8.5 乘法公式 同步练习（含解析）

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8.5乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（ ）
A．3 B．6 C． D．
2．用简便方法计算，变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．计算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．计算的结果是（　　）
A． B．1 C．2021 D．
6．在下列式子中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
7．用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
9．将长为，宽为的一个长方形沿虚线剪去一个宽为的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示的图形，则从图到图可以解释的等式是（ ）．
A． B．
C． D．
10．下列各式利用完全平方公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案，则小华说出的正确答案是（ ）
A． B． C． D．
12．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
14．观察下列各式：
，
，
，
…
根据上述规律可得： ．
15．计算：（1） ；（2） ．
16．我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中的系数；请根据规律直接写出的展开式 ．
17．若，那么的值为 ．
三、解答题
18．如图，两个正方形的边长分别为a，b，且满足．求图中阴影部分的面积．
19．计算：
(1)；
(2)．
20．计算
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
21．（1）计算：；
（2）因式分解：．
22．探究规律并解决问题．
(1)比较与的大小用“”“”或“”填空：
①当，时，______；
②当，时，______；
③当，时，______．
(2)通过上面的填空，猜想与的大小关系，并说明理由．
23．先化简，再求值：，其中．下面是小明的解答过程，请按要求解答下列问题：
解：原式
(1)在小明的解答过程中，出现错误的在第__________处（填序号）；
(2)请你写出此题正确的化简过程，并求出当时代数式的值．
24．【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的乘法公式是______________；
(2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值；
(3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积．
《8.5乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C A B B C D D
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】本题考查了平方差公式，把看成整体，利用平方差公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．根据平方差公式变形即可．
【详解】解：
；
故选：D．
3．D
【分析】根据多项式的乘法以及平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：A．
，故该选项不符合题意；
B．
，故该选项不符合题意；
C．
，故该选项不符合题意；
D．
，故该选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了多项式的乘法以及平方差公式、完全平方公式，正确的计算是解题的关键．
4．C
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方与积的乘方，平方差公式的法则对各项进行运算即可．
【详解】、，本选项错误，不符合题意；
、，本选项错误，不符合题意；
、，本选项正确，符合题意；
、，本选项错误，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．A
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：
．
故选：A ．
6．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的特征是解题的关键．
根据完全平方公式，逐项判断即可．
【详解】解：A．不能用完全平方公式计算，不符合题意；
B．，能用完全平方公式计算，符合题意；
C．不能用完全平方公式计算，不符合题意；
D．，不能用完全平方公式计算，不符合题意．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查利用完全平方公式进行简便运算，熟练掌握该公式变形是解题关键.把化为即可.
【详解】解：，此时计算最简便；
故选B
8．C
【分析】根据平方差公式是两个数的和乘以这两个数的差判断即可．
【详解】解：A. ，表示两个数的和相乘，不符合题意；
B. ，表示两个是的和与这两个数和的相反数相乘，不符合题意；
C. ，表示两个数的和与这两个数的差相乘，符合题意；
D. ，表示两个数的差与另外两个数的和相乘，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式的理解，解题关键是熟记平方差公式．
9．D
【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形，解题关键是熟练掌握图形变形前后的面积相等．
利用变形前后两个图形的面积相等，建立等式即可．
【详解】解：由图可得长为，宽为的长方形面积为；
由图可得两个长方形面积为，
从图到图可以解释的等式是．
故选：．
10．D
【分析】运用完全平方公式判断即可．
【详解】解析：A、原式，故本选项不符合题意；
B、原式，故本选项不符合题意；
C、原式，故本选项不符合题意；
D、，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】因为完全平方公式有两个，所以运用完全平方公式计算时要先确定是“和的平方”还是“差的平方”，避免错用公式．
11．B
【分析】把拆分为，把拆分为，然后根据完全平方公式展开，再合并计算，最后约分，即可得出答案．
【详解】解：
．
故选：B
【点睛】本题考查了完全平方公式，解本题的关键在把拆分为，把拆分为．
12．A
【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键．根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法公式计算即可．
【详解】解：A. ，正确，符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，错误，不符合题意；
故选A．
13．
【分析】本题考查了整式乘法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用平方差公式进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式进行计算即可解答；
（3）利用平方差公式进行计算即可解答．
【详解】解：（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
（3）
．
故答案为：．
14．
【分析】根据题目给出式子得规律，右边x的指数正好比前边x的最高指数大1．
【详解】解：找出等号右边指数和等号左边括号中第一项指数之间的关系，
，，．
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，发现规律：右边x的指数正好比前边x的最高指数大1是解答本题的关键．
15．
【分析】本题考查了整式的乘法，解题的关键是：
（1）利用多项式乘以多项式的法则和合并同类项法则进行计算，可得到答案；
（2）利用平方差公式进行计算，可得到答案．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：.
16．
【分析】先根据图形得出第五行的四个数是，，，，，再求出答案即可．
【详解】解：根据题意得: 第五行的四个数是，，，，，
即展开式中的系数依次为，，，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知图形得出规律是解此题的关键．
17．4
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】
，
当，原式，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．
【分析】本题考查的是完全平方公式与几何图形的面积，先求解，再利用割补法计算即可.
【详解】解：如图所示，∵，
∴．
∵，
∴，
即，
则两个正方形的面积之和为76，
∴
．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键．
（1）将原式变形为，再根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解；
（2）将看作整体，根据完全平公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
（2）
20．(1)；
(2)3；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则计算即可；
（2）根据负整数指数幂、零次幂、乘方运算法则计算即可；
（3）利用完全平方公式计算即可；
（4）利用平方差公式、完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，零指数幂及负整数指数幂，解题的关键是正确利用零指数幂及负整数指数幂法则及整式的混合运算顺序．
21．（1）；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式和多项式乘以多项式进行计算即可；
（2）先变形，再提公因式，最后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式运算，利用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握运算和分解因式的步骤和方法是解题的关键．
22．(1)①；②；③
(2)，理由见解析
【分析】（1）代入计算得出答案；
（2）根据（1）的结果，得出结论．
【详解】（1）解：①把，代入，，，所以；
②把，代入，，，所以；
③把，代入，，，所以；
故答案为：①；②；③：
（2）解：由（1）可得，，理由如下：
∵，即，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式，以及是解题的关键．
23．(1)①③
(2)见解析，2
【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值；
（1）根据完全平方公式的含义以及去括号没有改变符号可得答案；
（2）先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后把代入计算即可．
【详解】（1）解：在小明的解答过程中，出现错误的在第①③处；
（2）解：
．
当时，原式．
24．(1)
(2)4
(3)120
【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；
（2）根据（1）的结论，代入数值进行计算，即可作答．
（3）延长，交于一点E，则，再代入，，进行计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故答案为：；
（2）解：∵，且
∴
（3）解：如图3，延长，交于一点E
∵四边形是正方形
∴
，，
；
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