格，是解题的关键．
7．B
【详解】画树状图得：
所有等可能的情况有6种，其中恰好从左到右摆成“上、中、下”顺序的只有1种，
则P=．
故选B．
8．C
【分析】本题考查一步概率问题求解，根据题意，把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数为共6种等可能得结果，其中是奇数的有共3种，由简单概率公式代值求解即可得到答案，熟练掌握一步概率问题的求解方法是解决问题的关键．
【详解】解：把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数为共6种等可能得结果，其中是奇数的有共3种，
朝上面的点数是奇数的概率为，
故选：C．
9．D
【分析】由题意根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案．
【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：
A、明天一定会下雨，错误；
B、明天90％的时间在下雨，错误；
C、明天本市有90％的地方要下雨，另外10％的地方不下雨，错误；
D、明天下雨的可能性是90％，但也有可能不下雨，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小．
10．C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性判定命题的真假，根据概率公式计算即可．
【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0，①是真命题；
对称轴为直线x=1，②是真命题；
当x＞1时，y随x的增大而增大，∴抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＜y2，③是假命题；
顶点坐标是（1，﹣3），④是真命题；
∴真命题的概率．
故选C．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
11．B
【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率．
【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为，
∴选择周二打疫苗的概率为：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键．
12．A
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．使用树状图分析时，一定要做到不重不漏．
【详解】解：画树状图得：
∴一共有9种等可能的结果，
王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙，下午选中江郎山这两个地的有一种情况，
∴王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙，下午选中江郎山这两个地的概率是．
故选A．
【点睛】本题考查了概率公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率．
13．
【分析】首先确定m、n的值，推出有序整数（m，n）共有：3×7=21（种），由方程x2+nx+m=0有两个相等实数根，则需：△=n2-4m=0，有（0，0），（1，2），（1，-2）三种可能，由此即可解决问题.
【详解】解：m=0，±1，n=0，±1，±2，±3
∴有序整数（m，n）共有：3×7=21（种），
∵方程x2+nx+m=0有两个相等实数根，则需：△=n2-4m=0，有（0，0），（1，2），（1，-2）三种可能，
∴关于x的方程x2+nx+m=0有两个相等实数根的概率是，
故答案为．
【点睛】此题考查了概率、根的判别式以及根与系数的关系、绝对值不等式等知识，此题难度适中，注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
14．．
【详解】试题分析：画树状图如下：
∴P（两次摸到同一个小球）==.故答案为．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
15．
【分析】分别求出随意拨动最后一位和中间两位的所有结果，再得到能打开锁的结果数，再根据概率公式即可求得答案．
【详解】解：∵随意拨动最后一位号码有10种结果，能打开锁的结果只有一种，
∴能打开锁的概率为；
∵随意拨动中间两位号码有种结果，能打开锁的结果只有一种，
∴能打开锁的概率为．
故答案为，．
【点睛】本题主要考查了概念公式，牢牢记住：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率是解题的关键．
16．
【分析】根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，再根据分式方程有解，求出a的取值范围，综合两个结果即可得出答案．
【详解】一元二次方程有实数根，
∴.
∴，
∴，1，2，
关于的分式方程的解为：，
且且，
解得：且，
∴，
∴使得关于的一元二次方程，
有实数根，且关于的分式方程有解的概率为：.
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程有实数根、分式方程有解和概率的计算公式，掌握一元二次方程有实数根和分式方程有解是解题的关键．
17．
【详解】解：有6种等可能的结果，符合条件的只有2种，则完成的图案为轴对称图案的概率是
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，求某个事件的概率，能够正确找到轴对称图案的个数是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
（1）用特等奖的数量除以奖券的总个数即可；
（2）用一等奖、二等奖的数量除以奖券的总个数即可．
【详解】（1）∵有100张奖券，设特等奖1个，
∴一张奖券中特等奖概率为，
故一张奖券中特等奖的概率为．
（2）∵有100张奖券，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖20个，
∴一张奖券中一等奖或二等奖的概率为，
故一张奖券中一等奖或二等奖的概率为．
19．(1)④；②
(2)②③①④
【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．
【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分，
∴①指针指向红色的概率为；
②指针指向绿色的概率为；
③指针指向黄色的概率为；
④指针不指向黄色为，
∴可能性最大的是④，可能性最小的事件是②，
故答案为：④；②；
（2）由（1）得：②＜③＜①＜④，
故答案为：②③①④．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
20．
【分析】先画树状图，展示所有16种等可能的结果，其中两次指针指向同一个汉字所在区域占4种，然后根据概率的定义计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次指针指向同一个汉字所在区域占4种，
所以P（顾客连续转动转盘两次能获得礼物）=．
【点睛】本题考查了利用列表法与树状图法求概率：先通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n,然后找出某事件所占有的结果数m,再利用概率的概念计算出这个事件的概念P=
．
21．（1）2，3和4；（2）两张牌的牌面数字和等于3的概率最大；（3）
【分析】（1）根据题意列出表格，即可得两张牌的数字和可能值，即可求解；
（2）根据表格，可得两张牌的牌面数字和等于3的概率最大，即可求解；
（3）利用概率公式，即可求解．
【详解】解：（1）列表如下：
第2张牌 第1张牌 1 2
1
2
∴一次试验中两张牌的牌面数字和可能为1+1=2，1+2=3，2+1=3和2+2=4；
（2）由（1）中表格得：总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同．两张牌的牌面数字和等于2的结果有一种：；两张牌的牌面数字和等于3的结果有两种；两张牌的牌面数字和等于4的结果有一种：．因此，两张牌的牌面数字和等于3的概率最大；
（3）两张牌的牌面数字和等于3的概率是．
【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据题意，准确列出表格或画出树状图是解题的关键．
22．
【分析】通过列表展示所有6种等可能的结果数，找出恰好经过通道A与通道D的结果数，然后根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，求解．
【详解】解：列表如下：
C D E
A AC AD AE
B BC BD BE
∵由表可知共有6种等可能的结果数，其中恰好经过通道A与通道D的结果有1种，
∴P(恰好经过通道A与通道D)=．
答：他恰好经过通道A与通道D的概率为．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是列出所有等可能的结果．
23．(1) 共有9种等可能的结果；(2) .
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得出现平局的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）∵出现平局的有3种情况，
∴出现平局的概率为：．
考点：列表法与树状图法．
24．(1)
(2)平均每次甲得分，平均每次乙得分
(3)不公平，理由见解析
(4)见解析（答案不唯一）
【分析】（1）画树状图可得共有36种等可能的结果数，其中两个朝上数字的积为偶数的结果数为27，再根据概率公式求解即可；
（2）根据概率及规则求解即可；
（3）通过比较二者概率即可得出游戏是否公平；
（4）将规则进行修改，使得二者获胜的概率相同即可．
【详解】（1）画树状图如图，
共有36种等可能的结果数，其中两个朝上数字的积为偶数的结果数为27，所以两个朝上数字的积为偶数的概率；
（2）若得到的积为偶数则甲得1分，否则乙得1分，平均每次甲得分，平均每次乙得分；
（3）这个游戏对甲、乙双方不公平．因为（甲获胜）（乙获胜）．
（4）规则可改为若得到的积为偶数则甲得1分，否则乙得3分．
也可改为若得到的和为偶数则甲获胜，否则乙获胜等等．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图求概率，准确理解题意，能够根据题意对游戏规则进行修改是解题的关键．
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