人教版八年级数学下册 18.2.3 正方形 同步测试(含详解)

18.2.3 正方形同步测试
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形
2．如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（　　）

A． B． C．2 D．
3．如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（ ）

A． B． C． D．
4．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是（ ）
A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
5．如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
7．如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则 为（　　）
A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
8．如图，在正方形中，对角线、相交于点O． E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
9．如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　）

A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6
10．如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）．

12．若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为 ．
13．如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．

14．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．

15．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．

16．如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．

17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
18．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α=
三、解答题
19．如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：．
20．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE．求证：四边形BEDF是菱形．
21．如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结．
（1）求证：≌；
（2）若，请求出的长．
22．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
23．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
24．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹），并写出：BE与CD的数量关系 ；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE与CD，BE与CD有什么数量关系？说明理由；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°、∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
答案：
一、单选题
1．A
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．
解：A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；
B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；
C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；
D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．
故选：A．
2．B
【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可．
解：连接，，

∵点E，F分别是，的中点，
∴四边形是矩形，
∴M是的中点，
在正方形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
在中，M是的中点，N是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
3．C
【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，再求对角线长度，然后利用三角形中位线定理求出此平行四边形边长即可求出周长．
解：如图，连接、，相交于点，

点分别是边的中点，
，，
，同理，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形， ，，
对角线互相垂直，
，
，
，，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
，
，，
四边形的周长为．
故选：C．
4．D
【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．
解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中点，
∴，
∴四边形EFGH是平行四边形，
对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意；
对于B选项：对角线互相垂直，则有，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题意；
对于C选项：对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形EFGH是菱形，故不符合题意；
对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形EFGH是正方形，故符合题意；
故选D．
5．C
【分析】首先根据正方形的性质得到，，然后结合得到，然后证明出，最后利用三角形内角和定理求解即可．
解：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
6．C
【分析】根据正方形的性质，结合坐标的意义即可求解．
解：∵边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，
∴
∴,
故选：C．
7．B
8．C
【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．
解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故选：C．
9．C
【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的，第1个正方形的边长为1，其对角线长为；第2个正方形的边长为，其对角线长为；第3个正方形的边长为，其对角线长为； ；第n个正方形的边长为．所以，第6个正方形的边长．
解：由题知，第1个正方形的边长，
根据勾股定理得，第2个正方形的边长，
根据勾股定理得，第3个正方形的边长，
根据勾股定理得，第4个正方形的边长，
根据勾股定理得，第5个正方形的边长，
根据勾股定理得，第6个正方形的边长．
故选：C．
10．D
【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，求得BD=AB=2，得到OD=BO=OC=1，根据折叠的性质得到DE=DC=，DF⊥CE，求得OE=-1，根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，
∴BD=AB=2，
∴OD=BO=OC=1，
∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，
∴DE=DC=，DF⊥CE，
∴OE=-1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，
∴∠ODM=∠ECO，
在△OEC与△OMD中，
，
△OEC≌△OMD（ASA），
∴OM=OE=-1，
故选：D．
二、填空题
11．（答案不唯一）
【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．
解：这个条件可以是（答案不唯一），
理由：四边形是矩形，，
四边形是正方形，
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】根据题意得出正三角形的边长为，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求解．
解：∵侧面展开图是边长为的正方形，
∴底面周长为，
∵底面为正三角形，
∴正三角形的边长为
作，
是等边三角形，，
，
在直角中，
，
；

∴该直三棱柱的表面积为，
故答案为：．
13．
【分析】作于点，于点，首先求出正方形的面积，然后根据等边三角形和正方形的性质求出和，从而求出和的面积，最后作差求解即可．
解：如图所示，作于点，于点，

∵四边形是边长为4的正方形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解．
解：如图所示，

依题意，，
∴图中阴影部分的面积为
故答案为：．
15．
【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解．
解：如图所示，过点作于，

∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
16．
【分析】连接交于一点F，连接，根据正方形的对称性得到此时最小，利用勾股定理求出即可．
解：如图，连接交于一点F，连接，
∵四边形是正方形，
∴点A与点C关于对称，
∴，
∴，此时最小，
∵正方形的边长为4，
∴，
∵点E在上，且，
∴，即的最小值为
故答案为：．

17．135
【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°
故答案为：135．
18．90°
解：：∵四边形ABCD是正方形．
∴将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，∠α=90°，
故答案是：90°．
三、解答题
19．
解：证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
20．
解：证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO=DO，AO=CO，AC⊥BD，
∵AF=CE，
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形．
21．
解：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴≌（）；
（2）解：∵≌，
∴，，
∵，
∴，即，
∴．
22．
解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵，
∴△CBE△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
理由：∵由（1）得：△CBE△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC，
∴△ECG△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
23．
解：证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
24．
解：（1）根据题意，画出图形，如图所示：
BE=CD，理由如下：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∵，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（2）BE=CD，理由如下：
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∵，
∴△CAD≌△EAB（SAS）．
∴BE=CD；
（3）过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，连接CD，则AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴米，
∵∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠CAD=∠BAE，
∵AC=AE，
∴△ACD≌△AEB，
∴CD=BE，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，
∴（米），
∴BE=CD=米．