30.3 由不共线的三点坐标确定二次函数表达式 同步练习（含解析）

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30.3由不共线的三点坐标确定二次函数表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（　　）
A． B． C． D．
3．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是
A．a＞0 B．c＞0 C．ac＞0 D．bc＜0
4．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x的值增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1
5．已知二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，下列结论：①;②;③;④正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．二次函数的图象如图所示，下面结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．函数的最大值为
C．当时， D．
9．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
11．抛物线经过点，，，则当时，y的值为（ ）．
A．6 B．1 C．-1 D．-6
12．已知一次函数与二次函数，它们在同一坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：
①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是 ．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过点A（-3，0），对称轴为直线x= -1，则(a+b)(4a-2b+1)的值为 ．
15．已知二次函数的图象经过原点，那么 ．
16．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第 象限．
17．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2其中正确的结论有 （填序号）．

三、解答题
18．题目中的灰色部分是被墨水污染了无法辨认的文字。请你根据有信息添加一个适当的条件，把原题补充完整并求解．已知二次函数的图象经过点，________．求该二次函数的表达式．
19．
九年级教材内容改编 结合教材图形给出新定义
对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形． 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心
(1)①在图1中位似中心是点______；
②______多边形是特殊的______多边形；（填“位似”或“相似”）
(2)如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点0重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似．

①画出（不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点，的坐标；
②直线与二次函数的图象交于点M，与经过O，，三点的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点，，且满足，则]．
20．多解法 已知二次函数值y和自变量x部分的对应取值如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 0 0 …
求该二次函数的解析式．
21．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于的两个二次函数，，且，，的“生成函数”为：；当时，；二次函数的图象的顶点在轴上．
(1)求的值；
(2)求二次函数，的解析式．
22．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
23．已知二次函数值y和自变量x部分的对应取值如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 …
求该二次函数的解析式．
24．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点（0，1），求该抛物线的表达式．
《30.3由不共线的三点坐标确定二次函数表达式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D C A D D B B
题号 11 12
答案 D D
1．A
【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过P（1，3），
∴，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过Q（m，n），
∴即，
∴
，
∵，
∴的最小值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查二次函数与一次函数图像的综合判断，先根据二次函数的图像，得到的符号，进而判断一次函数图像经过的象限即可．
【详解】解：∵的图像开口向下，
∴．
∵对称轴在y轴的左侧，
∴，
∴一次函数的图像经过第二、三、四象限，
故选：C．
3．C
【详解】解：：根据图象：
由抛物线开口向下得a＜0，
根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得b＜0，
由抛物线与y轴交点在负半轴得c＜0．
因此，ac＞0，bc＞0．
故选C．
4．D
【详解】由题知，解得
∴二次函数的解析式为．
∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，故A选项不符合题意．
∵，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故B选项不符合题意．
令y＝0得，，解得x1＝0，x2＝2，∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）．
又∵抛物线的顶点坐标为（1，1），∴抛物线经过第一、三、四象限，故C选项不符合题意．
∵二次函数解析式为，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，故D选项符合题意．
5．C
【分析】根据题意，由对称轴为直线，开口向下，则，抛物线与x轴的另一个交点为，当时，可判断①；当时，可判断②；由，可判断③；由，代入计算，即可判断④；然后得到答案.
【详解】解：根据题意，
∵二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，
∴，抛物线与x轴的另一个交点为，，
由图可知，当时，函数图像在x轴上方，则，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线经过点，
∴当时，，故②错误；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，则，
∴，故④正确；
∴正确的选项有①③④，共3个；
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
6．A
【分析】根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点
∴＜0，故②错误
∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）
∴8a+2b=2
∴4a+b=1，故③错误；
由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）
则抛物线与直线y=x交于这两点
∴＜0可化为，
根据图象，解得：1＜x＜3
故④错误．
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．
7．D
【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴直线，图象与坐标轴的交点及其二次函数的最值逐项判断即可．
【详解】∵二次函数的图象开口向下，对称轴直线在y轴的右边，且抛物线与y轴交于正半轴，
∴，，，
∴，
∵二次函数的图象开口向下，
∴二次函数有最大值，且时，，
∴,
∴
∵故①正确；
由抛物线的图象可知当时，，故②正确；
∵二次函数的图象开口向下，
∴二次函数有最大值，且时，，
∴当时，，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线经过点，抛物线的对称轴直线为，
∴点C关于对称轴的对称点的坐标为，
∴一定是方程的一个根．
故正确的有①②③④,
故选：D.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．D
【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为，故B正确；
由于开口向下，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），
即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当时，，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即，故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
9．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2a与b的关系，进而判断②；根据x=﹣2时，y＞0可判断③；由x=-1和2a与b的关系可判断④．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴右边，
∴，即b<0 ，
∵抛物线与轴的交点在轴的下方，
∴，
∴，故①错误；
对称轴在1左侧，∴
∴-b<2a，即2a+b>0，故②错误；
当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故③正确；
当x=-1时，抛物线过x轴，即a-b+c=0，
∴b=a+c，
又2a+b>0，
∴2a+a+c>0，即3a+c>0，故④正确；
故答案选：B．
【点睛】此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键．
10．B
【分析】先根据图像信息求解原抛物线的解析式，然后利用平移法则求解即可．
【详解】解：由题意，原抛物线顶点为，过点，
∴设原抛物线解析式为：，
将代入得：，
∴，
∴原抛物线解析式为，
∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到，
故选：B．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，以及二次函数图象平移，掌握二次函数的顶点式以及平移法则是解题关键．
11．D
【分析】把点，，代入二次函数解析式进行求解，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，则；
故选D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
12．D
【分析】先根据各项中一次函数与二次函数的图象判断a、b、c的正负，二者一致的即为正确答案．
【详解】A、由一次函数图象得：，，由二次函数图象得：，，，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由一次函数图象得：，，由二次函数图象得：，，，矛盾，故本选项不符合题意；
C、由一次函数图象得：，，由二次函数图象得：，，，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由一次函数图象得：，，由二次函数图象得：，，，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象与系数之间的关系，理解基本性质，并灵活根据图象分析是解题关键．
13．②④⑤
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，
顶点在y轴右侧，则b＜0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），
∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，
∵a＞0，
∴10a+3b+c＞0，故②正确；
∵对称轴为x=1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y1＜y2，故③错误；
当x=时，y=a （）2+b （）+c==，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，
∴当x=时，y=a （）2+b （）+c=0，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（，0），故④正确；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又∵x=1时函数取得最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
∵b=﹣2a，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；
故答案为②④⑤．
14．-1
【详解】【分析】由“对称轴是直线x=-1，且经过点P（-3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），代入抛物线方程即可解得．
【详解】因为抛物线对称轴x=-1且经过点P（-3，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），
代入抛物线解析式y=ax2+bx+1中，得a+b+1=0．
所以a+b=-1，
又因为，
所以2a-b=0,
所以(a+b)(4a-2b+1)=-1(0+1)=-1
故正确答案为：-1
【点睛】本题考核知识点：二次函数的对称轴. 解题关键：利用抛物线的对称性，找出抛物线与x轴的另一个交点.
15．
【分析】将代入解析式求解．
【详解】解：将代入得，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
16．四
【详解】解：根据图象，由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，即a＜0，b＞0，c＞0．
因此，由于函数y=bx+c的，，故它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：四
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系：对于，函数，①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
17．②④
【分析】①由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、对称轴在y轴左侧及与y轴交于正半轴，可得出a＜0，﹣＜0，c＞0，进而可得出abc＞0，结论①错误；②由二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论②正确；③由当x=1时y＜0，当x=﹣2时y＜0，可得出a+b+c＜0，4a﹣2b+c＜0，用2（a+b+c）+（4a﹣2b+c）＜0可得出2a+c＜0，再结合a＜0即可得出3a+c＜0，结论③错误；④由当x=﹣1时y＞0及当x=1时y＜0，可得出a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，二者相乘即可得出（a+c）2＜b2，结论④正确．综上即可得出结论．
【详解】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＜0，c＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，结论①错误；
②∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，结论②正确；
③∵当x=1时，y＜0，当x=﹣2时，y＜0，
∴a+b+c＜0，4a﹣2b+c＜0，
∴2（a+b+c）+（4a﹣2b+c）＜0，
∴6a+3c＜0，即2a+c＜0．
由∵a＜0，
∴3a+c＜0，结论③错误；
④∵当x=﹣1时，y＞0，当x=1时，y＜0，
∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）=（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，结论④正确．
综上所述，正确的结论有②④．
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
18．（答案不唯一）；
【分析】添加，然后将三点坐标代入解析式，利用待定系数法，即可求解．
【详解】解：可以添加，
∵二次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的方法是解题的关键．
19．(1)①P；②位似，相似．
(2)①图见解析，点，的坐标分别为，；
②和是位似三角形，见解析．
【分析】（1）根据位似的概念可知图中的位似中心以及位似多边形是特殊的相似多边形；
（2）点B的横坐标与纵坐标相等可联立二次函数表达式与求得点B的坐标，根据位似的概念可求出点A的坐标．运用待定系数法可求出过O，，三点的抛物线的表达式为，通过联立二次函数解析式与可求得点M和N的坐标，最后根据题目中的提示即可得出结论．
【详解】（1）解∶①在图1中可观察得到位似中心为点P；
②根据位似的概念可知，位似多边形为特殊的相似多边形．
（2）①，如图所示．
点B的横坐标与纵坐标相等，
点B在直线上．
令，
解得，（舍去），
则点B的坐标为．
令，解得，．
点A的坐标为．
点O为位似中心，相似比为，
．
点，的坐标分别为，．
②和是位似三角形．
理由如下：
新抛物线经过点O，，，
可设新抛物线的表达式为．
将代入，得，
解得．
经过O，，三点的抛物线的表达式为．
令，
解得，（舍去）．
即点．
同理可得，点．
．
，
和是位似三角形．
【点睛】本题考查了位似的概念及位似与二次函数结合的应用问题，考查了二次函数与直线的交点和用待定系数法求二次函数的表达式．理解位似的概念是本题的难点，能熟练运用待定系数法求出二次函数表达式并将二次函数表达式与含参数的一次函数解析式联立求解是解决本题的关键．
20．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
解法一：用顶点式求解；
解法二：用两点式求解；
解法三：用一般式求解．
【详解】解：解法一：根据表格可知二次函数图象的顶点坐标为，
可设二次函数的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴该二次函数的解析式为．
解法二：根据表格可知二次函数图象与x轴的交点坐标为和，可设二次函数的解析式为，
将代入得，
解得a＝1，
∴该二次函数的解析式为．
解法三：设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过点，
∴．
将和代入，
得
解得
∴该二次函数的解析式为．
21．(1)
(2)；
【分析】（1）根据已知新定义和当时，得出，求出即可；
（2）把的值代入函数，根据顶点在轴上，横坐标是0，即可求出，再把的值代入求出即可．
【详解】（1）解： ，，的“生成函数”为：；
，
当时，，
，
解得：，，
又∵，
∴．
（2）解：由（1）可知：当时，
又∵二次函数的图象的顶点在轴上，
∴
∴，
∴；．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求函数的解析式的应用，能读懂题意是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度．
22．(1)；
(2)；
(3)．
【详解】解：（1）由题意，∵二次函数为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，∴二次函数的表达式为．
又∵抛物线经过点，∴，
∴，∴二次函数的表达式为；
（2）由题意，∵点向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度，
∴平移后的点为．
又∵在的图象上，
∴，∴或（舍去）∴；
（3）由题意，当时，最大值与最小值的差为，
解得，不符合题意，舍去．
当时，最大值与最小值的差为，符合题意．
当时，最大值与最小值的差为，
解得或，不符合题意，舍去，
综上所述，n的取值范围为
23．该二次函数的解析式为
【详解】解法一：根据表格可知二次函数图象的顶点坐标为（3，－4），
可设二次函数的解析式为，将（1，0）代入得，0＝a（1－3）2－4，解得a＝1，
∴该二次函数的解析式为．
多解法
解法二：根据表格可知二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）和（5，0），可设二次函数的解析式为，
将（0，5）代入得，解得a＝1，
∴该二次函数的解析式为．
解法三：设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过点（0，5），∴c＝5．
将（1，0）和（2，－3）代入，
得解得
∴该二次函数的解析式为．
24．
【分析】根据抛物线的对称轴，即可确定b的值，将点（0，1）代入函数解析式确定c的值，由此即可确定函数解析式．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴．
∵抛物线经过点（0，1），代入函数解析式可得：
∴．
∴该抛物线的解析式为．
【点睛】题目主要考查利用对称轴及点的坐标确定函数解析式，熟练掌握根据待定系数法确定函数解析式是解题关键．
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