第三十章二次函数同步练习（含解析）
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第三十章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数a，使得
B．无论实数a取什么值，都有
C．可以找到一个实数a，使得
D．无论实数a取什么值，都有
2．下列抛物线不经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象的对称轴是（ ）
A． B． C．或 D．
4．若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
5．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣1≤t＜8 B．﹣1≤t＜3 C．t≥﹣1 D．3＜t＜8
6．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图是二次函数的图像如图所示，图像过点（-3，0），对称轴在-1和-2之间，给出四个结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
9．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．无法确定
10．方程实数根的情况是（ ）
A．仅有三个不同实根 B．仅有两个不同实根
C．仅有一个不同实根 D．无实根
11．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞8
12．二次函数y＝ (x－1)2＋7的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是( )
A．向上，直线x＝1，(1，7) B．向上，直线x＝－1，(－1，7)
C．向上，直线x＝1，(1，－7) D．向下，直线x＝－1，(－1，7)
二、填空题
13．若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为 ．
14．二次函数图像的顶点坐标是 ．
15．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
16．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
17．二次函数yax22ax c（ a 0）的图象过，，，四个点．
（1） y3= （用关于 a或 c的代数式表示）；
（2）若 0时，则 0．（填“＞”、“＜”或“＝”）
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．
（1）画出上述函数的图象；
（2）观察图象，指出铅球推出的距离．
20．如图，从m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB．
21．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元(x＞50)，每月销售这种篮球获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价应定为多少元？
22．在平面直角坐标系xOy中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线．
(1)求m的值；
(2)若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
23．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，且，，求h的值；
②若，求h的最大值．
24．已知二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣m2﹣m＋2（m是常数）．
(1)若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围：
(2)求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x＋2的图象上：
(3)P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是 ．
《第三十章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B A D A B A C
题号 11 12
答案 D A
1．C
【详解】解法一：∵二次函数的图象经过，两点，∴，．∵，∴，∴，∴恒小于a，故A，B错误；令，解得或，∴当时，，当或时，，∴C正确，D错误．
多解法
解法二：∵二次函数解析式为，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴直线为，顶点坐标为，当时，，∴，当时，，∴，故A，B错误，不符合题意；当时，，由二次函数对称性可知点和点关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当时，；当时，，由二次函数对称性可知点和点关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当时，不一定大于0，故C正确，符合题意；D错误，不符合题意．
2．C
【分析】代入原点坐标到抛物线解析式，等式成立即说明抛物线经过原点．
【详解】A选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意；
B选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意；
C选项，代入原点坐标，得，等式不成立，抛物线不经过原点，符合题意；
D选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查验证抛物线图象经过一定点，解题关键是代入点的坐标到抛物线解析式，等式成立说明抛物线经过此点．
3．B
【分析】根据二次函数的性质直接写出对称轴．
【详解】二次函数的图象的对称轴是直线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数，对称轴为，顶点坐标为（0，0）．
4．B
【详解】解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0，
∴函数有最大值，
∴最大值为，
故选B．
5．A
【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣2x与直线y＝t的交点，然后求出当﹣1＜x＜4时，-1≤y＜8，进而求解；
【详解】解：∵对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，
当时，，
当时，，
∴﹣1＜x＜4，二次函数y的取值为-1≤y＜8，
∴-1≤t＜8；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
6．D
【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不可能；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，抛物线与直线交y轴同一点，故本选项有可能．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解题的关键．
7．A
【分析】根据b2-4ac与零的关系即可判断出二次函数的图象与x轴交点的个数．
【详解】解：∵△=b2-4ac=（-2）2-4×1×2=-4＜0，
∴该二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴无交点．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．B
【分析】根据该函数图像的开口向下，可知该函数图像必与x轴有两个不同的交点，据此即可判定①；由对称轴在-1和-2之间，可得，据此即可判定②；当x=-1时，由图像在x轴的上方，即可判定③；由，，即可判定④．
【详解】解：①由图像可知：该函数图像的开口向下， ，
图像过点（-3，0），
该函数图像必与x轴有两个不同的交点，
，即，故①正确；
②对称轴在-1和-2之间，
，即 ，
，故②不正确；
③对称轴在-1和-2之间，图像与x轴的一个交点为（-3，0）
当x=-1时，，故③不正确；
④对称轴在-1和-2之间，
，
，
， ，
，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据二次函数的图像判定式子的符号，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
9．A
【分析】由图象判断x=2是对称轴，与x轴一个交点是（5，0），则另一个交点（﹣1，0），结合函数图象即可求解ax2+bx+c＜0．
【详解】由图象可知二次函数的对称轴是x=2，与x轴一个交点坐标（5，0），由函数的对称性可得：与x轴另一个交点是（﹣1，0），∴ax2+bx+c＜0的解集为x＞5或x＜﹣1．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式．能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点是，数形结合解不等式是解题的关键．
10．C
【分析】原方程有意义，则，把方程去分母、整理可得，，分解因式得，讨论其根的情况，即可解答．
【详解】解：原方程整理得，
，
，
方程，其，无解，
，
，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数的性质，主要应用了一元二次方程的根与判别式的关系．
11．D
【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可；
【详解】∵A（﹣2，4），B（8，2），
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的计算，准确计算是解题的关键．
12．A
【分析】根据y=a（x-h）2+k，a>0（a<0）,开口向上（下），其顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h．
【详解】∵y=a（x-h）2+k，a>0（a<0）,开口向上（下），其顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h
∴二次函数y＝ (x－1)2＋7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为向上、直线x＝1和(1，7).
故选:A.
【点睛】主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标等，解题关键是熟记y=a（x-h）2+k，a>0（a<0）,开口向上（下），其顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h.
13．﹣4
【分析】与x轴的交点的家横坐标就是求y=0时根，再根据求根公式或根与系数的关系，求出两根之和与两根之积．把要求的式子通分代入即可．
【详解】设y=0，则，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即，，∴，
∴ ，故答案为．
【点睛】根据求根公式可得，若，是方程的两个实数根，则
14．
【分析】由二次函数的交点式：可得对称轴为： 从而可得函数的顶点坐标．
【详解】解：由得：
图像与x轴的交点是（-2，0）（4，0），
对称轴是直线
当x=1时，，
所以：函数的顶点坐标为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的顶点坐标，掌握求解二次函数的顶点坐标是解题的关键．
15．-1＜x＜2
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点，
观察函数图象可知：当-1＜x＜2时，抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞mx+n的解集为-1＜x＜2，
即不等式ax2-mx+c＞n的解集是-1＜x＜2．
故答案为：-1＜x＜2．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
16．，
【分析】由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，根据对称性，可求，得解为或；
【详解】解：由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，则，解得
∴的解为或；
故答案为：，
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
17． c ＜
【分析】将x=2代入抛物线解析式可得y3=c，根据抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离可判断y1y40y2y3，进而求解．
【详解】解：（1）将x=2代入y=ax2-2ax+c得y=c，
∴y3=c，
（2）∵y=ax2-2ax+c（a0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，
∴与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，
∵1-（-3）＞4-1＞1-（-1）＞2-1，
∴y1y4y2y3，
若y4 y20，则y1y40y2y3，
∴y3 y10，
故答案为：c，．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
18．（1）y＝x﹣3，y＝x2﹣2x﹣3．（2）存在，点P
【分析】（1）设一次函数解析式为：y=mx+n，把B、C点坐标分别代入一次函数解析式和二次函数解析式即可解出．
（2）若四边形是菱形，和OC相互垂直，P点纵坐标是，代入二次函数表达式即可解得．
【详解】解：（1）设直线BC的解析式为：y＝mx+n，有：
，
解得：m＝1，n＝﹣3；
∴直线BC：y＝x﹣3．
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c中，得：
，
解得：b＝﹣2，c＝﹣3；
∴抛物线：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点P必在OC的垂直平分线上，则点P的纵坐标为﹣，代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得：
﹣＝x2﹣2x﹣3，
解得 x1＝ ，x2＝ （舍去）
∴点P
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数用待定系数法求表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题．
19．（1）见解析；（2）10m
【分析】（1）将所给二次函数写成顶点式，根据顶点坐标，以及图像与x轴的交点坐标，画出图像即可；
（2）令y＝0得：，解方程，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离．
【详解】（1）令y＝0得：=0，
解方程得，x1＝10，x2＝ 2（负值舍去），
∴抛物线与x轴交点坐标为（10，0），
∵=（x 4）2＋3，
∴顶点坐标为（4，3），
函数图像如下：
（2）由函数图像得：令y＝0得：=0，
解方程得，x1＝10，x2＝ 2（负值舍去），
∴该男生把铅球推出的水平距离是10 m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，可以用配方法写成顶点式再画函数图像；同时本题还考查了二次函数与一元二次方程的关系及解一元二次方程，本题属于中档题．
20．水流落地点B离墙距离OB为5米
【分析】由题意可知M（1，8），A（0，），且M为抛物线的顶点坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式，令y＝0即可求出OB的值；
【详解】解：令OB为x轴，OA为y轴，向上，向右为正方向，建立坐标系，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8，
代入A（0，）得a+8，
a＝﹣0.5，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
当y＝0时，0＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝5，
∴OB＝5米，
答：水流落地点B离墙距离OB为5米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用；掌握二次函数的顶点式及性质是解题关键．
21．(1) y＝－10x2＋1400x－40000，50＜x＜100；（2）60元.
【详解】试题分析：（1）根据利润问题的数量关系，利润＝售价－进价就可以得出每个篮球的利润，设销售这批篮球的利润为y元，根据销售问题的数量关系表示出y与x之间的函数关系式；
（2）令函数值y＝8000，求得合适的x的值即可．
试题解析：
解：（1）由题意，篮球售价定为x元，得每个篮球所获得的利润是(x－40)元，篮球每月的销售量是[500－10(x－50)]个，
设销售这批篮球的利润为y元，由题意，得：
y＝(x－40) [500－10(x－50)]
＝－10x2＋1400x－40000，
由500－10(x－50)＞0得x＜100，
又x＞50，
所以50＜x＜100；
（2）由题意可得：－10x2＋1400x－40000＝8000，
整理得：
x2－140x＋480＝0，
(x－60)(x－80)＝0，
解得x1＝60，x2＝80，
故售价为60或80元，
为吸引更多的顾客，所以售价应定为60元．
答：销售定价应定为60元．
点睛：本题考查了二次函数的应用，销售问题的数量关系的运用，利润＝售价－进价的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
22．(1)
(2)新的二次函数的最大值与最小值的和为11
【详解】（1）∵点在二次函数的图象上，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
∴对称轴为直线，
∴；
（2）∵点在的图象上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到的新二次函数为，
∵，
∴当时，函数有最小值，为1，
当时，函数有最大值，为，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11．
23．(1)；
(2)①；②最大值．
【详解】题干话外音
题干：抛物线的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
提取信息：．
题干：点在抛物线上，点在抛物线上．
提取信息：，．
题干：．提取信息：要求h的值只需求出t的值即可．
题干：．提取信息：可消去式子中的参数，使式子中只含t．
解：（1）∵抛物线的顶点横坐标为，的顶点横坐标为1，
∴，∴；
（2）∵点在抛物线上，∴，
∵在抛物线上，
∴，，
∴．
①∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴；
②将代入，
∴，
∵，∴当，即时，h取最大值
24．(1)m＜2
(2)证明见详解
(3)m≤0或m＝1
【分析】（1）考查函数图象与x轴的交点问题，直接求解即可：
（2）求出函数解析式的顶点坐标，然后代入一次函数解析式y＝﹣x＋2判断即可：
（3）根据二次函数图象的对称轴和顶点去判断增减性，得到m的取值范围．
【详解】（1）令y＝0，则﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝﹣m2﹣m+2，
∴b2﹣4ac＝（2m）2+4（﹣m2﹣m+2）＝﹣4m+8，
∵函数图象与x轴有两个不同的公共点，
∴方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即﹣4m+8＞0，
解得：m＜2，
∴m＜2时该函数图象与x轴有两个不同的公共点．
（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2﹣m+2，
得顶点坐标为（m，﹣m+2），
将x＝m代入y＝﹣x+2得：y＝﹣m+2，
∴不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上．
（3）由（2）可知抛物线的顶点为（m，﹣m+2），
当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
又∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴得出m≤1，
当x＞1时，y＜﹣m2+m+1．
要使y2＜y1＜1恒成立，
则﹣m2+m+1≤1，
∴m2﹣m≥0，
解得：m≥1或m≤0，
综上所述：m≤0或m＝1,
故答案为：m≤0或m＝1．
【点睛】本题考查了二次函数图象问题，二次函数与一元二次方程的关系，正确理解二次函数图象和一元二次方程的关系，数形结合思想的熟练应用是解题的关键．特别是根据二次函数最值与对称称来判断函数增减性是难点，也是易错点，必要的数形结合加以理解很重要．
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第三十章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数a，使得
B．无论实数a取什么值，都有
C．可以找到一个实数a，使得
D．无论实数a取什么值，都有
2．下列抛物线不经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象的对称轴是（ ）
A． B． C．或 D．
4．若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
5．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣1≤t＜8 B．﹣1≤t＜3 C．t≥﹣1 D．3＜t＜8
6．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图是二次函数的图像如图所示，图像过点（-3，0），对称轴在-1和-2之间，给出四个结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
9．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．无法确定
10．方程实数根的情况是（ ）
A．仅有三个不同实根 B．仅有两个不同实根
C．仅有一个不同实根 D．无实根
11．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞8
12．二次函数y＝ (x－1)2＋7的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是( )
A．向上，直线x＝1，(1，7) B．向上，直线x＝－1，(－1，7)
C．向上，直线x＝1，(1，－7) D．向下，直线x＝－1，(－1，7)
二、填空题
13．若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为 ．
14．二次函数图像的顶点坐标是 ．
15．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
16．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
17．二次函数yax22ax c（ a 0）的图象过，，，四个点．
（1） y3= （用关于 a或 c的代数式表示）；
（2）若 0时，则 0．（填“＞”、“＜”或“＝”）
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．
（1）画出上述函数的图象；
（2）观察图象，指出铅球推出的距离．
20．如图，从m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB．
21．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元(x＞50)，每月销售这种篮球获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价应定为多少元？
22．在平面直角坐标系xOy中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线．
(1)求m的值；
(2)若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
23．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，且，，求h的值；
②若，求h的最大值．
24．已知二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣m2﹣m＋2（m是常数）．
(1)若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围：
(2)求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x＋2的图象上：
(3)P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是 ．
《第三十章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B A D A B A C
题号 11 12
答案 D A
1．C
【详解】解法一：∵二次函数的图象经过，两点，∴，．∵，∴，∴，∴恒小于a，故A，B错误；令，解得或，∴当时，，当或时，，∴C正确，D错误．
多解法
解法二：∵二次函数解析式为，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴直线为，顶点坐标为，当时，，∴，当时，，∴，故A，B错误，不符合题意；当时，，由二次函数对称性可知点和点关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当时，；当时，，由二次函数对称性可知点和点关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当时，不一定大于0，故C正确，符合题意；D错误，不符合题意．
2．C
【分析】代入原点坐标到抛物线解析式，等式成立即说明抛物线经过原点．
【详解】A选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意；
B选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意；
C选项，代入原点坐标，得，等式不成立，抛物线不经过原点，符合题意；
D选项，代入原点坐标，等式依然成立，抛物线经过原点，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查验证抛物线图象经过一定点，解题关键是代入点的坐标到抛物线解析式，等式成立说明抛物线经过此点．
3．B
【分析】根据二次函数的性质直接写出对称轴．
【详解】二次函数的图象的对称轴是直线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数，对称轴为，顶点坐标为（0，0）．
4．B
【详解】解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0，
∴函数有最大值，
∴最大值为，
故选B．
5．A
【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣2x与直线y＝t的交点，然后求出当﹣1＜x＜4时，-1≤y＜8，进而求解；
【详解】解：∵对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，
当时，，
当时，，
∴﹣1＜x＜4，二次函数y的取值为-1≤y＜8，
∴-1≤t＜8；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
6．D
【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不可能；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，抛物线与直线交y轴同一点，故本选项有可能．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解题的关键．
7．A
【分析】根据b2-4ac与零的关系即可判断出二次函数的图象与x轴交点的个数．
【详解】解：∵△=b2-4ac=（-2）2-4×1×2=-4＜0，
∴该二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴无交点．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．B
【分析】根据该函数图像的开口向下，可知该函数图像必与x轴有两个不同的交点，据此即可判定①；由对称轴在-1和-2之间，可得，据此即可判定②；当x=-1时，由图像在x轴的上方，即可判定③；由，，即可判定④．
【详解】解：①由图像可知：该函数图像的开口向下， ，
图像过点（-3，0），
该函数图像必与x轴有两个不同的交点，
，即，故①正确；
②对称轴在-1和-2之间，
，即 ，
，故②不正确；
③对称轴在-1和-2之间，图像与x轴的一个交点为（-3，0）
当x=-1时，，故③不正确；
④对称轴在-1和-2之间，
，
，
， ，
，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据二次函数的图像判定式子的符号，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
9．A
【分析】由图象判断x=2是对称轴，与x轴一个交点是（5，0），则另一个交点（﹣1，0），结合函数图象即可求解ax2+bx+c＜0．
【详解】由图象可知二次函数的对称轴是x=2，与x轴一个交点坐标（5，0），由函数的对称性可得：与x轴另一个交点是（﹣1，0），∴ax2+bx+c＜0的解集为x＞5或x＜﹣1．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式．能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点是，数形结合解不等式是解题的关键．
10．C
【分析】原方程有意义，则，把方程去分母、整理可得，，分解因式得，讨论其根的情况，即可解答．
【详解】解：原方程整理得，
，
，
方程，其，无解，
，
，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数的性质，主要应用了一元二次方程的根与判别式的关系．
11．D
【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可；
【详解】∵A（﹣2，4），B（8，2），
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的计算，准确计算是解题的关键．
12．A
【分析】根据y=a（x-h）2+k，a>0（a<0）,开口向上（下），其顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h．
【详解】∵y=a（x-h）2+k，a>0（a<0）,开口向上（下），其顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h
∴二次函数y＝ (x－1)2＋7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为向上、直线x＝1和(1，7).
故选:A.
【点睛】主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标等，解题关键是熟记y=a（x-h）2+k，a>0（a<0）,开口向上（下），其顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h.
13．﹣4
【分析】与x轴的交点的家横坐标就是求y=0时根，再根据求根公式或根与系数的关系，求出两根之和与两根之积．把要求的式子通分代入即可．
【详解】设y=0，则，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即，，∴，
∴ ，故答案为．
【点睛】根据求根公式可得，若，是方程的两个实数根，则
14．
【分析】由二次函数的交点式：可得对称轴为： 从而可得函数的顶点坐标．
【详解】解：由得：
图像与x轴的交点是（-2，0）（4，0），
对称轴是直线
当x=1时，，
所以：函数的顶点坐标为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的顶点坐标，掌握求解二次函数的顶点坐标是解题的关键．
15．-1＜x＜2
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A（-1，p），B（2，q）两点，
观察函数图象可知：当-1＜x＜2时，抛物线y=ax2+c在直线y=mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞mx+n的解集为-1＜x＜2，
即不等式ax2-mx+c＞n的解集是-1＜x＜2．
故答案为：-1＜x＜2．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
16．，
【分析】由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，根据对称性，可求，得解为或；
【详解】解：由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，则，解得
∴的解为或；
故答案为：，
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
17． c ＜
【分析】将x=2代入抛物线解析式可得y3=c，根据抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离可判断y1y40y2y3，进而求解．
【详解】解：（1）将x=2代入y=ax2-2ax+c得y=c，
∴y3=c，
（2）∵y=ax2-2ax+c（a0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，
∴与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，
∵1-（-3）＞4-1＞1-（-1）＞2-1，
∴y1y4y2y3，
若y4 y20，则y1y40y2y3，
∴y3 y10，
故答案为：c，．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
18．（1）y＝x﹣3，y＝x2﹣2x﹣3．（2）存在，点P
【分析】（1）设一次函数解析式为：y=mx+n，把B、C点坐标分别代入一次函数解析式和二次函数解析式即可解出．
（2）若四边形是菱形，和OC相互垂直，P点纵坐标是，代入二次函数表达式即可解得．
【详解】解：（1）设直线BC的解析式为：y＝mx+n，有：
，
解得：m＝1，n＝﹣3；
∴直线BC：y＝x﹣3．
将点B、C的坐标代入y＝x2+bx+c中，得：
，
解得：b＝﹣2，c＝﹣3；
∴抛物线：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点P必在OC的垂直平分线上，则点P的纵坐标为﹣，代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得：
﹣＝x2﹣2x﹣3，
解得 x1＝ ，x2＝ （舍去）
∴点P
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数用待定系数法求表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题．
19．（1）见解析；（2）10m
【分析】（1）将所给二次函数写成顶点式，根据顶点坐标，以及图像与x轴的交点坐标，画出图像即可；
（2）令y＝0得：，解方程，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离．
【详解】（1）令y＝0得：=0，
解方程得，x1＝10，x2＝ 2（负值舍去），
∴抛物线与x轴交点坐标为（10，0），
∵=（x 4）2＋3，
∴顶点坐标为（4，3），
函数图像如下：
（2）由函数图像得：令y＝0得：=0，
解方程得，x1＝10，x2＝ 2（负值舍去），
∴该男生把铅球推出的水平距离是10 m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，可以用配方法写成顶点式再画函数图像；同时本题还考查了二次函数与一元二次方程的关系及解一元二次方程，本题属于中档题．
20．水流落地点B离墙距离OB为5米
【分析】由题意可知M（1，8），A（0，），且M为抛物线的顶点坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式，令y＝0即可求出OB的值；
【详解】解：令OB为x轴，OA为y轴，向上，向右为正方向，建立坐标系，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8，
代入A（0，）得a+8，
a＝﹣0.5，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
当y＝0时，0＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝5，
∴OB＝5米，
答：水流落地点B离墙距离OB为5米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用；掌握二次函数的顶点式及性质是解题关键．
21．(1) y＝－10x2＋1400x－40000，50＜x＜100；（2）60元.
【详解】试题分析：（1）根据利润问题的数量关系，利润＝售价－进价就可以得出每个篮球的利润，设销售这批篮球的利润为y元，根据销售问题的数量关系表示出y与x之间的函数关系式；
（2）令函数值y＝8000，求得合适的x的值即可．
试题解析：
解：（1）由题意，篮球售价定为x元，得每个篮球所获得的利润是(x－40)元，篮球每月的销售量是[500－10(x－50)]个，
设销售这批篮球的利润为y元，由题意，得：
y＝(x－40) [500－10(x－50)]
＝－10x2＋1400x－40000，
由500－10(x－50)＞0得x＜100，
又x＞50，
所以50＜x＜100；
（2）由题意可得：－10x2＋1400x－40000＝8000，
整理得：
x2－140x＋480＝0，
(x－60)(x－80)＝0，
解得x1＝60，x2＝80，
故售价为60或80元，
为吸引更多的顾客，所以售价应定为60元．
答：销售定价应定为60元．
点睛：本题考查了二次函数的应用，销售问题的数量关系的运用，利润＝售价－进价的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
22．(1)
(2)新的二次函数的最大值与最小值的和为11
【详解】（1）∵点在二次函数的图象上，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
∴对称轴为直线，
∴；
（2）∵点在的图象上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到的新二次函数为，
∵，
∴当时，函数有最小值，为1，
当时，函数有最大值，为，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11．
23．(1)；
(2)①；②最大值．
【详解】题干话外音
题干：抛物线的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
提取信息：．
题干：点在抛物线上，点在抛物线上．
提取信息：，．
题干：．提取信息：要求h的值只需求出t的值即可．
题干：．提取信息：可消去式子中的参数，使式子中只含t．
解：（1）∵抛物线的顶点横坐标为，的顶点横坐标为1，
∴，∴；
（2）∵点在抛物线上，∴，
∵在抛物线上，
∴，，
∴．
①∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴；
②将代入，
∴，
∵，∴当，即时，h取最大值
24．(1)m＜2
(2)证明见详解
(3)m≤0或m＝1
【分析】（1）考查函数图象与x轴的交点问题，直接求解即可：
（2）求出函数解析式的顶点坐标，然后代入一次函数解析式y＝﹣x＋2判断即可：
（3）根据二次函数图象的对称轴和顶点去判断增减性，得到m的取值范围．
【详解】（1）令y＝0，则﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝﹣m2﹣m+2，
∴b2﹣4ac＝（2m）2+4（﹣m2﹣m+2）＝﹣4m+8，
∵函数图象与x轴有两个不同的公共点，
∴方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即﹣4m+8＞0，
解得：m＜2，
∴m＜2时该函数图象与x轴有两个不同的公共点．
（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2﹣m+2，
得顶点坐标为（m，﹣m+2），
将x＝m代入y＝﹣x+2得：y＝﹣m+2，
∴不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上．
（3）由（2）可知抛物线的顶点为（m，﹣m+2），
当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
又∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴得出m≤1，
当x＞1时，y＜﹣m2+m+1．
要使y2＜y1＜1恒成立，
则﹣m2+m+1≤1，
∴m2﹣m≥0，
解得：m≥1或m≤0，
综上所述：m≤0或m＝1,
故答案为：m≤0或m＝1．
【点睛】本题考查了二次函数图象问题，二次函数与一元二次方程的关系，正确理解二次函数图象和一元二次方程的关系，数形结合思想的熟练应用是解题的关键．特别是根据二次函数最值与对称称来判断函数增减性是难点，也是易错点，必要的数形结合加以理解很重要．
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