第十章 三角形 单元练习（含解析）

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第十章三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
3．如图，是的中线，点分别为的中点．若的面积为则的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，的三个内角度数之比为，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，分别平分的外角，,若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，交BC的延长线于D点，交的延长线于E，，下列说法错误的是（ ）

A．是的高 B．是的高
C．是的高 D．线段长表示点C到直线的距离
7．如图，在中，，，ABCD，则的度数为（ ）
A．90° B．85° C．60° D．55°
8．如图，在中，，，平分，平分的外角，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上一点，于H，下面判断正确的有（　　）
A．是的角平分线和高 B．是边上的中线
C．是边上的高 D．是的角平分线
11．如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点，，则（ ）　　
A． B． C． D．
12．图中以为边的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．已知中，，，则的度数为 ．
14．如图，，，且的面积为12，则底边上高的长度为 ．
15．如图，已知，直线EF分别交，于点F，点E，平分，若，则的度数为 ．
16．如图所示，在中，中线，相交于点，连接，若的面积是，则的面积是 ．
17．如图，中，、分别平分和，若，则 ．

三、解答题
18．如图，已知点在的延长线上，点在 的延长线上，点在上，连接，求证：．
19．如图，是的边上的中线，是的边上的中线．
(1)若，求的度数；
(2)画出的边上的高；
(3)若的面积为，求的边上的高．
20．一个零件的形状如图所示，按规定应等于，已知，分别是和，李伯伯量得，请你帮李伯伯判断这个零件是否合格，并说明理由．

21．【问题情境】
如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．
又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
【深入探究】
（1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积．
【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形．
①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示）
②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）

22．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．
(1)的面积______；
(2)只用直尺画出的高；
(3)只用直尺过点C画．
23．说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．
24．证明命题“三角形三个内角的和等于”是真命题．
《第十章三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C C D D D C A
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可．
【详解】解：设从10.5的小木棍上裁剪的线段长度为x，
则，即，
∴整数x的值为5、6 、7 、8、9、10，
∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查三角形的分类，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形三个内角度数之比，求出最大角即可判断．
【详解】解：∵三角形的三个内角度数之比为，
∴最大角度数为，
∴该三角形是直角三角形．
故选：B．
3．A
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两份逐步分析即可解答．
【详解】解：是的中点，的面积为，
，
是的中点，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形中线把三角形的面积分成面积相等的两份是解答本题的关键．
4．C
【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度，结合三个内角度数之比即可求解．
【详解】解：，，的三个内角度数之比为，，
，
故选C．
5．C
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，先根据角平分线的定义得出，再根据三角形外角的性质得出，把代入即可得出结论．
【详解】解：∵分别是和的平分线，
∴，
∴
，
∴
，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查三角形的高，点到直线的距离，根据三角形的高的定义，点到直线的距离进行判断即可．
【详解】解：∵，，，
∴是的高，是的高，是的高，线段长表示点到直线的距离；
故选项A，B，C正确，选项D错误；
故选D．
7．D
【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°，
∴∠A=∠ACD=40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键．
8．D
【分析】先利用角平分线的定义求出和，再根据三角形外角的性质求解．
【详解】解：∵，，平分，平分，
∴， ，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，关键是从这个外角看到， 根据等量代换解决此题．
9．C
【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为是解决此题的关键．
【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10．A
【分析】连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是的角平分线和高，故此选项判断正确，符合题意；
B、是边上的中线，故此选项判断错误，不符合题意；
C、为边上的高，故此选项判断错误，不符合题意
D、是的角平分线，故此选项判断错误，不符合题意，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和对边相交的交点之间的线段．正确理解定义是解题的关键．
11．B
【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D＝∠A，代入求出即可．
【详解】解：如图，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，
∴∠DCE＝∠ACE，∠DBC＝∠ABC，
又∵∠D＝∠DCE ∠DBC，∠A＝∠ACE ∠ABC，
∴∠D＝∠A＝25°．
故选：B．
【点睛】此题综合考查了三角形外角的性质以及角平分线定义的应用，解此题的关键是求出∠D＝∠A，难度适中．
12．C
【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．
【详解】解：以为边的三角形有，共3个，
故选：C．
13．35°
【分析】利用三角形内角和定理列出方程，解之即可．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=2∠A，∠C=∠A+40°，
∴∠A+2∠A+∠A+40°=180°，
解得：∠A=35°．
故答案为：35°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，属于基础题，比较简单．
14．4
【分析】先利用的面积求出其边上的高，再利用平行线间距离处处相等，得到C到的距离为4．
【详解】解：如下图，过A作于E，
∵的面积为12，，
∴，
∴，
过C作于F，
∵，
∴，
∴点C到的距离是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的面积、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线间的距离处处相等．
15．/70度
【分析】此题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质“两直线平行，内错角想到”，再利用角平分线的性质推出，这样就可根据三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查三角形的中线和三角形的面积，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积，从而得出，即可得出结论．
【详解】解：∵是的中线，的面积是，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的面积是．
故答案为：．
17．/80度
【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：，
，
、分别平分和，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
18．见解析
【分析】根据三角形外角的定义及性质即可解答．本题考查了三角形外角的定义及性质，熟练运用三角形外角的定义及性质是解题的关键．
【详解】证明：∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
19．(1)；
(2)见解析
(3)的边上的高为．
【分析】本题主要考查了三角形外角以及三角形中线的性质，作三角形的高；
（1）利用三角形内角和定理即可求得；
（2）过点作于，即为的边边上的高；
（3）三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求出的面积．
【详解】（1）解：在中，；
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：因为是的中线，
所以．
又因为是的中线，
所以．
因为，即，
所以，
即的边上的高为．
20．这个零件不合格．理由见解析
【分析】如图，延长交于点E．利用三角形外角的性质得到，，进而得到，由此即可得到结论．
【详解】解：这个零件不合格．理由如下：
如图，延长交于点E．

∵是的一个外角，
∴．（三角形外角的性质）
∵是的一个外角，
∴．
∴．
∴这个零件不合格．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
21．（1）28；（2）①；②
【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积．
（1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案；
（2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，连接，，
，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①如图，连接、、、、，
，
设的面积为、的面积为，则，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴；
②如图，连接、、、、，
，
设的面积为、的面积为，则，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴．
22．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键．
（1）的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得；
（2）取格点，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可；
（3）借助网格，结合平行线的判定画图即可．
【详解】（1）．
故答案为：．
（2）解：如图，取点E，连接，交于点H，即为的高．
（3）解：如图，取点D，连接，即为所求作．
23．锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：
【分析】根据三角形的分类进行求解即可．
【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：．
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键．
24．见详解
【分析】先写出已知、求证，再画图，然后证明．过点A作，利用，可得，而，利用等量代换可证．
【详解】解：已知：如图，，
求证：，
证明：过点A作，
∵，
∴，
∵，
∴．
即知三角形内角和等于．
【点睛】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明．
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