30.2二次函数的图像和性质同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
30.2二次函数的图像和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2
2．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为，则池底的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是二次函数的图象，则a的值是（　　　）
A． B． C．1 D．1或
5．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
7．关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
8．二次函数ｙ＝（2x－1）2＋2的顶点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，－2） C．（，2） D．（－，－2）
9．已知抛物线如图所示，有下列命题：①；②对称轴为直线；③若抛物线经过点，则；④顶点坐标是．其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 (　　)
A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2
11．抛物线y＝ax2和y＝－ax2在同一坐标系内，下面结论正确的是( )
A．顶点坐标不同 B．对称轴相同
C．开口方向一致 D．都有最低点
12．已知二次函数y=-2x2+4x-3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．二次函数y=3x2-3的图象开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x>0时，y随x的增大而 ；当x<0时，y随x的增大而 .因为a=3>0，所以y有最 值，当x= 时，y的最 值是 .
14．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ．
15．二次函数y=3x2+3的最小值是 ．
16．若抛物线开口向上，则的取值范围是 ．
17．小亮同学参加了学校体育兴趣小组，在今年的校体育节中参加了跳远比赛，若函数h=t﹣t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 ．
三、解答题
18．分别指出抛物线与的开口方向、对称轴、顶点坐标和随的增大而变化的情况，并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，，作轴交直线于点．

(1)直线的解析式为______；
(2)用含的代数式表示的长为______；
(3)用含的代数式表示的面积为______；
(4)当时，的值为______；
(5)当______时，的面积最大，最大面积是______．
20．已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)求此抛物线与x轴的交点坐标．
21．知识储备
在求二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的右边配方，得
y＝ax2+bx+c
＝a（x2+x）+c
＝a[x2+2 x+（）2﹣（）2]+c
＝a（x+）2+
∵a（x+）2≥0，
∴当x＝﹣时，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值为．
解决问题
（1）请你通过配方求函数y＝x2+的最小值．
（2）你能否通过配方求函数y＝x+（x＞0）的最小值．
数学模型
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
22．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；
23．如图，抛物线经过点，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找出点P，使得以M，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形，并直接写出点P的坐标．
24．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
《30.2二次函数的图像和性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C D D D C C B
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：对称轴为直线；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．B
【分析】先求出最大面积的表达式，再运用性质求解．
【详解】设矩形的一边长为xm，则其邻边为(50 x)m，若面积为S，则
S=x(50 x)= x2+50x= (x 25)2+625，
∵ 1<0，
∴S有最大值.
当x=25时，最大值为625.
故答案选B.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.
3．D
【分析】设，则，连接AC，交于点E，根据菱形的性质，矩形的性质，勾股定理计算，设矩形的面积为S，构造二次函数，根据二次函数的最值求解即可．
【详解】设，
因为四边形是菱形，，，
所以，
连接AC，交于点E，
因为四边形是菱形，四边形是矩形，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
设矩形的面积为S，
所以，
所以当x=3时，S的面积最大，最大值为，
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，二次函数的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据二次函数图像开口向上知a＞0，再根据函数图像经过原点，将（0，0）代入解析式即可求得a值．
【详解】解：由图像可知，二次函数图像经过原点，
将（0，0）代入中得：，
解得：，
又因为二次函数图像开口向上，所以＞0，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、解一元二次方程，解答的关键是掌握函数图像上的点与函数关系，以及开口方向问题．
5．D
【分析】将点（m，3）代入代数式中即可得到结果．
【详解】解：将点（m，3）代入中得，
，
故代数式的值为3，
故选：D．
【点睛】本题考查代数式的值，根据函数图象经过的点求函数解析式，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．
6．D
【详解】解法一：∵点P（m，n）在抛物线（a≠0）上，
∴，把x＝m代入得，也不等于n－1，故点（m，n＋1）和点（m，n－1）不在抛物线上，A，C不合题意；
把x＝m＋1代入得，故点（m＋1，n）不在抛物线上，B不合题意；
把x＝m－1代入得，故点（m－1，n）在抛物线上，D符合题意．
解法二：抛物线可看作是抛物线向左平移1个单位长度得到的，点P（m，n）向左平移1个单位长度后所得的点的坐标为（m－1，n）．
7．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
【详解】解：由方程有两个不相等的实根、
可得，，，
∵，可得，，即
化简得
则
故最大值为
故选D
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．
8．C
【详解】试题分析：二次函数ｙ＝（2ｘ－1）＋2即的顶点坐标为（，2）
考点：二次函数
点评：本题考查二次函数的顶点坐标，考生要掌握二次函数的顶点式与其顶点坐标的关系
9．C
【分析】根据图象和二次函数的性质，逐项判断即可．
【详解】解：由抛物线开口向上知，故①是真命题；
∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，故②是真命题；
∵，线开口向上，对称轴为直线，
∴，故③是假命题；
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标是，故④是真命题；
∴真命题有：①②④，共3个；
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，以及二次函数相关的性质，解题的关键是掌握二次函数相关的性质．
10．B
【详解】试题解析：由题可知，二次函数开口向下，对称轴为 ，所以在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，那么 ，又 ，所以取值范围是 .
故本题应选B.
11．B
【分析】根据（a）的图像与特点即可判断.
【详解】∵（a）的图像都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点，故选B.
【点睛】此题主要考查（a）的函数特点，解题的关键是熟知这类函数的图像与特点.
12．A
【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．
【详解】∵y=-2x2+4x-3=-2（x-1）2-1，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而减小，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
13． 上 (0，-3) y轴 增大 减小 小 0 小 -3.
【详解】二次函数y=3x2-3中k=3,所以开口向上，顶点坐标（0，－3），对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.因为a=3>0，所以y有最小值，当x=0时，y的最小值是－3.
故答案是：上， (0，-3) ，y轴， 增大，减小，小，0， 小，-3.
14．(，0)
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题
【详解】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴
解得，
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=,
故答案为（）
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．3．
【分析】根据二次函数的性质求出函数的最小值即可．
【详解】解：∵y=3x2+3=3（x+0）2+3，
∴顶点坐标为（0，3）．
∴该函数的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．
16．a＞3．
【分析】根据二次函数的性质，图象开口向上，则二次项系数大于0可得答案.
【详解】解：因为抛物线的开口向上，
所以a-3＞0，即a＞3．
故答案为a＞3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．
17．
【分析】重心最高点，就是求这个二次函数的顶点，将二次函数化为顶点式，由此即可得．
【详解】
由二次函数的性质可知，当时，h取得最大值
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题关键．
18．两个函数的对称轴都是轴，顶点坐标都是，，，故函数图象开口向上，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；，，故函数图象开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；图见解析
【分析】根据函数的图象及性质解答．
【详解】两个函数的对称轴都是轴，顶点坐标都是，
，，故函数图象开口向上，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；
，，故函数图象开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；
二次函数的与的部分对应值如表：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
… 0 …
根据表格描点绘图：
【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握各类型的二次函数的图象及性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)，
【分析】本题考查一次函数与几何的应用，二次函数的性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据，，求出，即可求解；
（3）利用的面积为列式即可求解；
（4）根据当和的共底边上的高相等时，，两三角形的高之和为，即可解答；
（5）根据列出关系式，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：点，点，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：，，轴，
点的坐标为，
．
（3）解：．
（4）解：和共底边，
当和的共底边上的高相等时，，
当和共底边时，两三角形的高之和为，轴，
．
（5）解：，
，
当时，有最大值，最大值为．
20．(1)
(2)此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）
【分析】（1）设顶点式，然后把（-2,5）代入求出a，即可得到抛物线解析式．
（2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可．
【详解】（1）解：设二次函数表达式为
∵ 图像经过（-2，5）
∴ 5=
∴
（2）解：令y=0，即=0
解得：x=3或x=-1
故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质．
21．（1）当x＝±1时，函数y＝x2+的最小值为2；（2）当x＝1时，y＝x+（x＞0）的最小值为2；数学模型：该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．
【分析】(1)根据完全平方公式，进行配方得，即可得到最小值；
(2) 根据完全平方公式，进行配方得，即可得到最小值；
数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0），根据完全平方公式，进行配方得到y＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，即可求出答案．
【详解】（1）
＝
＝
∵，
∴当x＝±1时，函数y＝x2+的最小值为2；
（2）y＝x+
＝
＝（）2+（）2﹣2+2
＝（﹣）2+2，
∵（﹣）2≥0，
∴当﹣＝0时，即x＝1时，y＝x+（x＞0）的最小值为2；
数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0），
y＝2（x+）＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，
当﹣＝0时，即x＝，y有最大值4，
∴该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．
【点睛】本题主要考查对完全平方公式，二次函数的最值，配方法的应用，能熟练地运用学过的性质进行计算是解本题的关键．
22．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点C′的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）
【分析】（1）根据抛物线经过点，与轴相交于，两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；
（2）先确定二次函数对称轴，BC长度，根据题意和翻折的性质，得到B C′长度，利用三角函数求出∠C′BC，再根据角平分线求出∠DBC，解直角三角形可以求得点和点的坐标，本题得以解决．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，
∴，得，
即抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，
∴BC=3﹣（﹣1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x==1，
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，
则点H的坐标为（1，0），
∴BH=2，
∵将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，点C′恰好落在抛物线的对称轴上，
∴BC=BC′=4，∠C′HB=90°，∠C′BD=∠DBC，
∴OC′==2，cos∠C′BH===，
∴C′的坐标为（1，2），∠C′BH=60°，
∴∠DBC=30°，
∵BH=2，∠DBH=30°，
∴OD=BH tan30°=2×=，
∴点D的坐标为（1，），
由上可得，点C′的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（1）y=x2-x-2；（2）点P坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）分3种情况：①如图1中，当四边形PCBM是平行四边形时；②如图2中，当四边形PMCB是平行四边形时；③当BC为对角线时．利用平移变换以及平行四边形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）把代入抛物线中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2；
（2）∵y=x2-x-2＝(x-)2-，
∴对称轴是直线x=.
①如图1，当四边形是平行四边形时，，且，
∵点B向右平移个单位到点M横坐标位置，
∴由点C向右平移个单位到点P横坐标位置，
∵点,
∴，
当时，，
∴；
②如图2中，当四边形是平行四边形时，
∵点C向左平移2个单位到B横坐标，
∴点M向左平移2个单位到点P横坐标，
∴点P的横坐标为．
当时，，
∴；
③当为对角线时，
∵点M的横坐标为，
∴点P的横坐标为，
当时，，
∴．
综上所述，满足条件的点P坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）分三种情形讨论求解．
24．见解析
【分析】根据二次函数的图象与性质即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下 直线
向上 直线
向上 直线
向下 直线
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)