30.4二次函数的应用同步练习（含解析）

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30.4二次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
2．出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售出(6－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y最大时，x的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知x为矩形的一边长，其面积为y，且， 则自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．0≤x≤4 D．
4．烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”，特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，礼炮点火升空后会在最高点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为（　　）
A．91米 B．90米 C．81米 D．80米
5．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE=BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将一根长的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是（　　）

A． B． C． D．
8．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
10．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　)
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　　）
A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s
C．小球抛出3s时，速度为0 D．当s时，小球的高度m
12．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）
A．5元 B．10元 C．0元 D．36元
二、填空题
13．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一直线上．点从点出发，以的速度向左运动，运动到点时停止运动，则重叠部分（阴影）的面积与时间之间的函数关系式为 ．
14．用一根长为8m的木条，做一个长方形的窗框，若宽为xm，则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为 ．
15．某商人将进价为每件元的某种商品按每件元出售，每天可销出件，经试验，把这种商品每件每提价元，每天的销售量就会减少件，则每天所得的利润（元）与售价（元/件）之间的函数关系式为： ．
16．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，当水面宽AB＝1.6米时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．涵洞所在抛物线的解析式是 ．
17．用一块长方形的铁片，把它的四个角各自剪去一个边长是4cm的小方块，然后把四边折起来做成一个没有盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，则盒子的容积y（cm3）与铁片宽x（cm）的函数关系式为 ．
三、解答题
18．某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
19．用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形的最大面积．
21．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为多少m2？
22．工艺品厂计划生产某种工艺品，每日最高产量是40个，且每日生产的产品全部售出．已知生产x个工艺品成本为P（元），售价为每个R（元），且P与x，R与x的关系式分别为P=500+30x，R=170－2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得利润为1950元？
（2）要想获得最大利润，每天必须生产多少个工艺品？
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点共线）.当等边△DEF的边DF、EF与Rt△ABC的边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）时，设AD=x．
（1）则△FMN的形状是_______,△ADM的形状是_______；
（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长．
《30.4二次函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A C C A C D A
题号 11 12
答案 A A
1．A
【分析】根据增长率问题，一般“增长后的量增长前的量（1+增长率）”找出等量关系列方程即可
【详解】第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，
第三个月的增长率为
第一个月投放辆单车，
第二个月投放辆
第三个月投放量
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，即“增长后的量增长前的量（1+增长率）”．
2．C
【分析】先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可．
【详解】解：由题意可得函数式y=（6-x）x，
即y=x(6-x)=-x2+6x，
当x=-==3时，y有最大值．
当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
故选：C．
【点睛】：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
3．B
【分析】本题考查了自变量的取值范围，读懂题意是解题关键．
根据矩形的边长大于0，列出两个不等式，解不等式即可．
【详解】由题意得,
解得．
选B．
4．A
【详解】解：把h（m）与飞行时间t（s）的关系式化成顶点式为：，
∴当t=6时，炮弹到达它的最高点，最高点的高度是91m．
故选A.
5．C
【分析】先求解的长度，再利用三角形的面积公式列二次函数关系式即可.
【详解】解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设
故选：C
【点睛】本题考查的是二次函数的几何应用，列二次函数关系式，掌握“利用图形面积公式列二次函数关系式”是解题的关键.
6．C
【详解】解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积=BP BQ，
可得y= 3x x=；
故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积=BQ BC，
可得y= x 3=；
故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积=AP BQ，
可得y= （9﹣3x） x=；
故D选项错误．
故选：C．
7．A
【分析】设围成的矩形的一边长为，围成的矩形面积为，根据矩形面积公式可得S与x 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：设围成的矩形的一边长为，围成的矩形面积为，则另一边长为，根据题意，得：
，
∴当时，．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确列出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．C
【分析】分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
【详解】解：方案1，设米，则米，
则菜园的面积
当时，此时散架的最大面积为8平方米；
方案2，当∠时，菜园最大面积平方米；
方案3，半圆的半径
此时菜园最大面积平方米>8平方米，
故选：C
【点睛】本题主要考查了同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为8米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
9．D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
10．A
【详解】）∵y=－x2＋4x=，
∴当x=2时，y有最大值4，
∴最大高度为4m．
故选A．
11．A
【分析】选项A、B、C可直接由函数图象中的信息分析得出答案；选项D可由待定系数法求得函数解析式，再将t＝1.5s代入计算，即可作出判断．
【详解】解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故选项A错误；
B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故选项B正确；
C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故选项C正确；
D、设函数解析式为，将（0，0）代入得：
，
解得，
∴函数解析式为，
∴当t＝1.5s时，，
∴选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
12．A
【详解】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，
则y=（135﹣x﹣100）（100+4x），即：y=﹣4（x﹣5）2+3600，
由﹣4＜0，可得当x=5元时，每天获得的利润最大．
故选A．
【点睛】考点：二次函数的应用
13．
【分析】根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
，
∴重叠部分也是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
14．y=-x2+4x
【详解】试题分析：由题意8m为长方形的周长，即可表示出长方形的长，再根据长方形的面积公式求解即可.
由题意得函数关系式为.
考点：根据实际问题列函数关系式
点评：解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出函数关系式.
15．
【分析】每天所得的利润=（售价-进价）×（原来的销售量-多于10元的售价×10），把相关数值代入化简即可．
【详解】解：每件可获得的利润为（x-8）元，可售出的数量为100-（x-10）×10=200-10x，
∴y=（x-8）×（200-10x）=-10x2+280x-1600，
故答案为y=-10x2+280x-1600．
【点睛】考查列二次函数关系式；得到利润的等量关系是解决本题的关键；得到销售量是解决本题的难点．
16．
【解析】略
17．y=8x2﹣96x+256（x＞8）
【详解】试题解析：盒子的长为2x-2×4=2x-8，宽为x-2×4=x-8．
则容积：y=8x2-96x+256（x＞8）．
故答案为y=8x2-96x+256（x＞8）．
18．(1)
(2)该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元
【分析】（1）设 y与x的函数关系式为，将图中坐标代入，利用待定系数法求解；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，根据“销售利润单件利润销量”列出销售利润w关于销售单价x的关系式，求出w的最值即可．
【详解】（1）解：设 y与x的函数关系式为，
将，代入，
得，
解得，
y与x的函数关系式为；
（2）解：设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，
由题意得
，
当时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的实际应用，解题的关键是根据“销售利润单件利润销量”列出销售利润w关于销售单价x的关系式．
19．y是x的二次函数
【分析】根据矩形的周长表示出长，根据面积=长×宽即可得出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：设宽为xcm，
由题意得，矩形的周长为800cm，
∴矩形的长为cm，
∴y=x×=﹣x2+400x（0＜x＜400）．
y是x的二次函数．
【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式及二次函数的定义，属于基础题，表示出矩形的长是解答本题的关键．
20．(1)
(2)点的坐标为：，四边形的面积的最大值为
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，求一次函数解析式：
（1）将、的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于的面积为定值，当四边形的面积最大时，的面积最大；过作y轴的平行线，交直线于，交轴于，求得直线的解析式，可设出点的横坐标，然后根据抛物线和直线的解析式求出、的纵坐标，即可得到的长，以为底，点横坐标的绝对值为高即可求得的面积，由此可得到关于四边形的面积与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形的最大面积及对应的点坐标．
【详解】（1）解：将、两点的坐标代入二次函数解析式得，，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，

设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则点的坐标为；
在中，当时，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，四边形的面积最大，
此时点的坐标为：，四边形的面积的最大值为．
21．这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为．
【分析】要求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为，中间墙长为，根据题目所给出的条件列出与的关系式，再根据函数的性质求出的最大值．
【详解】解：如图所示：
设总占地面积为，的长度为，
由题意知：，
，
，，
，
，
，
当时，可取得最大值，最大值为144．
答：这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为．
【点睛】本题考查实际问题与二次函数最值，解题的关键是需要根据题目列出函数关系式，然后利用函数的性质求出该问题的最值．
22．（1）35；（2）35.
【分析】①通过理解题意，找出题目中所给的等量关系，再根据这一等量关系列出表示利润的函数解析式，并把1950代入求解．
②根据二次函数最值的求法，求得最值．
【详解】（1）根据题意可得
（170－2x）x－（500+30x）=1950．
解得x=35．
（2）设每天所获利润为W．
W=（170－2x）x－（500+30x）
=－2x2+140x－500
=－2（x2－70x）－500
=－2（x2－70x+352－352）－500
=－2（x2－35）2+1950．
当x=35时，W有最大值1950元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟悉的运用二次函数的知识点.
23．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质：
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点C作x轴的垂线交于点M，交x轴于点H，则轴，可知，由此可得，设，且，则，所以，当时，有最大值，即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：将，代入，
得
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，过点C作x轴的垂线交于点M，交x轴于点H，则轴，

∴，
∴，
设直线的表达式为，
把，代入表达式得，
解得
∴直线的表达式为．
设，且，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的最大值为，此时点C的坐标为．
24．（1）直角三角形；等腰三角形；（2）当0【详解】（1）直角三角形、等腰三角形
如图1，∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=∠F=60°
∵∠A=30°，
∴∠AMD=∠FDE-∠A=30°，
∴∠FMN=∠AMD=30°，
∴∠MNF=90°，
即△FMN是直角三角形；
∵∠FDE=60°，
∴∠AMD=∠FDE-∠A=30°，
∴∠AMD=∠A
∴DM=DA，
∴△ADM是等腰三角形；
（2）如图2，∵△ADＭ是等腰三角形，
∴DM=AD=x，FM=4-x.
又∵∠FED=60°，∠A=30°，
∴∠FNM=90°
∴MN=MF·sinF= ，
FN=MF=（4-x）
∴
当0当2≤x<6时，
CD=6-x
∵∠BCE=90°，∠PEA=60°，
∴PC=
∴
（3）过点M作MG⊥AC于点G，由（2）得DM=x
∵∠MDG=60°，
∴MG=
∵∠MNF=90°，∠MFN=60°，
∴MN=
要使以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF相切，则有MG=MN，
即：=
解得x=2，
圆的半径MN=
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