8.3乘法公式同步练习（含解析）
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8.3乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．4张长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，用4张全等的长方形拼成一个正方形，用两种方法表示图中阴影部分的面积可得出一个代数恒等式．若长方形的长和宽分别为a、b，则这个代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
5．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
7．用四个长、宽分别为m，n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形．若，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小明将图①的阴影部分拼成了一个长方形，如图②，又分别计算了两个图形的阴影面积，这一过程可以验证（ ）
A． B．
C． D．
9．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知(m+n)2＝18，(m﹣n)2＝2，那么m2 +n2＝（ ）
A．20 B．10 C．16 D．8
11．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ．
14．若，，，比较a、b、c大小（用“<”连接） ．
15．运用平方差公式计算： ．
16．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中a>b）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是 ．
17．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有 （填序号，多选）．
三、解答题
18．用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．
（1）69×71； （2）992
19．先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣6．
20．用简便方法计算
(1)；
(2)．
21．阅读下面问题：
你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
(1)先填空：______；
_______；
______；…
由此猜想________．
(2)利用得出的结论计算：
22．利用乘法公式计算：
(1)．
(2)．
23．已知，求的值．
24．计算：．
《8.3乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D D C C D A B
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】分别利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【详解】解：A、＝（y＋7x）（y 7x），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；
B、＝（＋x2）（ x2），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；
C、 m4 n2，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确；
D、＝（p＋q＋3）（p＋q 3），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
2．D
【分析】先用含有a、b的代数式分别表示，，再根据，整理可得结论．
【详解】解：由题意可得：；
；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，数形结合并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
3．B
【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积．
【详解】解：∵，
又∵，
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
4．D
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【详解】解∶A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意误；
D、原计算正确，故此选项符合题意．
故选∶D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．注意：.
5．D
【分析】根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．
【详解】解：由题意得，拼成的长方形的面积为：
，
故选D．
【点睛】本题考查列代数式，平方差公式，掌握拼图前后面积之间的和差关系是正确解答的关键．
6．C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．
由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可．
【详解】解：根据题意得：
，
，
，，
，
阴影部分的面积．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，用两种不同的方法，表示出阴影部分的面积，列式求解即可．
【详解】解：由图可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为，
阴影部分的面积
∴
故选：C．
8．D
【分析】利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为，根据矩形面积公式可知阴影部分面积为，二者相等，即可解答．
【详解】解：如图①，阴影部分的面积；
如图②，阴影部分的面积；
这一过程可以验证：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了乘法的平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
9．A
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积，
∴．
故选：A．
10．B
【分析】根据完全平方公式可得，，再把两式相加即可求得结果．
【详解】由题意得，，
把两式相加可得：
，
则，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的知识，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
11．C
【分析】利用正方形的面积减去四个三角形的面积即可得到．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式与面积的关系，解题的关键是通过数形结合的思想求解．
12．D
【分析】根据同底数幂的加法、乘方、除法分别计算即可以及完全平方公式．同底的幂相加（减），系数相加（减）；同底数幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底的幂相除，指数相减，底数不变．
【详解】解：A：，故错误，不符合题意；
B：，故错误，不符合题意；
C：，故错误，不符合题意；
D：，故正确，不符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的加法、乘方、除法和完全平方公式是本题的考点，熟练掌握运算法则是解题的关键.
13．6
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【详解】解：当a+b=2，a-b=3时，
a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．
故选：6．
【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
14．
【分析】根据零指数幂，平方差公式，积的乘方逆运算，等将原式化简，比较大小即可．
【详解】解：∵，
，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了零指数幂，平方差公式，积的乘方逆运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
15． /
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
16．a2-b2=（a+b）（a-b）
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b）的长方形，面积是（a+b）（a-b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【详解】解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
17．①②③
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，或者用两种方法表示同一个图形的面积，继而可得出验证公式．
【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，除右下角阴影部分的面积外，剩余部分的面积可以表示为a2﹣b2，也可以表示为（a﹣b）（a+b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积可以表示为（a+b）2﹣4ab，也可以表示为（a﹣b）2，由此可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，没法验证平方差公式．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式来证明a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
18．（1）4899；（2）9801
【分析】(1)将69×71看做（70﹣1）×（70+1）利用平方差公式计算即可;
(2)992看做（100﹣1）2利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；
（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式,正确运用公式计算是解题关键．
19．，．
【分析】先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．
20．(1)4045
(2)900
【分析】（1）根据平方差公式求解即可；
（2）根据完全平方公式求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
21．(1)，，，
(2)
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，多项式乘法中规律性问题，掌握题中规律并正确计算是解题的关键．
（1）根据平方差公式可得①，根据多项式乘多项式可求②、③，根据①、②、③规律可求④；
（2）将式子乘以，利用（1）中规律求解即可．
【详解】（1）解：①，
②，
③，
④由此猜想，
故答案为：，，，；
（2）解：
．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式计算，即可求解；
（2）利用完全平方公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，利用整体思想解答是解题的关键．
23．
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．
根据完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．
【分析】本题考查完全平方公式，理解并掌握完全平方公式是解题关键．根据 式计算 即可．
【详解】解：原式．
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8.3乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．4张长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，用4张全等的长方形拼成一个正方形，用两种方法表示图中阴影部分的面积可得出一个代数恒等式．若长方形的长和宽分别为a、b，则这个代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
5．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
7．用四个长、宽分别为m，n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形．若，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小明将图①的阴影部分拼成了一个长方形，如图②，又分别计算了两个图形的阴影面积，这一过程可以验证（ ）
A． B．
C． D．
9．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知(m+n)2＝18，(m﹣n)2＝2，那么m2 +n2＝（ ）
A．20 B．10 C．16 D．8
11．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ．
14．若，，，比较a、b、c大小（用“<”连接） ．
15．运用平方差公式计算： ．
16．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中a>b）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是 ．
17．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有 （填序号，多选）．
三、解答题
18．用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．
（1）69×71； （2）992
19．先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝，b＝﹣6．
20．用简便方法计算
(1)；
(2)．
21．阅读下面问题：
你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
(1)先填空：______；
_______；
______；…
由此猜想________．
(2)利用得出的结论计算：
22．利用乘法公式计算：
(1)．
(2)．
23．已知，求的值．
24．计算：．
《8.3乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D D C C D A B
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】分别利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【详解】解：A、＝（y＋7x）（y 7x），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；
B、＝（＋x2）（ x2），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；
C、 m4 n2，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确；
D、＝（p＋q＋3）（p＋q 3），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
2．D
【分析】先用含有a、b的代数式分别表示，，再根据，整理可得结论．
【详解】解：由题意可得：；
；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，数形结合并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
3．B
【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积．
【详解】解：∵，
又∵，
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
4．D
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【详解】解∶A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意误；
D、原计算正确，故此选项符合题意．
故选∶D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．注意：.
5．D
【分析】根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．
【详解】解：由题意得，拼成的长方形的面积为：
，
故选D．
【点睛】本题考查列代数式，平方差公式，掌握拼图前后面积之间的和差关系是正确解答的关键．
6．C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．
由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可．
【详解】解：根据题意得：
，
，
，，
，
阴影部分的面积．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，用两种不同的方法，表示出阴影部分的面积，列式求解即可．
【详解】解：由图可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为，
阴影部分的面积
∴
故选：C．
8．D
【分析】利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为，根据矩形面积公式可知阴影部分面积为，二者相等，即可解答．
【详解】解：如图①，阴影部分的面积；
如图②，阴影部分的面积；
这一过程可以验证：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了乘法的平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
9．A
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积，
∴．
故选：A．
10．B
【分析】根据完全平方公式可得，，再把两式相加即可求得结果．
【详解】由题意得，，
把两式相加可得：
，
则，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的知识，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
11．C
【分析】利用正方形的面积减去四个三角形的面积即可得到．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式与面积的关系，解题的关键是通过数形结合的思想求解．
12．D
【分析】根据同底数幂的加法、乘方、除法分别计算即可以及完全平方公式．同底的幂相加（减），系数相加（减）；同底数幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底的幂相除，指数相减，底数不变．
【详解】解：A：，故错误，不符合题意；
B：，故错误，不符合题意；
C：，故错误，不符合题意；
D：，故正确，不符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的加法、乘方、除法和完全平方公式是本题的考点，熟练掌握运算法则是解题的关键.
13．6
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【详解】解：当a+b=2，a-b=3时，
a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．
故选：6．
【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
14．
【分析】根据零指数幂，平方差公式，积的乘方逆运算，等将原式化简，比较大小即可．
【详解】解：∵，
，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了零指数幂，平方差公式，积的乘方逆运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
15． /
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
16．a2-b2=（a+b）（a-b）
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2-b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a-b）的长方形，面积是（a+b）（a-b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【详解】解：阴影部分的面积=（a+b）（a-b）=a2-b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
17．①②③
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，或者用两种方法表示同一个图形的面积，继而可得出验证公式．
【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，除右下角阴影部分的面积外，剩余部分的面积可以表示为a2﹣b2，也可以表示为（a﹣b）（a+b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积可以表示为（a+b）2﹣4ab，也可以表示为（a﹣b）2，由此可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，没法验证平方差公式．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式来证明a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
18．（1）4899；（2）9801
【分析】(1)将69×71看做（70﹣1）×（70+1）利用平方差公式计算即可;
(2)992看做（100﹣1）2利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；
（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式,正确运用公式计算是解题关键．
19．，．
【分析】先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．
20．(1)4045
(2)900
【分析】（1）根据平方差公式求解即可；
（2）根据完全平方公式求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
21．(1)，，，
(2)
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，多项式乘法中规律性问题，掌握题中规律并正确计算是解题的关键．
（1）根据平方差公式可得①，根据多项式乘多项式可求②、③，根据①、②、③规律可求④；
（2）将式子乘以，利用（1）中规律求解即可．
【详解】（1）解：①，
②，
③，
④由此猜想，
故答案为：，，，；
（2）解：
．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式计算，即可求解；
（2）利用完全平方公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，利用整体思想解答是解题的关键．
23．
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．
根据完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．
【分析】本题考查完全平方公式，理解并掌握完全平方公式是解题关键．根据 式计算 即可．
【详解】解：原式．
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