6.3一元一次方程的应用同步练习（含解析）

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6.3一元一次方程的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．甲车队有汽车56辆，乙车队有汽车32辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出x辆汽车给乙队，则可得方程（ ）
A． B． C． D．
2．如图，有若干个形状大小相同的杯子，如果把8个这样的杯子叠成一摞，高度为26厘米；如果把2个这样的杯子叠成一摞，高度为8厘米，那么把6个这样的杯子叠成一摞其高度为（ ）
A．16厘米 B．18厘米 C．20厘米 D．24厘米
3．为迎接第九届亚洲冬季运动会的到来，哈尔滨市利用原有设施进行维修改造．甲工程队独做需8天完成，乙工程队独做需10天完成．现在由甲工程队先做3天，然后甲工程队和乙工程队合作共同完成．若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．一列长的列车过一座长的桥，当列车刚上桥头时，车尾站着1个人，直到列车尾那个人离开桥尾为止共用，则列车的速度为（　　）
A． B． C． D．
5．某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克．如果每公顷施肥400千克，那么余下化肥800千克；如果每公顷施肥500千克，那么缺少化肥300千克．若设现有化肥x千克，则可列方程为（　　）
A． B．
C．+800＝﹣300 D．﹣800＝+300
6．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天．如果由这两个工程队从两端同时施工，铺好这条管线需要的天数是（ ）
A．8天 B．7天 C．6天 D．5天
7．长江比黄河长，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多，设长江长度为，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是年月份的月历，在月历上任意圈出一个正方形，则下列等式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．一个数的与2的差等于这个数的一半，这个数是（ ）
A．12 B． C．18 D．
10．一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，求山下到山顶的路程．设上山速度为x千米/分钟，则所列方程为（ ）．
A． B． C． D．
11．如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为（　　）
A．5 B．3或5 C． D．或5
12．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量牵”问题；“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长1托；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短1托．设绳索长x托，则符合题意的方程是(　　)
A．2x＝(x-1)-1 B．2x＝(x+1)+1
C．x＝(x+1)+1 D．x＝(x-1)-1
二、填空题
13．某水果商三月份销售苹果、草莓、榴莲三种水果的销量之比，苹果、草莓、榴莲三种水果的单价之比为．四月份水果商家加大了宣传力度．预计三种水果的营业额都会增加．其中苹果增加的营业额占总增加的营业额的，此时，苹果的营业额与四月份三种水果总营业额之比为，为使四月份草莓、榴莲两种水果的营业额之比为，则四月份榴莲增加的营业额与四月份三种水果总营业额之比为 ．
14．如图所示，是直线上的一个点，．
（1）写出图中互余的角和互补的角；
（2）若的余角的3倍比它的补角少，求的度数．
思维过程展现：
（1）观察图形，因为，所以 ，则图中互余的角为 与 ，互补的角为 与 ， 与 ．
（2）由“的余角的3倍比它的补角少”，可以设，由题意得 ，解得 ．所以 ．
15．如图，在数轴上有A、B两个动点，O为坐标原点．点A、B从图中所示位置同时向数轴的负方向运动，A点运动速度为每秒2个单位长度，B点运动速度为每秒3个单位长度，当运动 秒时，点O恰好为线段AB中点．
16．如图是2021年6月份的月历表，请仔细观察后，如果发现用正方形框框住16个数字的和为224．试求出这16个数字中最大的数字 ．
17．已知工厂共54人，每人每天可加工杯身80个或杯盖100个，已知一个杯身配一个杯盖，为了使每天生产的杯身与杯盖正好配套，需要安排 人生产杯身．
三、解答题
18．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．
(1)若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；
(2)写出一个“相伴数对”（a，b），其中a≠0，且a≠1；
(3)若（m，n）是“相伴数对”，求代数式的值．
19．数学课上，老师出示了明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．问：有多少人分银子？请列方程解答．

20．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h，又从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5 h，船在静水中的平均速度为27km/h，求水流的速度．
21．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择.下图是某市两种网约车的收费标准，例：乘车里程为30公里，若选乘出租车，费用为：（元）；若选乘曹操出行（快选），费用为：（元）．
TAXI 起步费：14元 超3公里费：超过的部分2.2元/公里 远途费：超过10公里后，1元/公里 曹操出行（快选） 起步费：10元 里程费：2.4元/公里 远途费：超过10公里后，0.8元/公里 时长费：0.4元/分钟（速度：40公里/时）
请回答以下问题：
(1)小明家到学校的路程是10公里.如果选乘出租车，车费为_________元；如果选乘曹操出行（快选），车费为_________元．
(2)周末小明有事外出，要选乘网约车，如果乘车费用预算为25元，他的行车里程数最大是多少公里？
(3)元旦期间，小明外出游玩，约车时发现曹操出行（快选）有优惠活动：总费用打八折，于是小明决定选乘曹操出行（快选），付费后，细心的小明发现：相同的里程，享受优惠活动后的曹操出行（优选）的费用还是比出租车多了1.8元，求小明乘车的里程数．
22．【阅读理解】
射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线．
(1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示
(2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止．
是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？
23．某超市销售美味食用油，每桶20L，定价为100元，节日期间进行促销活动，为满足大众采购需求，在购买不少于10桶时，该超市制定了两种销售方案以供选择：
方案一：六折优惠并且免费送货上门；方案二：买一送一，但需另付200元运费．
(1)假设某饭店需要购买10桶美味食用油，且需送货上门．
若采用方案一购买，需要______元；若采用方案二购买，该饭店只需要购买______桶美味食用油即可．
(2)假设某饭店需要购买x桶美味食用油（，x是偶数），且需送货上门．
①采用方案一购买x桶美味食用油需要______元；采用方案二购买x桶美味食用油需要______元．
②某次进货时，饭店的采购员发现两种采购方案相差100元，请你算一算饭店这次采购多少桶美味食用油？
24．如图，点在线段上，cm，cm．点以1cm/s的速度从点沿线段向点运动；同时点以2cm/s的速度从点出发，在线段上做往返运动（即沿运动），当点运动到点时，点、都停止运动．设点运动的时间为（s）．
(1)当时，求的长．
(2)当点为线段的中点时，求的值．
(3)若点是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由．
《6.3一元一次方程的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C A A D D B D
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】表示出抽调后两车队的汽车辆数然后根据两车队汽车一样多列出方程即可．
【详解】解：设由甲队调出x辆汽车给乙队，则甲车队有汽车（56-x）辆，乙车队有汽车（32+x）辆，
由题意得，56-x=32+x．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，表示出抽调后两车队的汽车辆数是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
先设每叠一个杯子增加的高度为厘米，则一个杯子的高度为厘米，由题意可知：，求解出的值，再计算6个杯子叠成一加的高度即可．
【详解】解：设每叠一个杯子增加的高度为厘米，
则一个杯子的高度为厘米，
由题意可知：，
解得：，
∴个杯子叠成一撂的高度为：
(厘米)，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
由甲完成的工程乙完成的工程总工程（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设列车的速度为，根据列车走过的总路程等于列车的长与桥的长度之和建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设列车的速度为，
由题意得：，
解得，
即列车的速度为，
故选：C．
5．A
【分析】根据“如果每公顷施肥400千克，那么余下化肥800千克；如果每公顷施肥500千克，那么缺少化肥300千克”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．A
【分析】设铺好这条管线需要x天，根据“甲乙工程队工作量之和=1”列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设铺好这条管线需要x天，列方程得
，
解得 x=8 ，
答：铺好这条管线需要8天．
故选：A
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意设出未知数，列出方程是解题关键．
7．D
【分析】依题意得黄河长度为（x-836）km，根据“黄河长度的6倍比长江长度的5倍多”列出方程即可．
【详解】解：设长江长度为，则黄河长度为（x-836）km，依题意得，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了列一元一次方程，解答此题的关键是找出等量关系．
8．D
【分析】设个数中最小的数为，则另外个数为，，，即可得出关于关系式．
【详解】解：设个数中最小的数为，即，则，，，
A．，，则，故此选项不符合题意；
B．，，则，故此选项不符合题意；
C．，，则，故此选项不符合题意；
D．，，则，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．B
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题关键是审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
设这个数为x，一个数的与2的差就是：，这个数的一半就是，根据题意列方程解出即可．
【详解】解：设这个数为x，
根据题意列方程得：，
去分母得，
解得：，
∴这个数是．
故选：B．
10．D
【分析】根据题意可得山到山顶的路程为：180x+1或150×1.5x，则根据路程不变即可得方程，从而可得结果．
【详解】3小时=180分钟
由题意下山的速度为1.5x千米/分钟，从而可得方程：
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是理解题意，找出等量关系并列出方程．
11．D
【分析】分三种情况讨论：当在上时，当在上时，当在上时，如图，再利用面积列方程，解方程并检验即可得到答案.
【详解】解： 长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，
当在上时，
当在上时，
解得：
当在上时，如图，
解得：，经检验不符合题意，舍去，
所以当△APE的面积为5cm2时，x的值为5s或s，
故选D
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，根据点的运动位置作分类讨论是解本题的关键.
12．D
【分析】设绳索长x托，则竿长(x 1)托，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长1托；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短1托”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设绳索长x托，则竿长(x-1)托，
依题意，得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13．/1∶3
【分析】根据三种水果的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即三月份苹果、草莓、榴莲三种水果的销售的数量和单价分别为2a、a、a；b、3b、4b，则四月份苹果、草莓、榴莲三种水果的销售额比为2：3：4．因问题中涉及到苹果的三月销售数量，因此可以设四月份苹果增加的营业额为4x，则四月份总增加的营业额为15x；再根据苹果的营业额与四月份三种水果总营业额之比为1：4，建立等式，求出x．可以根据四月份草莓、榴莲两种水果的营业额之比为，算出四月份榴莲增加的营业额即可求解．
【详解】解：三月份苹果、草莓、榴莲三种水果的销售的数量和单价分别为2a、a、a；b、3b、4b，
∴三月份苹果、草莓、榴莲三种水果的销售额分别为2ab，3ab，4ab；
∵苹果增加的营业额占总增加的营业额的，
∴设四月份苹果增加的营业额为4x，则四月份总增加的营业额为15x；
又苹果的营业额与四月份三种水果总营业额之比为，
∴（4x+2ab）：（15x+9ab）=，
解得x=ab，
∴四月份苹果的营业额为6ab，三种水果总营业额为24ab，
∴草莓、榴莲的营业额之和为18ab，
若四月份草莓、榴莲两种水果的营业额之比为，
则草莓、榴莲的营业额分别为6ab，12ab；
∴榴莲增加的营业额为12ab－4ab=8ab，
∴四月份榴莲增加的营业额与四月份总营业额之比为8ab：24ab=．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用；重点是假设未知数，求得榴莲增加的营业额是解题的关键．
14． 90 / / / / / / /57度 33
【分析】（1）根据互余和互补的概念求解即可；
（2）根据题意列出一元一次方程，进而求解即可．
【详解】（1）观察图形，因为，
所以，
则图中互余的角为与，互补的角为与，与；
（2）由“的余角的3倍比它的补角少”，
可以设，
由题意得，
解得，
所以．
故答案为：90，，，，，，，，，33．
【点睛】此题考查了补角和余角，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握补角和余角的概念．
15．/0.8
【分析】设经过t秒，点O恰好是线段AB的中点，因为点B不能超过点O，所以0＜t＜2，经过t秒点A，B表示的数为，-2-2t，6-3t，根据题意可知-2-2t＜0，6-3t＞0，化简|-2-2t|=|6-3t|，即可得出答案．
【详解】解：设经过t秒，点O恰好为线段AB中点，
根据题意可得，经过t秒，
点A表示的数为-2-2t，AO的长度为|-2-2t|，
点B表示的数为6-3t，BO的长度为|6-3t|，
因为点B不能超过点O，所以0＜t＜2，则|-2-2t|=|6-3t|，
因为-2-2t＜0，6-3t＞0，
所以，-（-2-2t）=6-3t，
解得t=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值的意义，解一元一次方程，根据题意列出等式应用绝对值的意义化简是解决本题的关键．
16．26
【分析】根据题意，可以设这16个数中左上角最小的数为x，列出方程，即可求得最大的那个数．
【详解】解：设这16个数中左上角最小的数为x，则这16个数字的和为：
，
即，解得
∴，即其中最大的数为26
故答案为：26
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的实际运用，找好等量关系，正确列出方程是解题关键．
17．30
【分析】设需要安排x人生产杯身，则安排人生产杯盖，根据一个杯身配一个杯盖，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出需要安排30人生产杯身．
【详解】解：设需要安排x人生产杯身，则安排人生产杯盖，
依题意得：，
解得：．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18．(1)
(2)（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）根据“相伴数对”的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得；
（2）设这个“相伴数对”为，根据“相伴数对”的定义建立方程，解方程即可得；
（3）先根据“相伴数对”的定义可得一个关于的等式，再代入求值即可得．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
解得．
（2）解：设这个“相伴数对”为，
由题意得：，
解得，
则这个“相伴数对”为．
（3）解：由题意得：，
整理得：，
则
．
【点睛】本题考查了整式的加减、代数式求值、一元一次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．
19．有6人分银子
【分析】设有人分银子，根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设有人分银子，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：有6人分银子．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．
20．水流的速度为3km/h．
【分析】首先设水流速度为x km/h，可表示出顺流和逆流的速度，再根据路程相等列出一元一次方程，求出解即可.
【详解】解：设水流速度为x km/h，则
，
解得：，
答：水流的速度为3 km/h．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，确定等量关系是列方程的关键．
21．(1)出租车29.4元，曹操出行40元
(2)小明行车路程数最大是8公里
(3)小明乘车里程数为6公里或15公里
【分析】（1）根据两种车的收费标准分别计算即可；
（2）先根据判断出行车里程小于10公里，再根据等量关系列一元一次方程，即可求解；
（3）设小明乘车的里程数为公里．按照，，三种情况分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：出租车：（元）；
曹操出行：（元）．
（2）解：设他的行车里程数为公里，
∵，，
∴．
出租车：，
解得：．
曹操出行：，
解得：．
∵，
∴小明行车路程数最大是8公里．
（3）设小明乘车的里程数为公里．
①时，，
解得：（舍去）．
②时，，
解得：．
③时，
，
解得：．
综上所述，小明乘车里程数为6公里或15公里．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，掌握分类讨论思想是解题的关键．
22．(1)
(2)①当秒或25秒时，的度数是．②当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【分析】本题主要考查了角平分线的顶用、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，灵活利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）根据伴随线定义求解即可；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后两种情况分别列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后，分别画出四个图形进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，∵射线 是射线 的伴随线，
，
，
∴同理，若的度数是，射线是射线的伴随线，
，
∵射线是的平分线，
，
．
故答案为：．
（2）解：射线与重合时， （秒）
①当的度数是时，有两种可能：
若在相遇之前，则，解得：；
若在相遇之后，则，解得：．
综上所述，当秒或25秒时，的度数是．
②相遇之前：
a．如图1，
当是的伴随线时，则，即，解得：；
b．如图2，
当是的伴随线时，则，即，解得：；
相遇之后：
c．如图3，
当是的伴随线时，则，即，解得：；
d．如图4，
当是的伴随线时，则，即，解得：．
综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
23．(1)600；5
(2)①；；②饭店这次采购10或30桶美味食用油
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）①根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；②找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可．
（2）①利用总价=单价×数量，结合两种销售方案的优惠方法，即可用含x的代数式表示出采用两种方案所需费用；②由①的结论，结合两种采购方案相差100元，可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论．
【详解】（1）方案一购买，需要（元）．
方案二，需要购买5桶美味食用油即可．
（2）根据题意得：采用方案一购买x桶美味食用油需要（元）．
采用方案二购买x桶美味食用油需要（元）．
②根据题意得：或，
解得或．
答：饭店这次采购10或30桶美味食用油．
24．(1)7 cm
(2)2或
(3)当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【分析】（1）当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，可得MN=7cm；
（2）由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t=2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t=2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得；
（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．
【详解】（1）解：当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，
∴MC=AC-AM=6-1=5（cm），
∴MN=MC+CN=5+2=7（cm）；
（2）如图，由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，
∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，
∴0≤t≤6，
①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t， 解得：t=2；
②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN=（2t-4）cm，CN=4-（2t-4）=（8-2t）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=8-2t， 解得：t=2（舍去）；
③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t-8，
解得：； 综上所述，当t=2或时，点C为线段MN的中点．
（3）如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=CN=t cm，
∴PM=MC+CP=6-t+t=6cm，此时，PM的长度保持不变；
②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN=（8-2t）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=CN=（8-2t）=（4-t） cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（4-t）=（10-2t）cm，此时，PM的长度变化；
③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=CN=（2t-8）=（t-4）cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（t-4）=2cm，此时，PM的长度保持不变；
综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键．
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