29.4切线长定理同步练习（含解析）
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29.4切线长定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，∠A＝70°，若O分别为△ABC的外心和内心，则∠BOC分别为（ ）
A．140°，125° B．130° 115° C．120° 135° D．110° 105°
2．如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
3．如图，在中，，，，D是内一动点，为的外接圆，交直线BD于点P，交边BC于点E，若，则AD的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（ ）
A．32° B．48° C．60° D．66°
5．如图，∠ACB＝60○，半径为1的⊙O切BC于点C，若将⊙O在直线CB上沿某一方向滚动，当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）
A． B． C．π 或 D．或
6．如图，已知点为勾股形（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中为直角，点、、分别在边、、上，，若，，则正方形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．16
7．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）．
A．1：5
B．2：5
C．3：5
D．4：5
9．如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
11．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为，直线AB为⊙O的切线，B为切点，则B点的坐标为【 】
A． B． C． D．
12．已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（ ）
A．32 B．34 C．27 D．28
二、填空题
13．边长为1的正三角形的内切圆半径为
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝ ．
15．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．
16．如图，在半径为r的圆内作一个内接正三角形，然后作这个正三角形的一个内切圆，那么这个内切圆的半径是 ．
17．把光盘、含 60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是 ．
三、解答题
18．有一批圆心角为90°，半径为1的扇形状下脚料，现利用这批材料截取尽可能大的正方形材料，如图有两种截取方法：方法1，如图（1）所示，正方形OPQR的顶点P、Q、R均在扇形边界上；方法2，如图（2）所示，正方形顶点C、D、E、F均在扇形边界上．图（1）、图（2）均为轴对称图形．试分别求这两种截取方法得到的正方形面积．并说明哪种截取方法得到的正方形面积更大？
19．如图,在半径为2的⊙O中,点Q为优弧MN的中点,圆心角∠MON=60°,在弧QN上有一动点P,且点P到弦MN所在直线的距离为x.
(1)求弦MN的长;
(2)试求阴影部分面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)试分析比较,阴影部分面积y与的大小关系.
20．菱形各边的中点是否在同一个圆上？为什么？
21．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
22．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
(1)求AB的长；
(2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
23．如图，在中，以为直径作，交于点，交于点，且，过点作的切线交于点，过点作的垂线，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆．三角形的内心是否都在三角形内部？
《29.4切线长定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D D B C B D B
题号 11 12
答案 D D
1．A
【分析】当点O是三角形的外心．根据圆周角定理，可得；当点O是三角形的内心，根据BO、CO平分∠ABC、∠ACB，可得答案.
【详解】当点O是三角形的外心．
根据圆周角定理，得
∠BOC＝2∠A＝140°；
当点O是三角形的内心，
∴BO、CO平分∠ABC、∠ACB，
∴∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）
＝180°－（∠ABC＋∠ACB）
＝180°－（180°－∠A）
＝90°＋∠A＝125°，
故答案为A．
【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握三角形的内心和外心是解题的关键.
2．C
【分析】过A作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值；
【详解】解：过A作关于直线的对称点，连接，，
∵关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
过O作于Q，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆的性质、特殊三角函数，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键.
3．C
【分析】由，可推出，即可求出，即说明点D在以BC为弦，的圆弧上运动，设其圆心为点G，连接AG、DG．根据图形易证为等边三角形，从而得出，又可间接证明，即可利用勾股定理求出AG的长，最后利用三角形两边之差小于第三边即可求出答案．
【详解】∵，
∴，即．
∴．
即说明点D在以BC为弦，的圆弧上运动，设其圆心为点G，连接AG、DG．
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
∴在中，．
∵，即．
∴当点A、D、G三点共线时AD最小，最小值为．
故选C．
【点睛】本题为圆的综合题．考查圆周角定理，圆的外接三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理以及三角形三边关系等知识．根据题意判断出点D在以BC为弦，的圆弧上运动，并作出辅助线是解答本题的关键．
4．D
【分析】根据切线长定理可知CA=CD，求出∠CAD，再证明∠DBA=∠CAD即可解决问题．
【详解】解：∵CA、CD是⊙O的切线，
∴CA=CD，
∵∠ACD=48°，
∴∠CAD=∠CDA=66°，
∵CA⊥AB，AB是直径，
∴∠ADB=∠CAB=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠DBA=∠CAD=66°，
故选D．
【点睛】本题考查切线长定理和切线的性质、等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．D
【分析】当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，然后根据锐角三角函数的知识求解；同理求出另一种情况的值．
【详解】解：如图1，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，
连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，
∴OW=CF，WF=1，
∵∠ACB＝60○，
∴∠WCF=∠ACB=30°，
所以点O移动的距离为OW=CF===．
如图2，当圆O滚动到圆O′位置与CA，CB相切，切点分别为F，E，
连接OO′，O′E，O′C，O′F，OC，则四边形OCEO′是矩形，
∴OO′=CE，
∵∠ACB＝60○，
∴∠ACE＝120○，
∴∠O′CE=60°，
∴点O移动的距离为OO′=CE===，·
故选：D．
【点睛】此题考查了切线的性质与切线长定理，矩形的判定与性质，以及三角函数等知识．解此题的关键是根据题意作出图形，注意数形结合思想的应用．
6．B
【分析】先根据已知条件证明和全等，和全等，然后设正方形的边长为，在中，利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可．
【详解】，∠ABO=∠CBO，
是和的公共边，
，
同理可得，，
，，
由题意得，四边形为正方形，
设，
，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
正方形的面积是4，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、一元二次方程的解法、勾股定理、三角形的内心等知识，熟练掌握正方形的性质，根据勾股定理列出方程式是解答本题的关键．
7．C
【分析】根据切线长定理和圆的性质分别找出相等角即可.
【详解】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∴∠PBA=∠PAB，∠OAP=90°，
∴∠PAB+∠BAC=90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∴∠PAB=∠C；
∵OP⊥AB，
∴∠BAC+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠PAB．
故选C．
【点睛】此题重点考查学生对切线长定理的应用能力，熟练掌握切线长定理是解题的关键.
8．B
【详解】∵，
∴边长分别为：3、4、5的三角形是直角三角形，
∴其外接圆的半径为斜边的一半，即外接圆的半径为：2.5.
设其内接圆的半径为r，则，解得r=1.
∴这个三角形的内切圆和外接圆的半径之比为：1:2.5=2:5.
故选B.
点睛：若直角三角形的两直角边分别为：a、b，斜边为c，则：（1）这个三角形的内切圆半径为： 或；（2）这个三角形的外接圆半径为：.
9．D
【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，
根据切线长定理得：，，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
10．B
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD=CF=1，根据切线长定理得出AD=AE，BE=BF，CF=CD，求出AD+BF=AE+BE=AB=6，即可求出答案．
【详解】解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD=CF=1，
由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB=6=AE+BE=BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．
11．D
【详解】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵⊙O的半径为2，点A的坐标为，即OC=2.
∴AC是圆的切线.
∵OA=4，OC=2，
∴∠AOC=60°.
又∵直线AB为⊙O的切线，
∴∠AOB=∠AOC=60°.
∴∠BOD=180°－∠AOB-∠AOC=60°.
又∵OB=2，∴OD=1，BD=，即B点的坐标为.故选D.
12．D
【分析】如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．设AB=a，BC=b，则有2=，推出a+b=16，所以a2+2ab+b2＝256，因为a2+b2＝122＝144，推出2ab=112，推出ab=28，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．
设AB＝a，BC＝b，则有2＝，
∴a+b＝16，
∴a2+2ab+b2＝256，
∵a2+b2＝122＝144，
∴2ab＝112，
∴ab＝28．
∴△ABC的面积为28．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、外接圆与外心等知识，解题的关键是记住直角三角形的内切圆半径r=，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
13．
【详解】如图，
∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，
则∠OBD=30°，BD=,
∴tan∠OBD==，
∴内切圆半径OD== ,
故答案为．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形是解决本题的关键．
14．50°
【分析】根据切线长定理得到∠BPO＝∠APO，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了切线长定理，熟知切线长定理的性质是解题的关键．
15．/104度
【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：
∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形内切圆的定义，解题的关键是根据内切圆得到，．
16．
【分析】△ABC为大⊙O的内接正三角形，小⊙O为△ABC的内切圆，与BC切于D，且OB=r，根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，根据内圆的性质以及内心的性质得到∠OBD=∠ABC=30°，OD⊥BC，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到OD=OB=r．
【详解】如图，△ABC为大⊙O的内接正三角形，小⊙O为△ABC的内切圆，与BC切于D，且OB=r，
∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC=60°，
∵小⊙O为△ABC的内切圆，与BC切于D，
∴∠OBD=∠ABC=30°，OD⊥BC，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°，OB=r，
∴OD=OB=r．
故答案为r．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，三角形内心到三角形三边的距离相等．也考查了正三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
17．
【分析】如图作辅助线，根据切线长定理可知，AB＝BC，BO平分∠ABC，求出∠ABO＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理计算即可
【详解】解：如图，设三角板和光盘的切点为C，圆心为O，连接OA，OB，
由切线长定理可知，AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC＝60°，
∴OB＝2AB＝4，
∴OA＝，
∴光盘的直径是，
故答案为：
【点睛】本题考查了切线长定理，含30度直角三角形的性质以及勾股定理，求出∠ABO＝60°是解题的关键．
18．第一种方法截取的正方形的面积最大
【分析】根据题意画出图形，分别连接PQ和过O作OG⊥DE，交CF于点H，连接OF，构造直角三角形求得正方形的边长，求得正方形的面积后比较即可．由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：如图1所示：
连接OQ，设正方形OPQR的边长为x，
则在Rt△OPQ中，
OQ2=OP2+PQ2，即12=x2+x2，
解得x=，
∴S四边形OPQR=；
如图2所示，
过O作OG⊥EF，交CD于点H，连接OF，
设FG=x，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，
∴FG=CH=x，
∵∠DOC=90°，H为CD中点，
∴CH=OH，
∴OG=OH+HG=HC+CF=x+2x=3x，
在Rt△OFG中，
OF2=GF2+OG2，即12=x2+（3x）2，
解得x=，
∴CF=2x=．
∴S四边形CDEF=，
∵＞，
∴第一种方法截取的正方形的面积最大．
【点睛】本题考查了是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再进行解答．
19．（1）MN＝2；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得出△OMN是等边三角形，即OM=ON=MN=2,（2）根据三角形的面积公式，即可列出y，x的函数关系式,
（3）根据等底等高的三角形的面积相等，可以过点O作OP′∥MN，以此线段为分界线进行分情况讨论．
【详解】(1) ∵OM=ON,∠MON=60°,∴△MON是等边三角形,∴MN=OM=ON=2.
(2) 作OH⊥MN于H点,∴.在Rt△OHN中, ,
∴.,
∴,即.
(3) 令,即,∴.当时,;
当时,;当时,.
【点睛】本题主要考查了圆的综合题,解题时,利用了勾股定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及扇形面积的计算,解决本题的关键是要熟练利用相关几何定理和性质.
20．在同一个圆上（提示：证这四个中点到菱形对角线交点的距离相等）.
【分析】如图，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，又因为菱形的边长都相等，所以EO=HO=GO=FO,即可知这四个点在同一个圆上.
【详解】根据题意作图，在菱形ABCD中，E,H,G,F分别是AB、AD、CD、BC的中点，
∵AC⊥BD，
∴在Rt△ABO中，EO=AB，
同理知HO=AD, GO=CD, FO=BC,
又∵AB=AD=CD=BC,
∴EO=HO=GO=FO,
∴菱形各边的中点是否在同一个圆上.
【点睛】此题主要考查点与圆的位置，解题的关键是根据题意作出图形，再进行求解.
21．(1)证明见解析；
(2)6．
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义，得到，再利用半径相等，得到，进而得到，推出，又因为，得到，即可证明结论；
（2）过点O作，证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理得到，最后利用垂径定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点E在上，
是的切线；
（2）解：过点O作于点M，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，圆的切线性质和判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出的度数，进而根据特殊的锐角三角函数值求得AD的长，最后由垂径定理可得AB的长．
（2）由于点B在圆上，可根据“连半径，证垂直”可证得PB是⊙O的切线．
【详解】（1）
解：如图所示，连接OA、OB，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
由OP⊥AB于D，则，
又∵OP⊥AB
∴，
（2）证明：由（1）知∠BOC=60°，从而∠OBC=∠OCB=60°，
C是OP的中点，CP=CO=CB，从而．
∴∠OBP=90°（OB⊥BP），
∴PB是⊙О的切线．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，其中熟知圆的垂径定理以及圆的切线常用证明方法是解决本题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据切线，得到；连接OD，通过证OD是的中位线，证，进而得到，即可证明；
（2）连接DE，分别证AC= AB=2OB，CD=DE，得到CF=BG，CF=EF，再利用，即可求解．
【详解】（1）证明：∵过点作的切线交于点，
∴，
连接OD，
∵，OA=OB，
∴OD是的中位线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设圆与AC相交于点E，连接DE，
由（1）可知，，
∴，
∵OD=OB，
∴，
∴，
∴AC= AB=2OB，
∵在和中，
，
∴，
∴CF=BG，
又∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴CD=DE，
又∵，
∴CF=EF，
∴，
即．
【点睛】本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．
24．作图见解析；三角形的内心都在三角形的内部
【分析】分别作三角形的角平分线，以角平分线的交点为圆心，交点到三角形的边的距离为半径作圆即可，由图可知三角形的内心都在三角形的内部．
【详解】如图所示，
由图可知三角形的内心都在三角形的内部．
【点睛】本题考查了三角形的内心，作角平分线，作垂线，理解三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题的关键．
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29.4切线长定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，∠A＝70°，若O分别为△ABC的外心和内心，则∠BOC分别为（ ）
A．140°，125° B．130° 115° C．120° 135° D．110° 105°
2．如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
3．如图，在中，，，，D是内一动点，为的外接圆，交直线BD于点P，交边BC于点E，若，则AD的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（ ）
A．32° B．48° C．60° D．66°
5．如图，∠ACB＝60○，半径为1的⊙O切BC于点C，若将⊙O在直线CB上沿某一方向滚动，当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）
A． B． C．π 或 D．或
6．如图，已知点为勾股形（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中为直角，点、、分别在边、、上，，若，，则正方形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．16
7．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）．
A．1：5
B．2：5
C．3：5
D．4：5
9．如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
11．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为，直线AB为⊙O的切线，B为切点，则B点的坐标为【 】
A． B． C． D．
12．已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（ ）
A．32 B．34 C．27 D．28
二、填空题
13．边长为1的正三角形的内切圆半径为
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝ ．
15．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．
16．如图，在半径为r的圆内作一个内接正三角形，然后作这个正三角形的一个内切圆，那么这个内切圆的半径是 ．
17．把光盘、含 60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是 ．
三、解答题
18．有一批圆心角为90°，半径为1的扇形状下脚料，现利用这批材料截取尽可能大的正方形材料，如图有两种截取方法：方法1，如图（1）所示，正方形OPQR的顶点P、Q、R均在扇形边界上；方法2，如图（2）所示，正方形顶点C、D、E、F均在扇形边界上．图（1）、图（2）均为轴对称图形．试分别求这两种截取方法得到的正方形面积．并说明哪种截取方法得到的正方形面积更大？
19．如图,在半径为2的⊙O中,点Q为优弧MN的中点,圆心角∠MON=60°,在弧QN上有一动点P,且点P到弦MN所在直线的距离为x.
(1)求弦MN的长;
(2)试求阴影部分面积y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)试分析比较,阴影部分面积y与的大小关系.
20．菱形各边的中点是否在同一个圆上？为什么？
21．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长，交延长线于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
22．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
(1)求AB的长；
(2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．
23．如图，在中，以为直径作，交于点，交于点，且，过点作的切线交于点，过点作的垂线，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆．三角形的内心是否都在三角形内部？
《29.4切线长定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D D B C B D B
题号 11 12
答案 D D
1．A
【分析】当点O是三角形的外心．根据圆周角定理，可得；当点O是三角形的内心，根据BO、CO平分∠ABC、∠ACB，可得答案.
【详解】当点O是三角形的外心．
根据圆周角定理，得
∠BOC＝2∠A＝140°；
当点O是三角形的内心，
∴BO、CO平分∠ABC、∠ACB，
∴∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）
＝180°－（∠ABC＋∠ACB）
＝180°－（180°－∠A）
＝90°＋∠A＝125°，
故答案为A．
【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握三角形的内心和外心是解题的关键.
2．C
【分析】过A作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值；
【详解】解：过A作关于直线的对称点，连接，，
∵关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
过O作于Q，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆的性质、特殊三角函数，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键.
3．C
【分析】由，可推出，即可求出，即说明点D在以BC为弦，的圆弧上运动，设其圆心为点G，连接AG、DG．根据图形易证为等边三角形，从而得出，又可间接证明，即可利用勾股定理求出AG的长，最后利用三角形两边之差小于第三边即可求出答案．
【详解】∵，
∴，即．
∴．
即说明点D在以BC为弦，的圆弧上运动，设其圆心为点G，连接AG、DG．
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴．
∴在中，．
∵，即．
∴当点A、D、G三点共线时AD最小，最小值为．
故选C．
【点睛】本题为圆的综合题．考查圆周角定理，圆的外接三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理以及三角形三边关系等知识．根据题意判断出点D在以BC为弦，的圆弧上运动，并作出辅助线是解答本题的关键．
4．D
【分析】根据切线长定理可知CA=CD，求出∠CAD，再证明∠DBA=∠CAD即可解决问题．
【详解】解：∵CA、CD是⊙O的切线，
∴CA=CD，
∵∠ACD=48°，
∴∠CAD=∠CDA=66°，
∵CA⊥AB，AB是直径，
∴∠ADB=∠CAB=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠DBA=∠CAD=66°，
故选D．
【点睛】本题考查切线长定理和切线的性质、等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．D
【分析】当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，然后根据锐角三角函数的知识求解；同理求出另一种情况的值．
【详解】解：如图1，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，
连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，
∴OW=CF，WF=1，
∵∠ACB＝60○，
∴∠WCF=∠ACB=30°，
所以点O移动的距离为OW=CF===．
如图2，当圆O滚动到圆O′位置与CA，CB相切，切点分别为F，E，
连接OO′，O′E，O′C，O′F，OC，则四边形OCEO′是矩形，
∴OO′=CE，
∵∠ACB＝60○，
∴∠ACE＝120○，
∴∠O′CE=60°，
∴点O移动的距离为OO′=CE===，·
故选：D．
【点睛】此题考查了切线的性质与切线长定理，矩形的判定与性质，以及三角函数等知识．解此题的关键是根据题意作出图形，注意数形结合思想的应用．
6．B
【分析】先根据已知条件证明和全等，和全等，然后设正方形的边长为，在中，利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可．
【详解】，∠ABO=∠CBO，
是和的公共边，
，
同理可得，，
，，
由题意得，四边形为正方形，
设，
，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
正方形的面积是4，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、一元二次方程的解法、勾股定理、三角形的内心等知识，熟练掌握正方形的性质，根据勾股定理列出方程式是解答本题的关键．
7．C
【分析】根据切线长定理和圆的性质分别找出相等角即可.
【详解】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∴∠PBA=∠PAB，∠OAP=90°，
∴∠PAB+∠BAC=90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∴∠PAB=∠C；
∵OP⊥AB，
∴∠BAC+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠PAB．
故选C．
【点睛】此题重点考查学生对切线长定理的应用能力，熟练掌握切线长定理是解题的关键.
8．B
【详解】∵，
∴边长分别为：3、4、5的三角形是直角三角形，
∴其外接圆的半径为斜边的一半，即外接圆的半径为：2.5.
设其内接圆的半径为r，则，解得r=1.
∴这个三角形的内切圆和外接圆的半径之比为：1:2.5=2:5.
故选B.
点睛：若直角三角形的两直角边分别为：a、b，斜边为c，则：（1）这个三角形的内切圆半径为： 或；（2）这个三角形的外接圆半径为：.
9．D
【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，
根据切线长定理得：，，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
10．B
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD=CF=1，根据切线长定理得出AD=AE，BE=BF，CF=CD，求出AD+BF=AE+BE=AB=6，即可求出答案．
【详解】解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD=CF=1，
由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB=6=AE+BE=BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．
11．D
【详解】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵⊙O的半径为2，点A的坐标为，即OC=2.
∴AC是圆的切线.
∵OA=4，OC=2，
∴∠AOC=60°.
又∵直线AB为⊙O的切线，
∴∠AOB=∠AOC=60°.
∴∠BOD=180°－∠AOB-∠AOC=60°.
又∵OB=2，∴OD=1，BD=，即B点的坐标为.故选D.
12．D
【分析】如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．设AB=a，BC=b，则有2=，推出a+b=16，所以a2+2ab+b2＝256，因为a2+b2＝122＝144，推出2ab=112，推出ab=28，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．
设AB＝a，BC＝b，则有2＝，
∴a+b＝16，
∴a2+2ab+b2＝256，
∵a2+b2＝122＝144，
∴2ab＝112，
∴ab＝28．
∴△ABC的面积为28．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、外接圆与外心等知识，解题的关键是记住直角三角形的内切圆半径r=，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
13．
【详解】如图，
∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，
则∠OBD=30°，BD=,
∴tan∠OBD==，
∴内切圆半径OD== ,
故答案为．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形是解决本题的关键．
14．50°
【分析】根据切线长定理得到∠BPO＝∠APO，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了切线长定理，熟知切线长定理的性质是解题的关键．
15．/104度
【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：
∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形内切圆的定义，解题的关键是根据内切圆得到，．
16．
【分析】△ABC为大⊙O的内接正三角形，小⊙O为△ABC的内切圆，与BC切于D，且OB=r，根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，根据内圆的性质以及内心的性质得到∠OBD=∠ABC=30°，OD⊥BC，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到OD=OB=r．
【详解】如图，△ABC为大⊙O的内接正三角形，小⊙O为△ABC的内切圆，与BC切于D，且OB=r，
∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC=60°，
∵小⊙O为△ABC的内切圆，与BC切于D，
∴∠OBD=∠ABC=30°，OD⊥BC，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°，OB=r，
∴OD=OB=r．
故答案为r．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，三角形内心到三角形三边的距离相等．也考查了正三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
17．
【分析】如图作辅助线，根据切线长定理可知，AB＝BC，BO平分∠ABC，求出∠ABO＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理计算即可
【详解】解：如图，设三角板和光盘的切点为C，圆心为O，连接OA，OB，
由切线长定理可知，AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC＝60°，
∴OB＝2AB＝4，
∴OA＝，
∴光盘的直径是，
故答案为：
【点睛】本题考查了切线长定理，含30度直角三角形的性质以及勾股定理，求出∠ABO＝60°是解题的关键．
18．第一种方法截取的正方形的面积最大
【分析】根据题意画出图形，分别连接PQ和过O作OG⊥DE，交CF于点H，连接OF，构造直角三角形求得正方形的边长，求得正方形的面积后比较即可．由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：如图1所示：
连接OQ，设正方形OPQR的边长为x，
则在Rt△OPQ中，
OQ2=OP2+PQ2，即12=x2+x2，
解得x=，
∴S四边形OPQR=；
如图2所示，
过O作OG⊥EF，交CD于点H，连接OF，
设FG=x，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，
∴FG=CH=x，
∵∠DOC=90°，H为CD中点，
∴CH=OH，
∴OG=OH+HG=HC+CF=x+2x=3x，
在Rt△OFG中，
OF2=GF2+OG2，即12=x2+（3x）2，
解得x=，
∴CF=2x=．
∴S四边形CDEF=，
∵＞，
∴第一种方法截取的正方形的面积最大．
【点睛】本题考查了是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再进行解答．
19．（1）MN＝2；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得出△OMN是等边三角形，即OM=ON=MN=2,（2）根据三角形的面积公式，即可列出y，x的函数关系式,
（3）根据等底等高的三角形的面积相等，可以过点O作OP′∥MN，以此线段为分界线进行分情况讨论．
【详解】(1) ∵OM=ON,∠MON=60°,∴△MON是等边三角形,∴MN=OM=ON=2.
(2) 作OH⊥MN于H点,∴.在Rt△OHN中, ,
∴.,
∴,即.
(3) 令,即,∴.当时,;
当时,;当时,.
【点睛】本题主要考查了圆的综合题,解题时,利用了勾股定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及扇形面积的计算,解决本题的关键是要熟练利用相关几何定理和性质.
20．在同一个圆上（提示：证这四个中点到菱形对角线交点的距离相等）.
【分析】如图，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，又因为菱形的边长都相等，所以EO=HO=GO=FO,即可知这四个点在同一个圆上.
【详解】根据题意作图，在菱形ABCD中，E,H,G,F分别是AB、AD、CD、BC的中点，
∵AC⊥BD，
∴在Rt△ABO中，EO=AB，
同理知HO=AD, GO=CD, FO=BC,
又∵AB=AD=CD=BC,
∴EO=HO=GO=FO,
∴菱形各边的中点是否在同一个圆上.
【点睛】此题主要考查点与圆的位置，解题的关键是根据题意作出图形，再进行求解.
21．(1)证明见解析；
(2)6．
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义，得到，再利用半径相等，得到，进而得到，推出，又因为，得到，即可证明结论；
（2）过点O作，证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理得到，最后利用垂径定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点E在上，
是的切线；
（2）解：过点O作于点M，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，圆的切线性质和判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出的度数，进而根据特殊的锐角三角函数值求得AD的长，最后由垂径定理可得AB的长．
（2）由于点B在圆上，可根据“连半径，证垂直”可证得PB是⊙O的切线．
【详解】（1）
解：如图所示，连接OA、OB，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
由OP⊥AB于D，则，
又∵OP⊥AB
∴，
（2）证明：由（1）知∠BOC=60°，从而∠OBC=∠OCB=60°，
C是OP的中点，CP=CO=CB，从而．
∴∠OBP=90°（OB⊥BP），
∴PB是⊙О的切线．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，其中熟知圆的垂径定理以及圆的切线常用证明方法是解决本题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据切线，得到；连接OD，通过证OD是的中位线，证，进而得到，即可证明；
（2）连接DE，分别证AC= AB=2OB，CD=DE，得到CF=BG，CF=EF，再利用，即可求解．
【详解】（1）证明：∵过点作的切线交于点，
∴，
连接OD，
∵，OA=OB，
∴OD是的中位线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设圆与AC相交于点E，连接DE，
由（1）可知，，
∴，
∵OD=OB，
∴，
∴，
∴AC= AB=2OB，
∵在和中，
，
∴，
∴CF=BG，
又∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴CD=DE，
又∵，
∴CF=EF，
∴，
即．
【点睛】本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．
24．作图见解析；三角形的内心都在三角形的内部
【分析】分别作三角形的角平分线，以角平分线的交点为圆心，交点到三角形的边的距离为半径作圆即可，由图可知三角形的内心都在三角形的内部．
【详解】如图所示，
由图可知三角形的内心都在三角形的内部．
【点睛】本题考查了三角形的内心，作角平分线，作垂线，理解三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题的关键．
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