第二十九章直线与圆的位置关系同步练习（含解析）

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第二十九章直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（　 　）
A．80° B．50°或130° C．100° D．40°
2．如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知某直线到圆心的距离为，圆的周长为，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
4．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为(　 　)
A．12 B．6 C．8 D．4
5．如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求；
乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）

A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确
6．下列命题是真命题的是（　　）
A． B．三角形的内心到三角形三边的距离相等
C．等弧所对的圆周角相等 D．正多边形都是中心对称图形
7．在中，，，，以点C为圆心的的半径为2.6，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
8．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（ ）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
9．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
10．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形
11．如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定
12．已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
二、填空题
13．如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
14．正九边形的中心角等于 度．
15．如图，在中，，，，为中线，以为圆心，为半径作圆，则、、、四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．
16．如图，的半径为，是延长线上一点，，切于点，则 ．
17．已知：△ABC中，∠C=90°，AC=5cm， AB=13cm， 以B为圆心，以12cm长为半径作⊙B，则C点在⊙B .
三、解答题
18．如图，为的直径，C为上一点，直线是的切线，于点D，交于点F，连接．
(1)求证：平分．
(2)若，求．
19．在△ABC中，，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F
（I）如图①，连接AD，若，求∠B的大小；
（Ⅱ）如图②，若点F为的中点，的半径为2，求AB的长．

20．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
21．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．
22．如图，在中，，以为直径的⊙O交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．如图，⊙O是的外接圆，且，求⊙O的半径．
24．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC ．
(1)若∠DFC=40 ，求∠CBF的度数．
(2)求证: CD⊥DF ．
《第二十九章直线与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B A B C C B C
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】连接AB,根据切线长定理和弦切角定理求解．
【详解】连接AB，
由切线长定理知AP=BP，
∠PAB=∠PBA=(180° ∠P)÷2=50°
由弦切角定理知,∠C=∠PAB=50°，
若C点在劣弧AB上,则根据圆内接四边形的性质知,∠C=180° 50°=130°，
由选项，知只有B符合.
故选B.
【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线长定理和弦切角定理是解题的关键.
2．B
【分析】根据切线长定理即可得到答案.
【详解】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.
【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理.
3．B
【分析】根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，即可得到问题选项．
【详解】解：∵圆的周长为10πcm，
∴圆的半径为5cm，
∵圆心到直线l的距离为5cm，
∴d=r，
∴直线与圆相切，
∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键．
4．B
【分析】由PA，PB分别和⊙O切于A，B两点， DE是⊙O的切线，根据切线长定理，即可得PA=PB，DA=DC，EB=EC，又由△PDE的周长为12，易求得PA+PB=12，则可求得答案．
【详解】∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA=PB，
∵DE是O的切线，
∴DA=DC，EB=EC，
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE
=PD+DC+EC+PE
=PD+AD+EB+PE
=PA+PB
=2PA
=12，
∴PA=6.
故选B.
【点睛】本题考查切线长定理.
5．A
【分析】对于甲先证明是等边三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性质得到，则，即可证明是的切线；
对于乙由直径所对的圆周角是直角得到，则，进而得到，则，即可证明是的切线．
【详解】解：甲正确．
理由：如图1中，连接．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
乙正确．
理由：∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线，
故选：A．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
6．B
【分析】根据判断命题真假的方法即可求解．
【详解】解：当时，，故A为假命题，故A选项错误；
三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故B为真命题，故B选项正确；
在同圆和等圆中，等弧所对的圆周角相等，故C为假命题，故C选项错误；
正三角形就不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，还考查了中心对称图形的特点，三角形内心的性质，圆周角及其推论的知识，掌握相关考点知识是解答本题的关键．
7．C
【分析】求出点C到直线的距离，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴点C到直线的距离为，
∵，
∴直线与的位置关系是相交．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，解决此题的关键是正确计算圆心到直线的距离，即直角三角形斜边上的高．
8．C
【分析】连接，证是等边三角形，得，过B作于点G，则，，得，再由题意得P，Q第一次相遇地点的坐标在点，第二次相遇地点在点，第三次相遇地点在点，如此循环下去，即可求出第2021次相遇地点的坐标．
【详解】解：连接OB，如图所示，
∵，O为正六边形的中心，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过B作于点G，则，，
∴，
∴，，
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：（秒），
此时点P的路程为，点的Q路程为，
此时P，Q相遇地点的坐标在点，
以此类推：第二次相遇地点在点，
第三次相遇地点在点，…如此下去，
∵，
∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、规律型﹣点的坐标、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质，解决本题的关键是找出规律.
9．B
【详解】解：以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，则OA=OD，△AOD是等腰直角三角形．
易证△ABO≌△OCD，则OB=CD=4cm．
在直角△ABO中，根据勾股定理得到OA2=20；
在等腰直角△OAD中，过圆心O作弦AD的垂线OP．
则OP=OA sin45°=cm．
故选：B．
10．C
【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是，用除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
【详解】由题意可得：
边数为．
则这个多边形是正十边形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和定理，准确理解圆内接正多边形的中心角的特点是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，三角形中位线定理等知识．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．首先根据三角形中位线的性质得出，进而利用点与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：连接，
∵以为直径作，线段的中点为P，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴点P与的位置关系是点P在外．
故选：C．
12．A
【分析】根据的面积，求出半径，即可求解．
【详解】解：设的半径为，
由的面积为可得，解得
∵，
∴直线与相交，
故选：A
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系的判断方法，圆的半径为，直线到圆心的距离为，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．
13．12
【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
【详解】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
14．40
【分析】用度除以边数，即可求解．
【详解】解：正九边形的中心角等于：．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了正多边形中心角的计算，理解正多边形的中心角相等是关键．
15． 点 点 点、．
【分析】分别求得A、B、C、M几点到点C的距离，然后与圆的半径比较后即可确定点与圆的位置关系．
【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，
∴AB==2，
∵CM为中线，
∴CM=AB=，
∴AC＜cm，BC＞cm，
∴在圆外的有点B，在圆上的有点M，在圆内的有点C和点A，
故答案为点B； 点M； 点A、C．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．
16．
【分析】本题考查切线的性质及勾股定理，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的直径是解题关键．根据切线的性质得出，再根据勾股定理计算即可得答案．
【详解】解：∵切于点，
∴，
∵的半径为，，
∴．
故答案为：
17．上
【详解】∵△ABC中，∠C=90°，AC=5cm， AB=13cm，
∴BC=.
∴当以点B为圆心，12cm长为半径作⊙B时，点C在⊙B上.
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质和已知求出，求出，即可得出答案；
（2）首先由勾股定理和圆周角的性质得到，然后证明出，最后根据相似三角形的性质即可求出的值．
【详解】（1）证明：连接，
∵直线是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵，
∴在中，
∵
∴
∵圆内接四边形
∴
∵
∴
∵为的直径
∴
∴
∴，即，解得．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
19．(1)∠B=40°；(2)AB= 6.
【分析】（1）连接OD，由在△ABC中, ∠C=90°，BC是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案;
（2）首先连接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD ,由点F为弧AD的中点,易得△AOF是等边三角形,继而求得答案.
【详解】解:(1)如解图①,连接OD,

∵BC切⊙O于点D,
∴∠ODB=90°,
∵∠C=90°,
∴AC∥OD,
∴∠CAD=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,
∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,
∵∠ODB=90°,
∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;
(2)如解图②,连接OF,OD,

∵AC∥OD,
∴∠OFA=∠FOD,
∵点F为弧AD的中点,
∴∠AOF=∠FOD,
∴∠OFA=∠AOF,
∴AF=OA,
∵OA=OF,
∴△AOF为等边三角形,
∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,
∴∠B=30°,
∵在Rt△ODB中,OD=2,
∴OB=4,
∴AB=AO＋OB=2＋4=6.
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△AOF为等边三角形是解（2）的关键.
20．；；
【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积求得答案．
【详解】解：∵正n边形边长为a，，，
∴．
∵边心距为r，
∴正n边形的半径 ，
∴周长，
∴面积．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的知识．理解正多边形面积的求法是解答关键．注意掌握数形结合思想的应用．
21．（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析．
【分析】（1）连接BC、OC，利用圆周角定理和切线的性质可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代换可得∠DPC=∠ACD，可证得结论；
（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．
【详解】解：（1）连接BC、OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠OCD=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，
∴∠OAC+∠B=90°，
∵CD为切线，∴∠OCD=90°，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵PE⊥AB，
∴∠APE=∠DPC=∠B，
∴∠DPC=∠ACD，
∴AP=DC；
（2）以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，
连接OF，AF，
∵F是的中点，
∴∠AOF=∠COF=60°，
∴△AOF与△COF均为等边三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四边形OACF为菱形．
【点睛】本题考查切线的性质；垂径定理．
22．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接，利用切线的性质与已知的直角，结合互余的性质可得答案，
（2）连接，结合（1）问的结论，利用直径所对的圆周角是直角，证明AE=CE，设，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）证明：连接，
是切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：连接．
，
，
是⊙O的直径，，
是⊙O的切线，
，
，
，
，
在中，，
设，在中，，
在中，，
，
解得，
．
【点睛】本题考查圆的基本性质，切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
23．16.9
【详解】试题分析：连接OA,交BC于D， ⊙O是的外接圆，所以OABC,且OA平分BC,则BD=12，所以可求得AD=5，所以在直角三角形BOD中根据勾股定理可得：BO2=BD2+OD2，OD=BO-5，所以可求得BO=16.
连接OA交BC于D点，连接BO
因为AB=AC，所以弧AB＝弧AC，
则OA垂直平分BC（垂径定理），BD= 12，
在直角三角形ABC中根据勾股定理AD＝5，
在直角三角形OBD中，设半径OB＝x，
则有：，解方程得：x＝16.9，
答：⊙O的半径为16.9.
24．（1）50 ；（2）见解析
【分析】（1）根据圆周角定理及三角形的外角，等腰三角形的知识进行角度的换算即可得；
（2）根据圆的内接四边形对角互补的性质进行角度计算即可证明．
【详解】解:(1)∵∠BAD=∠BFC，
∠BAD=∠BAC+∠CAD, ∠BFC=∠BAC+∠ABF,
∴∠CAD=∠ABF
又∵∠CAD=∠CBD,
∴∠ABF=∠CBD
∴∠ABD=∠FBC，
又
，
，
，
，
．
(2)令，则，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，即，
又∵，
∴，
∴
∴
∴，即．
【点睛】本题主要考查圆的性质与三角形性质综合问题，难度适中，解题的关键是能够灵活运用圆及三角形的性质进行角度的运算．
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