29.5正多边形与圆同步练习（含解析）
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
29.5正多边形与圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．阅读理解：
如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）
2．如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，则弦心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
3．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于( )
A．120° B．6° C．114° D．114°或6°
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形两边的和大于第三边
B．正六边形的每个中心角都等于
C．半径为的圆内接正方形的边长等于
D．只有正方形的外角和等于
5．如图，、、、是上的四点，，，，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．如图，四边形内接于⊙O ，，那么等于（ ）
A．110° B．135° C．55° D．125°
7．如图所示，的内接多边形的周长为3，的外切多边形的周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )
A． B． C． D．
8．下列属于正n边形的特征的有( )
①各边相等；②各个内角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点可以引(n－2)条对角线；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．已知是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．1 B． C． D．
10．在圆内接四边形中，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则此地基的周长为（ ）
A．12m B． C．24m D．
12．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A．3∶2∶1 B．4∶3∶2 C．4∶2∶1 D．6∶4∶3
二、填空题
13．如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为 ．
14．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 ．
15．边长为6的正三角形的外接圆半径是 ．
16．如图，正方形的边长为a，以顶点B、D为圆心，以边长a为半径分别画弧，在正方形内两弧所围成图形的面积是 .
17．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为 .
三、解答题
18．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
19．如图，四边形内接于圆，，对角线平分．
（1）求证：是等边三角形；
（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．
20．已知：如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，且其内切圆的半径为2 cm，求△ABC的边长及扇形AOB的面积.
21．如图，已知是的切线，切点为，点在上，交于，交直线于，交于，且．一同学通过测量猜测，为的内接正二十四边形的一边，你认为他的猜测正确，请你证明；若你认为他的猜测不正确，请说明理由．
22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
(1)求∠CPD的度数；
(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
23．将正三角形ABC各边三等分，设分点为D、E、F、G、H、I，
求证：DEFGHI是正六边形.
24．如图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？
《29.5正多边形与圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D D D C A C A
题号 11 12
答案 C A
1．A
【详解】试题分析：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD=OA=2，∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×2=4，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．
故选A．
考点：1.正多边形和圆；2.坐标确定位置．
2．A
【分析】如图，连接OB、OC．首先证明△OBC是等边三角形，求出BC、BM，根据勾股定理即可求出OM．
【详解】解：如图，连接OB、OC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=4，
∵OM⊥BC，
∴BM=CM=2，
在Rt△OBM中，，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是记住等边三角形的性质，弧长公式，属于基础题，中考常考题型．
3．D
【详解】【分析】先根据题意画出图形，根据正多边形与圆的关系分别求出中心角∠AOC=60°，∠AOB=72°，再由等边对等角及三角形内角和定理分别求出∠OAC=54°，∠OAB=54°，然后分两种情况进行讨论：①AB、AC都在OA同侧；②AB、AC在OA两侧．
【详解】如图，连接OA，OB，OC，
∵AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=，∠AOB==72°，
∵OA=OC=OB，
∴∠OAB=54°，∠OAC=60°，
若AB与AC在OA的同侧，∠BAC=∠OAC-∠OAB=6°，
当AB、AC在OA两侧时，则∠BAC=∠OAC+∠OAB=54°+60°=114°．
∴∠BAC=6°或114°．
故选D
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，等边对等角及三角形内角和定理，正确画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
4．D
【分析】根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.
【详解】A、三角形两边的和大于第三边，A是真命题，不符合题意；
B、正六边形条边对应个中心角，每个中心角都等于，B是真命题，不符合题意；
C、半径为的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径，设边长等于，则：，解得边长为，C是真命题，不符合题意；
D、任何凸边形的外角和都为，是假命题，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.
5．D
【分析】如图，过点作于点．首先证明是等边三角形，解直角三角形求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点．
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
的面积，
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．D
【分析】根据已知条件可知，，根据圆内接四边形的对角互补可知，由此即可解答．
【详解】解：．
∵四边形内接于⊙O
．
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆心角、圆周角、弦的关系以及圆的内接四边形的性质，掌握相关知识点，得到、是关键．
7．C
【分析】根据圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长.圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间，然后把3与3.4平方，再利用夹逼法对即可选择答案．
【详解】解：圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长，
圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间，
，
圆的周长，
只有C选项满足条件．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题关键是熟悉正多边形和圆的关系．
8．A
【详解】解：正n边形各边相等，各内角相等，从一个顶点可以引（n－3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，这些三角形面积不一定相等．故①②正确，其余错误．故选A．
9．C
【分析】根据边心距求得外接圆的半径为2，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可．
【详解】如图,过点O作OG⊥AF，垂足为G，
∵正六边形的边心距为，
∴∠AOG=30°，OG=，
∴OA=2AG，
∴，
解得GA=1，
∴OA=2，
设圆锥的半径为r，根据题意，得2πr=，
解得r=，
故选C．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面积，熟练掌握弧长公式，圆锥的侧面积公式是解题的关键．
10．A
【分析】根据可设，则，然后利用圆内接四边形对角互补可得，解得x，从而求出各角度数．
【详解】解：设，因为，
则，
根据圆内接四边形对角互补可得，
所以，
解得，
所以∠B=90°，∠D=180°-∠B=90°．
故选A．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形对角互补的性质．熟练掌握圆内接四边形对角的性质是解答本题的关键．
11．C
【分析】连接，则，得是等边三角形，求得的长度，即可得答案．
【详解】解：如下图，连接，则，
正六边形的边长为4m，
，
是等边三角形，
，
地基的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，解题的关键是证明是等边三角形，通过正多边形的半径求得正六边形的边长．
12．A
【分析】先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径及此正三角形高线，最后写出比值．
【详解】解：如图，△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°，AD是高．点O是其外接圆的圆心，
由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心，OD是△ABC内切圆半径，
∵AD⊥BC，∠1＝∠4＝∠ABC＝30°，
∴BO＝2OD，
∴OA＝OB＝2OD，
∴AD＝OA ＋OD ＝3OD，
∴AD：OA：OD＝3：2：1，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多边形与外接圆，熟练掌握等边三角形的性质，特别是它的内切圆和外接圆是同心圆，并且圆心是它的高的三等分点，是解题的关键．
13．6cm/6厘米
【详解】解：因为圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，
所以正六边形的外接圆的半径=边长=6cm．
故答案为：6cm
14．36
【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，根据等腰三角形的性质可求出∠EAC＝∠DCA＝72°，进而可得四边形AEDF是平行四边形，求出∠DFC的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC==36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，
∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正五边形的性质以及三角形的内角和定理是正确解答的前提．
15．
【分析】过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．
【详解】解：如图所示，△ABC是正三角形，故O是△ABC的中心，∠CAB=60
∵正三角形的边长为6，
∴AE=×6=3，∠OAE=∠CAB=30°
∴OE=OA，
又
∴
∴
∴AO=2(负值舍去)．
故答案为：．
【点睛】考查了三角形外接圆以及利用勾股定理简单计算的能力．
16．
【分析】先用正方形的面积减去一个扇形的面积，得到一个空白部分的面积，然后用正方形的面积减去两个空白部分的面积，即为阴影部分的面积．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为a，
∴正方形ABCD的面积为a2，
∵扇形ABCD的面积为＝
则一个空白部分为
阴影部分面积为＝
故答案为
【点睛】此题考查了正方形内两弧所围成图形的面积，将此题转化为关于正方形的面积和扇形面积是解题的关键．
17．：1.
【分析】根据圆内接正方形和正六边形的性质，将问题转化为关于三角形的问题，即可求出正方形和正六边形的边长，进而求出边长之比．
【详解】解：如图1，
在圆内接正方形ABCD中，OA=OD=R，∠AOD=360°×=90°，
则内接正方形的边长为
如图2，在圆内接正六边形ABCDEF中，
∠AOB=60°，
△AOB为正三角形，
则内接正六边形的边长为R，
所以其比为
故答案为：1
【点睛】此题考查了圆内接正四边形和圆内接正六边形的半径和边心距之间的关系，将问题转化为关于三角形的问题来解答是解题的关键．
18．（1）证明过程见解析；（2）π
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°，
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB=∠DBC=75°，
∴BD=CD；
（2）∵∠DCB=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故，
答：的长为π．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等角对等边、弧长公式，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）；
【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD=90°
∵∠ADC=120°，
∴∠ADM=60°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD=1，AM=，
∵CD=3，
∴CM=CD+DE=1+3=4，
∴S△ACD=CD-AM=×3×=，
在Rt△AMC中，∠AMD=90°，
∴AC=，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=，
∴BN=，
∴S△ABC=××=，
∴四边形ABCD的面积=+=，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC=180°，
∵∠ADC=120°，
∴∠E=60°，
∴∠E=BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB=∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．AB = 4cm，S扇形AOB = πcm2.
【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．
【详解】连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC=2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC=×360°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB===30°，
∵⊙O的半径为4，
∴OA=4，
∴BD=OB cos∠OBD=4×cos30°=4×=2，
∴BC=4．
∴等边△ABC的边长为4．
∵∠C=60°,
∴∠AOB=120°,
∴S扇形AOB==cm2．
【点睛】此题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．
21．猜测正确．理由见解析．
【分析】由切于点，可知 由已知，，可求出的度数，进而可求出的度数，根据三角形内角和为可求出的度数，根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，可求出 的度数，进而可求出的度数，可对猜测进行判断．
【详解】猜测正确．理由如下：
∵切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵是所对圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∵，
∴是内接正二十四边形的一边．
【点睛】本题考查正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出的度数是解题关键．也考查了三角形内角和定理和等边对等角．
22．(1)
(2)
【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；
（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．
【详解】（1）解：连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°，
∴．
（2）解：连接PO，OB，如图所示：
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
23．见解析
【分析】由条件可证明△ADI、△BEF、△CGH均为正三角形,可得到六边形DEFGHI的六个边都相等,再利用等边三角形的角都为60°,可证明六边形DEFGHI的六个内角也都相等,可得结论.
【详解】证明: ∵△ABC为正三角形,
∴∠A=60°,AB=AC,
∵D、I三等分AB和AC,
∴AD=AI,
∴△ADI为正三角形,
同理可得△BEF、△CGH均为正三角形,
∴DE=EF=FG=GH=HI=ID,
且∠ADI=∠AID=∠BEF=∠BFE=∠CGH=∠CHG=60°,
∴∠EDI=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHI=∠HID=120°,
∴六边形DEFGHI是正六边形.
【点睛】本题主要考查正三角形的性质和判定,掌握证明六边形的所有的边都相等,所有的内角都相等是解题的关键.
24．大圆的半径为 (cm).
【详解】根据题意一个大圆把三个两两相外切的小圆全部覆盖,就是大圆与三个小圆内切,连接三个小圆的圆心得到一个等边三角形,根据等边三角形的性质与勾股定理可求出半径的长度.
试题解析:设三个圆的圆心为O1,O2,O3,连接O1O2,O2O3,O3O1,可得边长为4 cm的正△O1O2O3,则正△O1O2O3的半径为 cm,所以大圆的半径为 +2= (cm).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
29.5正多边形与圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．阅读理解：
如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）
2．如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，则弦心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
3．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于( )
A．120° B．6° C．114° D．114°或6°
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形两边的和大于第三边
B．正六边形的每个中心角都等于
C．半径为的圆内接正方形的边长等于
D．只有正方形的外角和等于
5．如图，、、、是上的四点，，，，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．如图，四边形内接于⊙O ，，那么等于（ ）
A．110° B．135° C．55° D．125°
7．如图所示，的内接多边形的周长为3，的外切多边形的周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )
A． B． C． D．
8．下列属于正n边形的特征的有( )
①各边相等；②各个内角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点可以引(n－2)条对角线；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．已知是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．1 B． C． D．
10．在圆内接四边形中，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则此地基的周长为（ ）
A．12m B． C．24m D．
12．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A．3∶2∶1 B．4∶3∶2 C．4∶2∶1 D．6∶4∶3
二、填空题
13．如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为 ．
14．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 ．
15．边长为6的正三角形的外接圆半径是 ．
16．如图，正方形的边长为a，以顶点B、D为圆心，以边长a为半径分别画弧，在正方形内两弧所围成图形的面积是 .
17．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为 .
三、解答题
18．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
19．如图，四边形内接于圆，，对角线平分．
（1）求证：是等边三角形；
（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．
20．已知：如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，且其内切圆的半径为2 cm，求△ABC的边长及扇形AOB的面积.
21．如图，已知是的切线，切点为，点在上，交于，交直线于，交于，且．一同学通过测量猜测，为的内接正二十四边形的一边，你认为他的猜测正确，请你证明；若你认为他的猜测不正确，请说明理由．
22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
(1)求∠CPD的度数；
(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
23．将正三角形ABC各边三等分，设分点为D、E、F、G、H、I，
求证：DEFGHI是正六边形.
24．如图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？
《29.5正多边形与圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D D D C A C A
题号 11 12
答案 C A
1．A
【详解】试题分析：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD=OA=2，∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×2=4，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．
故选A．
考点：1.正多边形和圆；2.坐标确定位置．
2．A
【分析】如图，连接OB、OC．首先证明△OBC是等边三角形，求出BC、BM，根据勾股定理即可求出OM．
【详解】解：如图，连接OB、OC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=4，
∵OM⊥BC，
∴BM=CM=2，
在Rt△OBM中，，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是记住等边三角形的性质，弧长公式，属于基础题，中考常考题型．
3．D
【详解】【分析】先根据题意画出图形，根据正多边形与圆的关系分别求出中心角∠AOC=60°，∠AOB=72°，再由等边对等角及三角形内角和定理分别求出∠OAC=54°，∠OAB=54°，然后分两种情况进行讨论：①AB、AC都在OA同侧；②AB、AC在OA两侧．
【详解】如图，连接OA，OB，OC，
∵AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=，∠AOB==72°，
∵OA=OC=OB，
∴∠OAB=54°，∠OAC=60°，
若AB与AC在OA的同侧，∠BAC=∠OAC-∠OAB=6°，
当AB、AC在OA两侧时，则∠BAC=∠OAC+∠OAB=54°+60°=114°．
∴∠BAC=6°或114°．
故选D
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，等边对等角及三角形内角和定理，正确画出图形，进行分类讨论是解题的关键．
4．D
【分析】根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.
【详解】A、三角形两边的和大于第三边，A是真命题，不符合题意；
B、正六边形条边对应个中心角，每个中心角都等于，B是真命题，不符合题意；
C、半径为的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径，设边长等于，则：，解得边长为，C是真命题，不符合题意；
D、任何凸边形的外角和都为，是假命题，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.
5．D
【分析】如图，过点作于点．首先证明是等边三角形，解直角三角形求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点．
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
的面积，
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．D
【分析】根据已知条件可知，，根据圆内接四边形的对角互补可知，由此即可解答．
【详解】解：．
∵四边形内接于⊙O
．
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆心角、圆周角、弦的关系以及圆的内接四边形的性质，掌握相关知识点，得到、是关键．
7．C
【分析】根据圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长.圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间，然后把3与3.4平方，再利用夹逼法对即可选择答案．
【详解】解：圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长，
圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间，
，
圆的周长，
只有C选项满足条件．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题关键是熟悉正多边形和圆的关系．
8．A
【详解】解：正n边形各边相等，各内角相等，从一个顶点可以引（n－3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，这些三角形面积不一定相等．故①②正确，其余错误．故选A．
9．C
【分析】根据边心距求得外接圆的半径为2，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可．
【详解】如图,过点O作OG⊥AF，垂足为G，
∵正六边形的边心距为，
∴∠AOG=30°，OG=，
∴OA=2AG，
∴，
解得GA=1，
∴OA=2，
设圆锥的半径为r，根据题意，得2πr=，
解得r=，
故选C．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面积，熟练掌握弧长公式，圆锥的侧面积公式是解题的关键．
10．A
【分析】根据可设，则，然后利用圆内接四边形对角互补可得，解得x，从而求出各角度数．
【详解】解：设，因为，
则，
根据圆内接四边形对角互补可得，
所以，
解得，
所以∠B=90°，∠D=180°-∠B=90°．
故选A．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形对角互补的性质．熟练掌握圆内接四边形对角的性质是解答本题的关键．
11．C
【分析】连接，则，得是等边三角形，求得的长度，即可得答案．
【详解】解：如下图，连接，则，
正六边形的边长为4m，
，
是等边三角形，
，
地基的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，解题的关键是证明是等边三角形，通过正多边形的半径求得正六边形的边长．
12．A
【分析】先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径及此正三角形高线，最后写出比值．
【详解】解：如图，△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°，AD是高．点O是其外接圆的圆心，
由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心，OD是△ABC内切圆半径，
∵AD⊥BC，∠1＝∠4＝∠ABC＝30°，
∴BO＝2OD，
∴OA＝OB＝2OD，
∴AD＝OA ＋OD ＝3OD，
∴AD：OA：OD＝3：2：1，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多边形与外接圆，熟练掌握等边三角形的性质，特别是它的内切圆和外接圆是同心圆，并且圆心是它的高的三等分点，是解题的关键．
13．6cm/6厘米
【详解】解：因为圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，
所以正六边形的外接圆的半径=边长=6cm．
故答案为：6cm
14．36
【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，根据等腰三角形的性质可求出∠EAC＝∠DCA＝72°，进而可得四边形AEDF是平行四边形，求出∠DFC的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC==36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，
∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正五边形的性质以及三角形的内角和定理是正确解答的前提．
15．
【分析】过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．
【详解】解：如图所示，△ABC是正三角形，故O是△ABC的中心，∠CAB=60
∵正三角形的边长为6，
∴AE=×6=3，∠OAE=∠CAB=30°
∴OE=OA，
又
∴
∴
∴AO=2(负值舍去)．
故答案为：．
【点睛】考查了三角形外接圆以及利用勾股定理简单计算的能力．
16．
【分析】先用正方形的面积减去一个扇形的面积，得到一个空白部分的面积，然后用正方形的面积减去两个空白部分的面积，即为阴影部分的面积．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为a，
∴正方形ABCD的面积为a2，
∵扇形ABCD的面积为＝
则一个空白部分为
阴影部分面积为＝
故答案为
【点睛】此题考查了正方形内两弧所围成图形的面积，将此题转化为关于正方形的面积和扇形面积是解题的关键．
17．：1.
【分析】根据圆内接正方形和正六边形的性质，将问题转化为关于三角形的问题，即可求出正方形和正六边形的边长，进而求出边长之比．
【详解】解：如图1，
在圆内接正方形ABCD中，OA=OD=R，∠AOD=360°×=90°，
则内接正方形的边长为
如图2，在圆内接正六边形ABCDEF中，
∠AOB=60°，
△AOB为正三角形，
则内接正六边形的边长为R，
所以其比为
故答案为：1
【点睛】此题考查了圆内接正四边形和圆内接正六边形的半径和边心距之间的关系，将问题转化为关于三角形的问题来解答是解题的关键．
18．（1）证明过程见解析；（2）π
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°，
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB=∠DBC=75°，
∴BD=CD；
（2）∵∠DCB=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故，
答：的长为π．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等角对等边、弧长公式，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）；
【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD=90°
∵∠ADC=120°，
∴∠ADM=60°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD=1，AM=，
∵CD=3，
∴CM=CD+DE=1+3=4，
∴S△ACD=CD-AM=×3×=，
在Rt△AMC中，∠AMD=90°，
∴AC=，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=，
∴BN=，
∴S△ABC=××=，
∴四边形ABCD的面积=+=，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC=180°，
∵∠ADC=120°，
∴∠E=60°，
∴∠E=BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB=∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．AB = 4cm，S扇形AOB = πcm2.
【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．
【详解】连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC=2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC=×360°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB===30°，
∵⊙O的半径为4，
∴OA=4，
∴BD=OB cos∠OBD=4×cos30°=4×=2，
∴BC=4．
∴等边△ABC的边长为4．
∵∠C=60°,
∴∠AOB=120°,
∴S扇形AOB==cm2．
【点睛】此题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．
21．猜测正确．理由见解析．
【分析】由切于点，可知 由已知，，可求出的度数，进而可求出的度数，根据三角形内角和为可求出的度数，根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，可求出 的度数，进而可求出的度数，可对猜测进行判断．
【详解】猜测正确．理由如下：
∵切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵是所对圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∵，
∴是内接正二十四边形的一边．
【点睛】本题考查正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出的度数是解题关键．也考查了三角形内角和定理和等边对等角．
22．(1)
(2)
【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；
（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．
【详解】（1）解：连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°，
∴．
（2）解：连接PO，OB，如图所示：
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
23．见解析
【分析】由条件可证明△ADI、△BEF、△CGH均为正三角形,可得到六边形DEFGHI的六个边都相等,再利用等边三角形的角都为60°,可证明六边形DEFGHI的六个内角也都相等,可得结论.
【详解】证明: ∵△ABC为正三角形,
∴∠A=60°,AB=AC,
∵D、I三等分AB和AC,
∴AD=AI,
∴△ADI为正三角形,
同理可得△BEF、△CGH均为正三角形,
∴DE=EF=FG=GH=HI=ID,
且∠ADI=∠AID=∠BEF=∠BFE=∠CGH=∠CHG=60°,
∴∠EDI=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHI=∠HID=120°,
∴六边形DEFGHI是正六边形.
【点睛】本题主要考查正三角形的性质和判定,掌握证明六边形的所有的边都相等,所有的内角都相等是解题的关键.
24．大圆的半径为 (cm).
【详解】根据题意一个大圆把三个两两相外切的小圆全部覆盖,就是大圆与三个小圆内切,连接三个小圆的圆心得到一个等边三角形,根据等边三角形的性质与勾股定理可求出半径的长度.
试题解析:设三个圆的圆心为O1,O2,O3,连接O1O2,O2O3,O3O1,可得边长为4 cm的正△O1O2O3,则正△O1O2O3的半径为 cm,所以大圆的半径为 +2= (cm).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)