30.5二次函数与一元二次方程的关系同步练习（含解析）

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30.5二次函数与一元二次方程的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-4，0)，对称轴为直线x=-1，下列结论：
①abc>0；
②2a-b=0；
③一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-4，x2=1；
④当y>0时，-4其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，矩形OABC，点A的坐标为，AB＝1．若抛物线与矩形OABC的边界总有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）．
A．c＞8或c＜－1 B．－1＜c＜8 C．c＞1或c＜－8 D．－8＜c＜1
3．二次函数（）的图象如图所示，则方程有实数根的条件为（ ）
A． B．， C．， D．
4．关于的不等式的解集在数轴上表示如下，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．已知二次函数，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1 B．m≥1 C．m≥－3 D．m≤－3
6．已知二次函数 图象上部分点的坐标 的对应值如表所示：则方程 的根是（ ）
… 0 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
A．0或4 B． 或 C． 或 D．无实根
7．已知抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴是直线，有下列结论：
；关于的方程有两个不等的实数根；③．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞3
9．二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　）
A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24
10．二次函数的图象与轴交点的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，y0时自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣1x5
B．x﹣1或 x5
C．x﹣1且x5
D．x﹣1或x5
12．如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
二、填空题
13．如图，已知函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程的解为x= ．
14．关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是 ．
15．根据下列表格中的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是 ．
x 6.17 6.18 6.19 6.20
﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
16．抛物线与y轴的交点坐标是 ．
17．若抛物线y＝a x 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），则一元二次方程a x 2＋bx＋c ＝0（a≠0）的根为 ．
三、解答题
18．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)求的面积．
19．定义：表示不超过实数x的最大整数，如：．函数、的图象如图所示．
(1)探究填空：点是否在函数的图象上__________；
是否在函数的图象上__________；（填“在”或“不在”）
(2)判断：是否是方程的解，并说明原因；
(3)观察函数、的图象，请你求出方程的所有的解．
(4)拓展：对于方程：，请你结合方程、函数及图象的知识继续探究：
①当c为何值时，方程只有一个解，并求出方程的解；
②若方程有两个解，请直接写出c的取值范围__________．
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线交x轴的正半轴于点A，点B（，a）在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC，以AB、BC为邻边作ABCD，记点C纵坐标为n，
(1)求a的值及点A的坐标；
(2)当点D恰好落在抛物线上时，求n的值；
(3)记CD与抛物线的交点为E，连接AE，BE，当△AEB的面积为7时，n= ．（直接写出答案）
22．已知二次函数．
（1）解析式化为的形式；
（2）求出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
23．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过点A(2，5)，B(0，2)，C(4，2)．
（1）求这个二次函数关系式；
（2）若在平面直角坐标系中存在一点D，使得四边形ABDC是菱形，请直接写出图象过B、C、D三点的二次函数的关系式；
《30.5二次函数与一元二次方程的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C A B C C D C
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】根据抛物线的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）逐个判断即可．
【详解】∵抛物线开口向下
∵对称轴
同号，即
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方
，则①正确
∵对称轴
，即，则②正确
∵抛物线的对称轴，抛物线与x轴的一个交点是
∴由抛物线的对称性得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而一元二次方程的解是，则③错误
由图象和③的分析可知：当时，，则④正确
综上，正确的结论有①②④这3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记函数的图象与性质是解题关键．
2．D
【分析】求得抛物线经过点A时的c的值，然后根据图象即可求得．
【详解】解：矩形OABC，点A的坐标为（2，0），AB＝1，
∴OC＝AB＝1，
把A（2，0）代入y＝2x2＋c得，0＝8＋c，解得c＝ 8，
由图象可知， 8＜c＜1，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，数形结合是解题的关键．
3．A
【分析】根据题意和题目中的函数图像，利用二次函数的性质，二次函数和一元二次方程的关系，可以得到的取值范围，从而可以得到答案．
【详解】由图像可知：
二次函数的最小值为，
时，的最小值是，
方程有实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
4．C
【分析】先根据在数轴上表示不等式解集的方法求出不等式的解集，再列出关于a的方程，求出a的取值范围即可．
【详解】解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为x≤0，解不等式2x-a≤-1得，x≤，即=0，解得a=1．故选C．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
5．A
【分析】根据a=1可得知抛物线的开口向上，由“当x≥1时，y随x的增大而增大”可得出抛物线的对称轴x≤1，结合给定二次函数解析式利用抛物线的对称轴为x=-，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】∵a=1>0，
∴抛物线的开口向上，
∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线的对称轴x≤1，
∵二次函数的解析式为y=x2-（m+1）x+1，
∴对称轴为x==≤1，
解得：m≤1.
故选A.
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，根据给定的单调区间确定对称轴的范围再根据单调性结合二次函数的性质得出关于m的一元一次不等式是解题关键．
6．B
【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点（，-1），由于方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，则方程ax2+bx+1.37=0的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.37=0的根为x1=，x2=4-．
【详解】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c=0.37，
因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），
所以抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线经过点（，-1），
所以抛物线经过点（4-，-1），
二次函数解析式为y=ax2+bx+0.37，
方程ax2+bx+1.37=0变形为ax2+bx+0.37=-1，
所以方程ax2+bx+0.37=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+1.37=0的根为x1=，x2=4-．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7．C
【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，由题意得到抛物线的开口向下，对称轴判断，与的关系，得到即可判断；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在轴上方，即可判断；根据抛物线经过点以及，得到，即可判断，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故错误；
∵抛物线开口向下，与轴有两个交点，
∴顶点在轴的上方，
∵，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于的方程有两个不等的实数根，故正确；
∵抛物线经过点，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线，即，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确，
故选：．
8．C
【详解】解：∵二次函数的图象与正比例函数的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），
∴由图象得：若，
则x的取值范围是：2＜x＜3．
故选C．
9．D
【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．
【详解】抛物线的对称轴为直线，
而抛物线在时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，
，
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的上方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；
当时，则，
令，则，
解得，，
则有当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方；
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
10．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，求出的判别式的值，即可作答．
【详解】解：因为二次函数的图象与轴相交时，，
即，
所以
则有两个不相等的实数根，
∴二次函数的图象与轴有两个交点，
故选：C
11．D
【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点坐交点坐标，根据图象即可解决问题．
【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴是x=2，与x轴的一个交点坐标为 (5，0)，
设与x轴的另一个交点横坐标为x，
则2-x=5-2，
∴x=-1，
∴与x轴的另一个交点坐标为(-1，0)，
∴y＜0时，x的取值范围为x＜-1或x＞5．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
12．D
【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
13．
【分析】把y=1代入求出P的坐标，根据函数的图象得出函数得出答案即可．
【详解】解：把y=1代入得：，
即，
∵函数与的图象交于点P，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了对二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力．
14．②③
【分析】先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可；③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．
【详解】解：联立，得，
∴ =，当时， 有可能≥0，
∴抛物线与直线有可能有交点，故①错误；
抛物线的对称轴为：直线x=，
若抛物线与x轴有两个交点，则 =，解得：a＜1，
∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
∵当a＜0时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；
抛物线的顶点坐标为：，
∵，
∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），
∴，解得：，故③正确．
故答案是：②③．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．
15．6.18＜x＜6.19
【详解】解：由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【点睛】考点：抛物线与x轴的交点．
16．
【分析】把代入解析式求出y,根据y轴上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：当时，，
则抛物线与y轴交点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
17．xl＝5，x2＝1
【分析】根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的两个交点关于直线x=3对称，据此可以求得抛物线与x轴的另一个交点，即可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
又∵抛物线y＝a x 2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标为方程a x 2＋bx＋c＝0的根，
∴方程a x 2＋bx＋c＝0的根为xl＝5，x2＝1．
故答案为：xl＝5，x2＝1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是掌握抛物线的对称性．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）将A点坐标代入抛物线即可求出m的值，则二次函数解析式可得，则C点坐标可得；根据点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，可知两点的纵坐标相等，即B点坐标可求，再根据待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）连接，，设直线交y轴于点N，根据即可作答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像过，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：，
化成一般式为：，
令，则有：，
∴，
∵点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴点B、点C的纵坐标相等，
∴令，则有：，
解得：，，
∴，
设直线解析式为：，
∵，，
则有：，
解得：，
∴直线解析式为：，
即：二次函数的解析式为：，直线解析式为：，
（2）解：连接，，设直线交y轴于点N，如图，
在（1）中有：二次函数的解析式为：，直线解析式为：，
令，则有：，
∴，
∵，，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
即的面积为6．
【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合，考查了用待定系数法求解一次函数、二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，求解三角形面积等知识，掌握二次函数的图形与性质是解答本题的关键．
19．(1)在，在
(2)是，见解析
(3)或或
(4)①；②且
【分析】（1）把x=1代入，求出y值与1比较即可判定；
（2）把x=-2代入方程左右两边，求出值比较即可判定；
（3）利用图象法求解即可
（4）①当时，利用图象法求解，
②当1【详解】（1）解：把x=1代入，得y=[1]=1，
把x=1代入y=-x2+2=-12+2=1,
所以点A(1,1)在函数的图象上，在函数的图象上，
故答案为：在，在；
（2）解：把x=-2代入方程，左边=[-2]=-2，右边=-(-2)2+2=-4-2=-2，
∴左边=右边，
∴x=-2是方程的解；
（3）解：由图象可得，当x>0时，方程的解为x=1，
当-2≤x<0时，方程的解为x=-2，
当-2-3=-x2+2，解得x=,
∴方程的解为x=-
当x<-3时，方程无解，
综上，方程的所有解为；x=1或x=-2或x=-；
（4）解：①由图象可知：当时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有一个交点，
∴方程只有一个解
则，解得或（舍）
∴方程的解为；
②由图象可知：当1当时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有一个交点，
当0当c=0时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有三个交点，
当-1当c<-1时，函数y=[x]与函数y=-x2+c没有交点，
∴方程有两个解，c的取值范围为－1【点睛】本题考查新定义，二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握利用图象法求解一元二次方程的解是解题的关键．
20．(1)，
(2)
(3)存在点F，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【分析】（1）根据对称轴和过点列二元一次方程组求解即可；
（2）如图：过点M作交于D，设点，则；然后表示出，再根据是等边三角形可得,，根据三角函数解直角三角形可得，进而求得即可解答；
（3）如图可知：线段为菱形的边和对角线，然后通过作图、结合菱形的性质和中点坐标公式即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：
，解得：，
所以抛物线的函数表达式为；
当时，，则顶点M的坐标为．
（2）解：如图：过点M作交于D
设点，则,
∴，
∵是等边三角形,
∴,
∴,即，解得：或（舍去）
∴，，
∴该三角形的边长．
（3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形
①如图：线段作为菱形的边，
当为菱形的对角线时，作关于直线的对称线段交于E，连接,作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时．
当为菱形对角线时，，
设，，
则，解得：或，
∴或
②线段作为菱形的对角线时，
如图：设
∵菱形,
∴,的中点G的坐标为，点G是的中点，
∴，解得，
∴，
设，
则有：，解得：，
∴．

综上，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、等边三角形的性质、解直角三角形、菱形的判定等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
21．(1)， A（3，0）
(2)
(3)
【分析】（1）将，y=a代入抛物线的解析式可求得a的值，求得方程x2-3x=0的解可得到点A的横坐标；
（2）过D作DG⊥对称轴于G，BH⊥x轴于H．先证明△ABH≌△DCG，从而得到CG=BH=，DG=AH=，然后由xD=OF+DG可求得点D的横坐标，然后将x=5代入抛物线的解析式可求得点D的纵坐标，最后由点D的坐标可得到点C的纵坐标；
（3）连接AC，过点B作BH⊥OA，垂足为H．先证明△AFG∽△ABH，依据相似三角形的性质可求得GF=，则CF=，然后依据S△ABC=可得到关于n的方程，从而可求得n的值．
【详解】（1）解：（1）当时，，
∴B（，）．
由x2-3x=0，得x1=0（舍去），x2=3．
∴A（3，0）．
（2）如图1所示：过D作DG⊥对称轴于于G，BH⊥x轴于H．
∵ABCD为平行四边形，
∴CDAB，CD=AB．
∴∠DCG=∠AEF．
∵BHEF，
∴∠HBA=∠FEA．
∴∠HBA=∠DCG．
在△ABH和△DCG中
，
∴△ABH≌△DCG．
∴CG=BH=，DG=AH=，
∴，将x=5代入抛物线的解析式得：y=10．
∴；
（3）如图2所示：连接AC，过点B作BH⊥OA，垂足为H．
∵DCBA，
∴S△ABE=S△BAC．
由（2）可知：AG=，AH=，BH=，
∵GFBH，
∴△AFG∽△ABH．
∴，即，
解得：GF=，
∴CF=．
∵，
∴，解得n=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，三角形的面积公式，求得点D的坐标是解答问题（2）的关键，依据列出关于n的方程解答问题（3）的关键．
22．（1）（2）（1，0），（5，0），（0，5）
【分析】（1）通过配方得到；
（2）先把抛物线的解析式写成交点式得到=（x-1）（x-5），即可得到抛物线与x轴的交点坐标；把x=0代入原函数关系式可确定抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：（1）；
（2）∵=（x-1）（x-5），
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（5，0）；
令x=0，y=5，
故抛物线与y轴交点（0，5）．
【点睛】解决这个问题的关键之处在于认真审题，仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的二次函数的解析式.熟知二次函数的综合应用是解决此题的突破口.
23．（1）y=x2－4x＋3；（2）=2；（3）存在符合条件的点E，且坐标为：、、、．
【分析】（1）根据题意可设函数解析式为，然后把点C代入解析式求解即可；
（2）由（1）及题意可设直线BC的解析式为y=kx＋3，然后求解，进而可求证△ACD为直角三角形，然后利用面积计算公式求解即可；
（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有当∠DFE=90°，即 DF∥x轴和当∠EDF=90°，然后进行分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后，
得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式：；
（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得：
3k＋3=0，k= －1，
∴直线BC：y=－x＋3；
由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；
∴，，，
即：，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴= AD CD==2；
（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
，解得
当x=2+时，y=－x+3=1－；
当x=2－时，y=－x+3=1+；
∴、；
②∠EDF=90°，
易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有：
，解得 ；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴、；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、、、．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形存在性的讨论是解题的关键．
24．解：（1）y＝－x2＋3x＋2；（2）y＝x2－3x＋2
【分析】（1）分别把，，代入，利用待定系数法可得，，从而得出这个二次函数关系式；
（2）先求出点的坐标，再把、、三点的坐标代入，即可求出二次函数的关系式．
【详解】解：（1）分别把，，代入，
得
解得，
故这个二次函数的解析式为：；
（2）点、、的坐标分别是，，．
当四边形是菱形时，点的坐标是，
设二次函数的解析式为：，
把、、三点的坐标代入得：
解得：
所以图象过、、三点的二次函数的关系式：
．
【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，关键是根据菱形的性质和点、、的坐标求出点的坐标．
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