29.3切线的性质和判定同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
29.3切线的性质和判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（　　）
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
2．如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG=﹣1，则△ABC的周长为（ ）
A． B．6 C． D．4
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90°
C．EF⊥AC D．AC是⊙O的直径
4．下列直线中，一定是圆的切线的是(　 　)
A．与圆有公共点的直线
B．垂直于圆的半径的直线
C．与圆心的距离等于半径的直线
D．经过圆的直径一端的直线
5．如图，已知上三点、、，连接、、、，切线交的延长线于点，，则的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，连接CO，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E，若DE∥AC，∠BAC＝40°，则∠OCD的度数为（ ）
A．65° B．30° C．25° D．20°
8．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为8，AB＝10，则OA的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
9．如图，正方形的顶点A、D在上，边与相切，若正方形的周长记为，的周长记为，则、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
10．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
11．如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于、两点，的半径为，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点
B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点
C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点
D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点
二、填空题
13．如图，是⊙的直径，是⊙的切线，为切点，连接，与⊙交于点，连接．若，则 ．
14．如图，在中，是边上的一点，以为直径的交于点，连接．若与相切，为切点，，则的度数为 ．

15．已知：⊙O的半径为6cm，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PB = 4 cm，则PA = ；
16．已知点A、B、C、D在圆O上，且切圆O于点D，于点E，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，PC＝3，PB＝1，则⊙O的半径等于 .
三、解答题
18．如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
19．如图，在中，以为直径的交于点切线交于点．求证：．
20．如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．
（1）求证：AC是的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．
21．如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．
22．如图，是的直径，点C为上一点，点P是半径上一动点（不与重合），过点P作射线，分别交弦于两点，在射线上取点F，使．
（1）求证：是的切线．
（2）当点E是的中点时，若，判断以为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
23．如图，AB是的直径，BCAB于点B，连接OC交于点E，弦AD//OC,弦DFAB于点G.
（1）求证：点E是的中点；
（2）求证：CD是的切线；
24．已知：如图，中，，以为直径的⊙O交于点P，于点D．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，，求的值．
《29.3切线的性质和判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C C D C D A C
题号 11 12
答案 B C
1．B
【详解】连接OD、OE，
设AD=x，
∵半圆分别与AC、BC相切，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x）=x+2，
∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠A=∠BOE，
∴△AOD∽OBE，
∴，
∴，
解得x=1.6，
故选B．
2．A
【详解】解：如图，连接OD，OE，
∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，
∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°．
∴四边形ODCE是矩形．
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形．
∴CD=CE=OE．
∵∠A=∠B=45°，
∴△OEB是等腰直角三角形．
设OE=r，则BE=OG=r．
∴OB=OG+BG=﹣1+r．
∵OB=OE=r，
∴﹣1+r=r，解得r=1．
∴AC=BC=2r=2，AB=2OB=2×（1+﹣1）=2．
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=4+2．
故选A．
3．A
【详解】分析：如图作直径AM，连接BM．首先证明∠EAB=∠M，由∠C=∠M，即可判断.
详解：如图作直径AM，连接BM．
∵AM是直径，EF是切线，
∴∠EAM=∠ABM=90°，
∴∠EAB+∠MAB=90°，∠M+∠MAB=90°，
∴∠EAB=∠M，
∵∠C=∠M，
∴∠EAB=∠C．
故选A.
点睛：本题考查了直线与圆相切的性质，难度不大.
4．C
【分析】本题考查了切线的判定．熟练掌握圆的切线的判定定理是关键．由①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线；③与圆有1个公共点的直线是圆的切线，即可求得答案．
【详解】A、与圆有1个公共点的直线是圆的切线，与圆有2个公共点的直线是圆的割线；故本选项错误；
B、垂直于圆的半径且过此半径的外端点的直线是圆的切线；故本选项错误；
C、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；故本选项正确；
D、经过圆的直径一端且的直线且垂直于此直径的直线是圆的切线；故本选项错误．
故选：C．
5．C
【分析】根据圆心角等于同弧所对圆周角的2倍求得，再利用切线的性质定理求得，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵BD是的切线，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理，切线的性质定理，利用直角三角形两锐角互余的计算，熟练掌握圆周角定理及圆的切线的性质定理是解题的关键．
6．D
【分析】根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；
C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断．
7．C
【分析】连接OD，如图，先利用平行线的性质得∠E=∠BAC=40°，再根据切线的性质得OD⊥DE，则可计算出∠DOE=50°，接着根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=80°．然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OCD的度数．
【详解】连接OD，如图，
∵DE∥AC，
∴∠E=∠BAC=40°，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠DOE=90°-40°=50°，
∵∠BOC=2∠A=80°．
∴∠COD=80°+50°=130°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=（180°-130°）=25°．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
8．D
【分析】连接OC，直接利用切线的性质得出AC的长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△AOC中，
OA＝．
故选：D．
【点睛】本题主要查了圆的切线的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．
9．A
【分析】设正方形的边长为，⊙O的半径为，则，，结合垂径定理，勾股定理得出，则，，即可得出结论．
【详解】如图：设与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，
为中点，
设正方形的边长为，⊙O的半径为，
，
在中，，
，
，
正方形周长为，⊙O的周长为，
，，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆切线的性质，正方形的性质，垂径定理，勾股定理，以及正方形的周长和圆的周长公式，熟练掌握垂经定理和勾股定理找到正方形的边长和圆的半径之间的关系是解题关键．
10．C
【分析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据，，得四边形ABDC是矩形，根据CD与切于点E，OE为的半径得，，即，，根据边之间的关系得，，在，由勾股定理得，，进行计算可得，即可得这种铁球的直径．
【详解】解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵，，，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与切于点E，OE为的半径，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，
解得，，
则这种铁球的直径＝，
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
11．B
【分析】连接，，作于，于，由直角三角形的性质可得，即可求得，再由弦切角定理可得，由即可得∽，再由相似三角形的性质可得，所以是等腰直角三角形，所以，可得∽，即可解得．
【详解】解：连接，，作于，于，
，
，，
，
切于，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
∽，
：：，
：：，
．
故选：B．
【点睛】本题考查弦切角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，关键是作辅助线构造相似三角形．
12．C
【详解】连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的中垂线，
∵BC是圆的切线，
∴AD必过圆心，
∵AE是圆的弦，
∴AE的中垂线必过圆心，
∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点．
故选C．
13．49
【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠B=∠AOD=41°，根据AC是⊙O的切线得到∠BAC=90°，即可求出答案．
【详解】解：∵∠AOD=82°，
∴∠B=∠AOD=41°，
∵AC为圆的切线，A为切点，
∴∠BAC=90°，
∴∠C=90°-41°=49°
故答案为49．
【点睛】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键．
14．/55度
【分析】根据圆的切线的性质，推出；根据直径所对的圆周角是直角，推出，从而得出即可．
【详解】解：∵与相切，
∴，即，
∵以为直径的交于点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、直径所对的圆周角知识点，熟练运用切线的性质、直径所对的圆周角知识点是解题的关键．
15．8cm
【分析】连接OA，在直角△APO中，根据勾股定理即可求解．
【详解】连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴
在直角△APO中,根据勾股定理可以得到：
故答案为.
【点睛】考查切线的性质，连接OA，构造直角三角形，应用勾股定理是解题的关键.
16．①②③⑤
【分析】本题考查了圆有关的概念，切线的性质，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键．由优弧，弦，圆周角的概念及切线的性质可得出答案．
【详解】解：由图可知圆上及圆上是优弧，故①②正确，
由弦的定义可知线段是弦，故③正确；
∵切圆O于点D，
∴不是圆周角，
故④错误；
∵A，C是圆上的点，
∴是圆心角，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
17．4
【分析】由切线的性质构造直角三角形，再利用勾股定理列方程即可求解.
【详解】PC切⊙O于点C，所以连接OC，得到OC⊥PC.再设半径为x，建立方程式x2＋32＝（x＋1）2，解出x＝4.所以⊙O的半径等于4.
【点睛】本题考查切线的性质，切线常与勾股定理一起使用.
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
设为x，则为，根据勾股定理可得方程，求得的长，再根据三角形中位线定理可得答案．
此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
【详解】（1）解：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：∵点C是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如图：连接线，交于H，
∵，，
于点H，
设为x，则为，根据勾股定理，
，
解得：，
，
是中位线，
19．见解析
【分析】证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题.
【详解】解：证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠ADE=∠A．
【点睛】本题考查切线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）先证得△AOB为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；
（2）过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC=，根据含30°的直角三角形的性质得出DN =，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长．
【详解】（1）证明：∵AB=OA，OA=OB
∴AB=OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°
∵BC=OB
∴BC=AB
∴∠C=∠CAB
又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB
∴∠C=∠CAB=30°
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵OA=4
∴OB=AB=BC=4
∴OC=8
∴AC===
∵D、E分别为AC、OA的中点，
∴OE//BC，DC=
过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N
则四边形OMDN为矩形
∴DN=OM
在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC=
∴OM=
连接OG，∵OM⊥GF
∴GF=2MG=2==2
【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
21．10
【分析】连接OC，根据等腰三角形三线合一的性质可求得AC的长，然后在直角△OAC中，利用勾股定理即可求得OA的长．
【详解】连结OC，
∵C为切点，
∴OC⊥AB，即OC是△OAB的高，
∵∠A=∠B，
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形，
∴AC=CB=AB=×16=8，
在Rt△OCA，OA==10．
【点睛】本题主要考查圆的切线性质及勾股定理，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决问题．
22．（1）见解析；（2）以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形，理由见解析．
【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质，可得∠OBC=∠OCB，由直角三角形的性质可得∠OCB+∠FCD=90°，可得结论；
（2）①如图，连接OC，OE，BE，CE，可证△BOE，△OCE均为等边三角形，可得OB=BE=CE=OC，可得结论．
【详解】证明：（1）连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵PF⊥AB，
∴∠BPD=90°，
∴∠OBC+∠BDP=90°，
∵FC=FD，
∴∠FCD=∠FDC，
∵∠FDC=∠BDP，
∴∠OCB+∠FCD=90°，
∴OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE=∠COE=60°，
∵OB=OE=OC，
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB=BE=CE=OC，
∴四边形BOCE是菱形．
【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，添加恰当的辅助线是本题的关键．
23．（1）详见解析；（2）详见解析.
【详解】试题分析：（1）连接OD，根据平行线性质求出∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC，得出∠A=∠ADO，推出∠DOC=∠COB即可；
（2）证△DOC≌△BOC，推出∠CDO=∠CBO=90°，根据切线的判定推出即可．
试题解析：
证明：（1）连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO，
∴∠DOC=∠COB（圆心角、弧、弦之间的关系），
∴点E是的中点；
（2）∵在△DOC和△BOC中
，
∴△DOC≌△BOC（SAS），
∴∠CDO=∠CBO，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是半径，
∴CD是⊙0的切线．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到和，则，于是可判断，由于，所以，然后根据切线的判定定理可得到是⊙O的切线；
（2）由为直径得，根据等腰三角形的性质得，所以，在中，根据含30度的直角三角形的性质得，根据勾股定理得，所以．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴是⊙O的切线
（2）连接，如图
∵为直径
∴
∴
∵
∴在中，，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定，含30度的直角三角形性质，勾股定理等，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)