29.1点与圆的位置关系同步练习（含解析）

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29.1点与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，．小丽按照下列方法作图：
①作的角平分线，交于点D；
②作的垂直平分线，交于点E．
根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（ ）
A．点E是的外心 B．点E是的内心
C．点E在的平分线上 D．点E到边的距离相等
2．若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5
3．若⊙O所在的平面内上有一点P，它到⊙O上的点的最大距离是6，最小距离是2，则这个圆的半径为( )
A．2 B．4 C．2或4 D．不能确定
4．已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，PA=，那么点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
5．线段AB = 7 cm，则在以AB为直径的圆上，AB的距离等于3.5 cm的点共有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知⊙O的直径为6cm，且点P在⊙O内，则线段PO的长度（范围）（ ）
A．小于6cm B．6cm C．3cm D．小于3cm
7．已知⊙O的半径是一元二次方程的一个根，点A与圆心O的距离为6，则下列说法正确在是（　　）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．无法判断
8．矩形ABCD中，AB＝10，，点P在边AB上，且BP:AP=4:1，如果⊙P是以点P 为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（ ）
A．点B、C均在⊙P外 B．点B在⊙P外，点C在⊙P内
C．点B在⊙P内，点C在⊙P外 D．点B、C均在⊙P内
9．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
10．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
11．以边长为1的正方形的顶点A为圆心，以为半径作，则点C关于的位置关系是（ ）
A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．不能确定
12．已知⊙O的半径为5厘米，厘米时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．不能确定
二、填空题
13．已知⊙O的直径为10cm，线段OP=5cm，则点P与⊙O的位置关系是 ．
14．在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是 ．
15．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，－），则A，B，C三点与⊙O的位置关系分别为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
17．⊙O直径为8cm，有M、N、P三点，OM=4cm，ON=8cm，OP=2cm，则M点在 ，N点在圆 ，P点在圆 ．
三、解答题
18．如图，点在以坐标原点为圆心、为半径的圆上，若，都是整数，请探究这样的点一共有多少个？写出这些点的坐标．
19．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，求线段OM的最小值．
20．如图，已知过点P的直线AB交⊙O于A，B两点，PO与⊙O交于点C，且PA＝AB＝6cm，PO＝12cm.
求⊙O的半径；
21．对于平面内点P和⊙G，给出如下定义：T是⊙G上任意一点，点P绕点T旋转180°后得到点P＇，则称点P＇为点P关于⊙G的旋转点．下图为点P及其关于⊙G的旋转点P＇的示意图．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P（0，－2）．

（1）在点A（－1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于⊙O的旋转点的是 ；
（2）若在直线上存在点P关于⊙O的旋转点，求的取值范围；
（3）若点D在⊙O上，⊙D的半径为1，点P关于⊙D的旋转点为点P＇，请直接写出点P＇的横坐标P＇的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，如图所示，，．点P从点O出发在线段上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出发在线段上以每秒2个单位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接．
（1）如图1，连接交于点D，则点D的坐标为________；
（2）如图2，过A作于点H，求的最小值；
（3）如图3，在上取一点M，使得，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．
23．⊙O的半径r＝10cm，圆心O到直线l的距离OD＝6cm，在直线l上有A、B、C三点，且AD＝6cm，BD＝8cm，CD＝5cm，问：A、B、C三点与⊙O的位置关系各是怎样？
24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
（1）按下列要求画图；
①将沿轴向左平移个单位长度，得到，请画出；
②将绕点逆时针旋转，得到，请画出．
（2）是 三角形，其外接圆的半径 ．
《29.1点与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D B D A A B D
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】根据等腰三角形“三线合一”，可得是底边BC的垂直平分线，进而即可得到答案．
【详解】∵在中，，
∴的角平分线也是底边BC的垂直平分线，
∵的垂直平分线，交于点E，
∴点E是的外心，
故选A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的外心的定义，掌握“三角形各边上的垂直平分线的交点是三角形的外心”是解题的关键．
2．C
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外，
∴OA小于r，OB大于r，
∵OA＝3，OB＝5，
∴3＜r＜5．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
3．C
【详解】（1）当点P在圆外时，则这个圆的半径是：(6﹣2)÷2=2；
（2）当点P在圆内时，则这个圆的半径是：(6+2)÷2=4．
故选C．
点睛：设点P到⊙O上的点的最大距离为，最小距离为，⊙O的半径为，则：（1）当点P在⊙O内时，；（2）当点P在⊙O外时，.
4．D
【详解】∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的直径为2，
∵PA=，且点A在⊙O上，
∴点P的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．
故选D．
5．B
【分析】根据直径和半径的关系即可判断.
【详解】在以AB为直径的圆上，AB = 7 cm，
∴半径=3.5，
∴到A点的距离等于3.5 cm的点有两个，为过圆心且垂直于AB的直线与圆的交点.
【点睛】此题主要考查直径与半径的定义，解题的关键是熟知半径等于直径的一半.
6．D
【详解】点P在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，同心圆时圆心距为0，因而线段OP的长度的取值范围0≤OP＜3．
故答案为D．
7．A
【分析】先求方程的根，可得r的值，由点与圆的位置关系的判断方法可求解．
【详解】解：∵，
∴＝﹣1，＝4，
∵⊙O的半径为一元二次方程的根，
∴r＝4，
∵6＞4，
∴点A在⊙O外，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d与圆半径大小关系完成判定．
8．A
【分析】根据BP=4AP和AB的长度求得AP的长度，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长；根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可
【详解】根据题意画出示意图，连接PC，PD，如图所示
∵AB=10,点P在边AB上，BP:AP=4:1
∴AP=2 , BP=8
又∵AD=
∴圆的半径PD=
PC=
∵PB=8>6, PC=>6
∴点B、C均在⊙P外
故答案为：A
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的判定，根据点和圆心之间的距离和半径的大小关系作出判断即可
9．B
【详解】试题分析：A．OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心；
B．OA=OC≠OF，所以点不是△ACF的外接圆圆心；
C．OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心；
D．OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心；
故选B
考点：三角形外心
10．D
【分析】根据题意知点P的运动轨迹是以点M为圆心，半径的圆弧，当点P在BC上时，PC有最小值，据此可求解.
【详解】如图，
∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵∠APB=30°，
∴点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧；
易得圆心坐标为， ，
.
故选
【点睛】本题考查了线段最短问题，确定点P的位置是解本题的难点．
11．B
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】
如图所示，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC==，
∵圆A的半径为，
∴点C在A上．
故选B．
【点睛】本题主要考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的3种位置关系是解答此题的关键．
12．A
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，小于半径则在圆内，等于半径则在圆上，大于半径则在圆外．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，，
即A与点O的距离小于圆的半径，
所以点A与⊙O内．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
13．点P在⊙O上
【分析】知道圆O的直径为10cm，OP的长，得到OP的长与半径的关系，求出点P与圆的位置关系．
【详解】因为圆O的直径为10cm，所以圆O的半径为5cm，又知OP=5cm，所以OP等于圆的半径，所以点P在⊙O上．
故答案为点P在⊙O上．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据OP的长和圆O的直径，可知OP的长与圆的半径相等，可以确定点P的位置．
14．13或19
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可．
【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解；
当点在内，如图1，
∴，，
∴，
∴最大距离是13；
当点在外，如图2，
∴，，
∴，
∴最大距离是19；
综上所述，的半径是13或19；
故答案为：13或19．
15．点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外
【详解】∵OA==5，
OB=<5，
OC=>5，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外．
16．.
【详解】试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.
考点：勾股定理；点和圆的位置关系.
17． ⊙O上 外 内
【分析】根据点与圆的位置关系直接可以得到答案.
【详解】⊙O直径为8cm， OM=4cm，则M在圆上；ON=8cm，则N在圆外；OP=2cm，则P在圆内.
故答案为 (1). ⊙O上 (2). 外 (3). 内
【点睛】此题重点考查学生对点与圆的位置关系的认识，把握点与圆的位置关系是解题的关键.
18．这样的点有个，，，，，，，，，，，，
【分析】先为两种情况：①若这个点在坐标轴上，那么有四个；②若这个点在象限内，由，可知在每个象限有两个，总共个，即可得出答案．
【详解】解：分为两种情况：
①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是，，，；
②若这个点在象限内，
∵，而都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是，，，，，，，，
∴这些点的坐标共有个．
【点睛】主要考查坐标与图形性质；勾股定理；圆的认识，掌握勾股定理，圆的性质是解题的关键．
19．1
【详解】分析：取OP的中点N，连结MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MN=OQ=1，则点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1．
本题解析：设OP与O交于点N，连结MN，OQ，如图，
∵OP=4，ON=2，
∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN=OQ=×2=1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1.
点睛：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以定该点与圆的位置关系．
20．⊙O的半径为6cm.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，易得到PD=9cm，再利用勾股定理解题即可
【详解】如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则BD＝AD＝3 cm，
∴PD＝PA＋AD＝6＋3＝9(cm)，
在Rt△POD中，OD＝cm
在Rt△OBD中，OB＝cm
∴⊙O的半径为6cm.
【点睛】考查圆内中勾股定理的运用，能够做出垂线是解题关键
21．（1）点B，点C；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意结合图即可得出旋转点；
（2）使直线分别与圆相切时，求出的取值范围；
（3）考虑全两种情况即可得出取值范围．
【详解】（1）点B，点C；
（2）由题意可知，点P关于⊙O的旋转点形成的图形为以点G（0，2）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙G．
当直线与⊙G相切时：
如图1，求得：，
如图2，求得：．
因为直线上存在点P关于⊙O的旋转点，所以，．
（3） 当⊙D的圆心在（-1，0）（1，0）时， 取最小和最大值，
P＇的横坐标P＇的取值范围．
【点睛】此题考查了圆与一次函数图像的知识，解题的关键是能够灵活运用直线与圆相切的特点，进而求解．
22．（1）；（2）；（3）存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1
【分析】（1）有P，Q的运动速度，设时间为t，表示出Q，P的坐标，再求出直线PQ的解析式，直线OB的解析式，联立即可求出点D的坐标；
（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，连接OM，先说明点H在上运动，再由图形得出，三点共线时，OH取得最小值，用勾股定理，即可得出答案；
（3）连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，说明点M在上，连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于于点，可得出即，再求出直线的解析式，求出与x轴的交点即为OP的长．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，
∵，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点P从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点B出发以每秒2个单位的速度向点C运动，
∴设时间为m，则，
∴，
设直线PQ的解析式为，
代入解得，
设直线OB的解析式为，
代入点B的坐标，求得，
联立 ，
解得，
故点D的坐标为 ，
故答案为；
（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，点D（3,2），
连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，
∵点D（3,2），点，
∴点M的坐标为，，
∴，
∵，
∴点H在上运动，
连接HM，
由图可知，
，
当三点共线时，取得最小值，
即，
故OH的最小值为；
（3）存在，理由如下，
连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，则在圆上，与轴相切，
∵，
∴点M在上，
∵与轴相切，在上，
∴
连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于于点，
∴
∴
∴，
连接交x轴于点,交于BC与点，
设直线的解析式为,
代入点，，
解得直线的解析式为，
∴当时，,
∴存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1．
【点睛】本题考查菱形的性质，一次函数问题，构造三角形求线段最小值，圆的知识，三角形三边关系，坐标与图形，解题关键是熟练掌握相关知识点，能够构造圆进行求解．
23．点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O 外．
【分析】分别求出、、三点到点的距离，然后与圆的半径即可求得三点与圆的位置关系.
【详解】∵OA＝＝＝ (cm)＜r＝10 cm，
OB＝＝＝10(cm)＝r，
OC＝＝＝ (cm)＞r＝10 cm，
∴点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O 外．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是求得点与圆心的距离.
24．（1）①如图即为所画，见解析；②如图即为所画，见解析；（2）直角，．
【分析】（1）①根据平面直角坐标系中图形平移规律向左平移2个单位长度，即A、B、C三点的横坐标均减2，得到的新坐标点，并把其首尾相连即可得到平移后；
②根据图形旋转的特点，逆时针旋转90°，旋转后的图形与原来图全等，且对应边相互垂直，依据此作图即可；
（2）连接，得到三角形，在网格中，利用勾股定理逆定理，可证明为等腰直角三角形；本等腰直角三角形外接圆的直径是该三角形的斜边，则半径为斜边的一半，即可求出其外接圆的半径．
【详解】（1）①向左平移2个单位后，可得，然后在坐标系中描点、连线，如图即为所画.
②如图即为所画.
解：∵，
，
∴，
∴为等腰三角形
又∵
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∵等腰直角三角形外接圆的直径是该三角形的斜边，则半径为斜边的一半，
∴
即外接圆的半径．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的图形平移与旋转，勾股定理逆定理以及三角形外接圆的有关知识，解答关键是利用数形结合思想解决问题．
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