31.4 用列举法求简单事件的概率 同步练习（含解析）

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31.4用列举法求简单事件的概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．甲、乙两人做“锤子、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：剪刀胜布，布胜锤子，锤子胜剪刀，若两人一样，则算打平．若游戏只进行一局，那么两人打平的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，三辆车全部继续直行的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“0”，“1”，除数字外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之积为0的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在一个不透明的袋子中装有2个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机连续抽取两本（不放回），两本都是小说的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，4，5，7，9，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．为了解本地区人均淡水消耗量，需从一名男生和两名女生中随机抽调两人，组成调查小组，则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为2的线段的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类. 现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：＝3的解是负数，且使关于x的函数y＝图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为 ．
14．如图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转．若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为 ．
15．在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率是 ．
16．某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）．
17．把1枚质地均匀的普通硬币重复掷三次，落地后三次都是正面朝上的概率是 ．
三、解答题
18．为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79．则这组数据的中位数是　 　；众数是　 　；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是　 　；
（4）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
19．在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球．甲袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个．
(1)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．
(2)若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率是 ．
20．一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，篮球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
21．即将在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了我市的全民体育热，小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A、B两个进馆通道和C、D、E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表或画树状图的方注列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
22．小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
23．我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，______，C等级对应的圆心角为______度；
(3)小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
24．四张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上，
（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如下：随机抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再抽一张，将抽取的第- -张第二张卡片上的数字分别作为一个两位数的十位数和个位数，若组成的两位数不超过32，则小贝胜，反之的 小晶胜.你认为这个游戏公平吗 请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请修改图游戏规则，使游戏公平.
《31.4用列举法求简单事件的概率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B B C C A A C
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】列举出所有情况，看两人打平的情况数占所有情况数的多少即可．
【详解】解：如图，
共有9种情况，打平的情况数有3种，所以概率为．
故选：C．
【点睛】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到两人打平的情况数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
2．D
【分析】设直行、左转和右转分别为，根据题意画出树状图即可求解．
【详解】解：设直行、左转和右转分别为，根据题意画出树状图如下，
共有27种等可能结果，其中符合题意的有1种，
三辆车全部继续直行的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查了画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
3．B
【分析】画树状图列出所有等可能结果，再计算概率即可.
【详解】解：画树状图如下：
同时抛掷两枚均匀硬币，朝上的结果有正正、正反、反正、反反，共4种，其中正面都同时向上的有1种，
∴正面都同时向上的概率=，
故选：B.
【点睛】本题考查了用树状图或表格计算概率，正确画出树状图或表格是解题的关键.
4．B
【分析】结合题意，根据树状图法求解概率，即可得到答案．
【详解】根据题意，如下图，总共有四种结果，其中两次记录的数字之积为0的情况有3种，
∴两次记录的数字之积为0的概率是：
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握树状图法求解概率．
5．B
【详解】列表得：
1 2 3 4
1 － 2＋1=3 3＋1=4 4＋1=5
2 1＋2=3 － 3＋2=5 4＋2=6
3 1＋3=4 2＋3=5 － 4＋3=7
4 1＋4=5 2＋4=6 3＋4=7 －
∵共有12种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况，
∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为：．故选B．
6．C
【分析】根据列表法或树状图法表示出来所有可能，然后找出满足条件的情况，即可得出概率．
【详解】解：将作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”简写为：业、睡、机、读、体，利用列表法可得：
业 睡 机 读 体
业 （业，睡） （业，机） （业，读） （业，体）
睡 （睡，业） （睡，机） （睡，读） （睡，体）
机 （机，业） （机，睡） （机，读） （机，体）
读 （读，业） （读，睡） （读，机） （读，体）
体 （体，业） （体，睡） （体，机） （体，读）
根据表格可得：共有20种可能，满足“作业”和“手机”的情况有两种，
∴ 抽到“作业”和“手机”的概率为：，
故选：C．
【点睛】题目主要考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
7．C
【分析】本题主要考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．
【详解】解：根据题意画树状图，如图所示：
∵共有9种等可能的情况，其中两次都摸到红色的小球的情况数有4种，
∴两次都摸到红色的小球的概率是．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件的结果数目m，然后根据概率公式计算事件的概率．
画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解： 用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文，画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，
所以从中随机抽取2本都是小说的概率．
故选：A．
9．A
【分析】根据题意确定抽取的三边长包含的基本事件，抽取的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件，即可求出能构成三角形的概率．
【详解】解：抽取的三边长包含的基本事件为：（2，4，5），（2，4，7），（2，4，9），（2，5，7），（2，5，9），（2，7，9），（4，5，7），（4，5，9），（4，7，9），（5，7，9）共10个；
设事件B=“抽取的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形”，
则事件B包含的基本事件有：（2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9）共4个，
故P（A）=.
故选：A．
【点睛】本题主要考查用列举法来求古典概率的问题，解题的关键是列举要不重不漏．
10．C
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
男 女 女
男 （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，女）
共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有4种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
故选：C．
11．D
【分析】先求出连接两点所得的所有线段总数，再用列举法求出取到长度为2的线段条数，由此能求出在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为2的线段的概率．
【详解】∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，
连接任意两点均可得到一条线段，
∴连接两点所得的所有线段总数n==15条，
∵取到长度为2的线段有：FC、AD、EB共3条
∴在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为2的线段的概率为：
p＝．
故选：D
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆以及几何概率，正确利用正六边形的性质得出AD的长是解题关键．
12．C
【分析】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，画出树状图，根据概率公式，即可求解.
【详解】设投放可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾的垃圾桶分别为：A，B，C，D，设可回收物、易腐垃圾分别为：a，b，

∵将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶一共有12种可能，投放正确的只有一种可能，
∴投放正确的概率是：.
故选C.
【点睛】本题主要考查画树状图求简单事件的概率，根据题意，画出树状图，是解题的关键.
13．
【分析】利用分式方程的解和反比例函数的性质可得m的取值范围，进而可得m的值，然后再利用概率可得答案．
【详解】解：＝3，
解得，x＝﹣3﹣m，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：m＞﹣3，且m≠﹣2，
∵关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3，
∴﹣3＜m＜3，且m≠﹣2，
∴m＝﹣1或0或1或2，有4种可能，
故概率为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质和分式方程的解，以及概率，关键是正确确定m的取值范围．
14．
【详解】列表法或树状图法，概率．
【分析】画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两辆汽车经过该路口都向右转的有1种情况，
∴两辆汽车经过该路口都向右转的概率为：．
15．
【详解】试题分析：列表得：
1 2 3 4
1 （1，1） （1， 2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
∵共有16种等可能的结果，数字x、y满足y=﹣x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），
∴数字x、y满足y﹣x+5的概率为：．
故答案为．
考点：1、概率；2、一次函数
16．出海
【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可．
【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，，
下月是好天气的可能性坏天气的可能性；
又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，
出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元，
不出海：（元，
，
船队队长作出决策为：出海．
故答案为：出海．
【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键．
17．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与三次都是正面朝上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，三次落地后都是正面朝上的只有1种情况，
∴三次落地后都是正面朝上的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用树状图法求概率的知识，注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
18．（1）75，76；（2）30人；（3）；（4），说明见解析．
【分析】（1）先把这组数据从小到大排列，然后直接得到中位数及众数；
（2）根据直方图得到80≤x＜90范围内选取A课程的人数，然后直接进行求解即可；
（3）直接根据概率的求法进行求解即可；
（4）根据题意画出树状图，然后求解概率即可．
【详解】解：（1）在72，73，74，75，76，76，79这组已经按从小到大排列好的数据中，中位数为75，众数为76；
故答案为：75，76；
（2）观察直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x＜90范围内选取A课程的有9人，所占比为，
那么估计该年级100名学生，学生成绩在80≤x＜90范围内，选取A课程的总人数为（人）；
（3）因为学校开设了四门校本课程供学生选择，小乔随机选取一门课程，则他选中课程D的概率为；
故答案为：；
（4）因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列树状图如下：
等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种，
所以，他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是．
【点睛】本题主要考查数据分析及概率，关键是分析题目所给的数据，然后根据数据求解即可，画树状图及列举法是求概率常用的方法．
19．(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意画出树状图，得出等可能的情况总数和两次都是白球的次数，即可求出概率；
（2）先找出从每个布袋中各摸出2个小球的可能情况数，然后画出树状图，得出等可能的情况总数和符合题意的情况数，即可求出概率．
【详解】（1）根据题意画出树状图，如图所示：
共有9钟等可能的情况，其中两次都是白色小球的有２次，因此摸出的都是白色小球的概率为；
（2）从第一个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白１、白１白２、红白２，从第二个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白、红黑、黑白，根据题意列出树状图，如图所示：
共有9种等可能情况，其中摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的情况数有５种，因此摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求比较复杂的情况概率，画出树状图或列出表格是解题的关键．
20．(1)黄球有1个；(2)；(3).
【分析】（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：，解此方程即可求得答案．
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，
根据题意得：，解得：x=1．
经检验：x=1是原分式方程的解．
∴口袋中黄球的个数为1个．
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，
∴两次摸出都是红球的概率为：．
（3）∵摸到红球得5分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，
∴乙同学已经得了7分．
∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；
∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为：．
21．
【分析】通过列表展示所有6种等可能的结果数，找出恰好经过通道A与通道D的结果数，然后根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，求解．
【详解】解：列表如下：
C D E
A AC AD AE
B BC BD BE
∵由表可知共有6种等可能的结果数，其中恰好经过通道A与通道D的结果有1种，
∴P(恰好经过通道A与通道D)=．
答：他恰好经过通道A与通道D的概率为．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是列出所有等可能的结果．
22．这个游戏对三人公平
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两人手势相同的情况，和小明与小颖获胜的情况数，求出他们获胜的概率， 比较即可得到结果．
【详解】解：列出表格，如图所示：
石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头）
剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀）
布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布）
所有等可能的情况有9种，其中两人的手势相同的情况有3种，
则P（小凡获胜）；
小明获胜的情况有3种，小颖获胜的情况有3种，
∴P（小明获胜）＝P（小颖获胜），
则这个游戏对三人公平．
【点睛】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23．(1)40，图见解析
(2)10， 144
(3)
【分析】（1）根据D等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以B等级所占的百分比即可得出B等级的人数，然后补全统计图即可；
（2）用A等级的频数除以总人数即可得出m的值；用360度乘以C等级所占的比例即可；
（3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
【详解】（1）解： 人，人，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：40，
（2）， ．
故答案为：10， 144；
（3）设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
【点睛】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
24．（1）；（2）这个游戏不公平；调整规则见详解
【分析】（1）根据求概率公式即可得到答案；
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即小贝赢或小晶赢的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】（1）（抽到数字2）.
（2）列表如下：
2 2 3 6
2 22 22 23 26
2 22 22 23 26
3 32 32 33 36
6 62 62 63 66
由表格可知，可能出现的结果共有16种，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，满足两位数不超过32的结果有10种，
所以（小贝胜），（小晶胜）.
所以这个游戏不公平.
调整规则：
法一：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平．
法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数超过32的得5分；能使游戏公平．
法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
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