6.4三元一次方程组同步练习（含解析）

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6.4三元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是( )
A．13 B．12 C．11 D．10
2．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　）
A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③
3．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是（ ）
y
3
2 x
A．1 B．17 C． D．
4．《孙子算经》中有一个问题：今有甲、乙、丙三人持钱 ．甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十 ．”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成七十 ．”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我，钱成五十六 ．”若设甲、乙各持钱数为x、y，则丙持钱数不可以表示为( )
A． B． C． D．
5．如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（ ）
A． B．2 C． D．
6．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．有A、、三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30个单位（单位长度各不相同），设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度．已知用尺量度，得A尺比尺长6个单位；用A尺量度，得尺比尺长10个单位；则用尺量度，A尺比尺（　　）
A．长15个单位 B．短15个单位 C．长5个单位 D．短5个单位
8．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列方程组是三元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
10．三元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
11．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
12．已知方程组，则的值为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．不确定
二、填空题
13．山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完．
14．方程组的解为 ．
15．某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将A、B、C三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售（包装成本忽略不计）．甲礼盒装有A茶具3个，B茶具2个，C茶具2个；乙礼盒装有A茶具2个，B茶具3个，C茶具4个；丙礼盒装有A茶具2个，B茶具2个，C茶具1个；丁礼盒装有A茶具3个，B茶具4个，C茶具4个．若一个甲礼盒售价360元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，且一个A茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为 ．
16．已知方程组，则 ．
17．方程组的解为 ．
三、解答题
18．汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡时每小时行驶28千米，下坡时每小时行驶35千米，去时行驶142千米的路程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米？去时上、下坡路各有多少千米？
19．解方程组：．
20．解方程组：
21．解下列方程组
(1)
(2)
22．已知等式，且当时，；当时，；当时，；
(1)求 a、b、c 的值；
(2)当 时，y 的值又是多少？
23．设线段x、y、z满足，求x、y、z的值．
24．解方程组．
《6.4三元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C B D A A D D
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出方程组求解即可．
【详解】解：设如图表所示：
根据题意可得：，
整理得：，
又根据题意可得：，，
整理得：，，
联立方程组得：
解得：
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三元一次方程组的应用，理解题意，列出相应方程组并求解是解题关键．
2．C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去．
【详解】解：解三元一次方程组，
得：
得：
方程组变形为，刚好消去z，
故选：C．
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法．
3．C
【分析】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．根据题意可得关于x、y的等式，继而进行求解即可得答案．
【详解】解：设2与x中间的数为z，由题意得：
，
∴．
故选：C．
4．C
【分析】设丙的钱数为z，根据丙语列方程，根据甲语列方程 ，根据乙语列方程，然后用含x、y的代数式表示z即可 ．
【详解】解：设丙的钱数为z，
根据丙语得：整理得，故选项A不合题意；
根据甲语得：整理得，故选项B不合题意；
根据乙语得：整理得，故选项C符合题意，选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙，掌握列三元一次方程，用含x、y的代数式表示丙的方法是解题关键．
5．B
【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可．
【详解】解：，
得④，
得，
解得：，
∴，
∴将，代入，
得，
解得：，
故选：B．
6．D
【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得，
，
整理得：
，
，，且都是自然数，
，
，是7的倍数，
，7，14，21，
，18，11，4；
共有4种情况：
①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；
②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；
③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；
④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只．
故小鸡的只数不可能是
故选：
【点睛】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键．
7．A
【分析】设A、、三把刻度尺的单位长度分别为x、y、z，则A、、三把刻度尺的长度分别为、、，根据等量关系列出，得出，即可得出．
【详解】解：设A、、三把刻度尺的单位长度分别为x、y、z，则A、、三把刻度尺的长度分别为、、，
根据题意得：，
整理得：，
得：，
∴，
，
∴用尺量度，A尺比尺长15个单位，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组，化简得出．
8．A
【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组．
根据三元一次方程组的定义逐一判断即可．
【详解】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意；
B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意；
C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意；
D.，不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选A．
9．D
【分析】此题考查了解三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键．
【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意；
B．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
C．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
D．是三元一次方程组，符合题意；
故选：D．
10．D
【详解】解：，
，得，
，得，解得，
把代入①，得，
把代入③，得，
则方程组的解为
故选：D．
11．C
【分析】根据代入消元法解三元一次方程组即可求解．
【详解】解：，
由①得④，由②得⑤，
将④⑤代入③得，，
解得，
将代入④得，
将代入⑤得，
原方程组的解为．
故选C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握代入消元是解题的关键．
12．C
【分析】将3x+7y+z=22乘以2减去5x+13y+z=32即可得到解答．
【详解】解：由题意得：
将3x+7y+z=22乘以2得：6x+14y+2z=44，
再将其减去5x+13y+z=32得：x+y+z=12，
故选C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法求解是解决此题的关键．
13．12
【分析】设池塘中的水有a，泉水每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x，根据一台A型抽水机1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解即可．
【详解】解：设池塘中的水有a，泉水每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x，
根据题意，得，
解得：，
设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，
则，解得：，
∴用三台A型抽水机同时抽，需要×60=12分钟恰好把池塘中的水抽完，
故答案为：12．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解决此题的关键是能够设出辅助未知数，根据题目中的等量关系列方程组求解．
14．
【分析】本题考查了解三元一次方程组，先整理出，再代入，得出，再把代入，得出，则把代入解出，即可作答．
【详解】解：
由得出，整理得
把代入，得出
解得
把代入，得出
把代入，得出
∴方程组的解为．
故答案为：．
15．18.75%
【分析】设 A 、 B 、 C 三种茶具的成本为x， y ，z，利润分别为 a ，b ， c ，则售价分别为 a +x， b + y ，c+z，由一个甲礼盒售价360元，可列3( a +x)+2( b + y )+2( c + z )=360，由一个甲礼盒的利润率为20%，得 ，整理得3c+2y+2z=300，由个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，可得2x+3y+4z+2+2y+z＝610，得：x=40，整理得4b+4c=60，再将一个丁礼盒的润率表示为，整理可得答案．
【详解】解：设 A 、 B 、 C 三种茶具的成本为x， y ，z，利润分别为 a ，b ， c ，则售价分别为 a +x， b + y ，c+z，
∵甲礼盒装有 A 茶具3个， B 茶具2个， C 茶具2个，一个甲礼盒售价360元，
∴3( a +x)+2(b + y )+2( c + z )=360，
即3a+2b+2c+3x+2y+2z=360①，
∵一个甲礼盒的利润率为20%，
∴ ，
即3a+2b+2c=0.6x+0.4y+0.4z②，将②代入①可得：
0.6x+0.4y+0.4z+3x+2y+2z=360，
即3x+2y+2z=300③，
∵一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，乙礼盒装有 A 茶具2个， B 茶具3个， C 茶具4个，丙礼盒装有 A 茶具2个， B 茶具2个， C 茶具1个，
∴2x+3y+4z+2x+2y+z＝610，即4x+5y+5z=610④，
由③×5-④×2可得：
5(3x+2y+2z)-2(4x+5y+5z)=5×300-2×610，
解得：x=40，
∵一个 A 茶具的利润率为25%，
∴ =25%
∴ a =10，
将 a =10和x＝40代入②可得：3×10+2b+2c=0.6×40+0.4y+0.4z，
即4b+4c=0.8y+0.8z-12⑤，
将 x=40代入③可得：
3×40+2y+2z=300，即 y +z=90⑥，
将⑥代入⑤可得：
4b+4c=0.8y+0.8z-12=0.8×90-12=60，
即4b+4c=60⑦，
∴一个丁礼盒的润率为：
=，
故答案为：18.75%．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题干中的等量关系列出算式，化简，将所设未知量转化为已知量．
16．8
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．
将三个方程相加计算即可．
【详解】解：，
由①+②+③可得，解得，
故答案为：8．
17．
【分析】根据三元一次方程组的解法求解即可．
【详解】解：
由①得：④，
由③得：⑤，
把④和⑤代入到②得：，解得，
把代入④得：，
把代入⑤得：，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程组的方法是解题的关键．
18．平路有30千米，去时上坡路有42千米，下坡路有70千米
【分析】设去时上坡路有x千米，平路有y千米，下坡路有z千米，然后根据题意列出三元一次方程组求解即可．
【详解】解：设去时上坡路有x千米，平路有y千米，下坡路有z千米．
由题意得，解得．
答：平路有30千米，去时上坡路有42千米，下坡路有70千米．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键．
19．
【分析】用加减消元法解三元一次方程组即可．
【详解】解：，
由得，
由得，
由得，
得，
∴
将代入③得
将，代入①得
，
解得：
∴原方程组解为．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解三元一次方程组的方法，准确计算．
20．
【分析】利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行解答．
【详解】由得：④
由得：⑤
由得：
将代入④得：
将，代入①得：
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，得到由另外两个未知数组成的二元一次方程组．
21．(1)
(2)
【分析】（1）①＋②×3得出10x＝50，求出x，再把x＝5代入②求出y即可；
（2）① ③得出3y＋2z＝3④，由②和④组成一个二元一次方程组，求出方程组的解，再把代入①求出x即可．
【详解】（1）解：，
①＋②×3，得10x＝50，
解得：x＝5，
把x＝5代入②，得10＋y＝13，
解得：y＝3，
∴原方程组的解是；
（2）解：，
① ③，得3y＋2z＝3④，
由②和④组成一个二元一次方程组： ，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，能正确消元是解此题的关键．
22．(1).
(2)15．
【分析】本题考查了三元一次方程组的运用，需要注意对应代值．
（1）将x、y的三组对应值分别代入等式，组成方程组，可求a，b，c的值；
（2）把a，b，c的值及代入等式，可求y的值．
【详解】（1）由已知得
解得
即.
（2）由(1)得.
当时，.
即y 的值是15．
23．．
【分析】设＝＝＝k，从而可得x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，进而可得x+y+z＝k，然后根据x+y+z＝18，求出k的值，从而求出x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，最后进行计算即可解答．
【详解】解：设＝＝＝k，
∴x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，
∴x+y+z+x+y+z＝9k，
∴2x+2y+2z＝9k，
∴x+y+z＝k，
∵x+y+z＝18，
∴k＝18，
∴k＝4，
∴x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，
∴z＝10，y＝6，x＝2，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是令＝＝＝k，并求出k值．
24．原方程组的解是
【分析】本题考查解三元一次方程组，先将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组，再通过加减消元法转化为一元一次方程，从而可以解答本题．
【详解】解：，
，得，
，得，
解得，
将代入②，得，
将，代入①，得．
故原方程组的解是．
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