人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形复习题--折叠问题（含详解）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形复习题--折叠问题（含详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-01 11:15:14 | ||
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文档简介
第18章 平行四边形复习题--折叠问题
一、单选题
1．如图，将 ABCD沿对角线折叠，使点B落在B′处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为，若∠AD＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．55° B．50° C．60° D．65°
3．如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为，则五边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，为的中点，为上一点（不与，重合），将沿所在的直线折叠，得到，连接．当时，的值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
7．如图，将边长为4，锐角为的菱形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处，记为，则的长度为（ ）
A． B． C．3 D．
8．如图，欧几里德在《几何原本》中记载了用这样一个图，一张边长为2的正方形纸片，先折出、的中点、，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置点，并连接、．则此时的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到．延长交于点F，若，，则的长为（ ）
A．1.8 B．2 C． D．2.2
11．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在正方形中，点在边上，点分别是的中点，连接，现将 ADE沿所在的直线折叠，使得点的对应点D/落在线段上．以下四个结论：
①；
②；
③连接，则是等边三角形；
④若正方形面积为12，则．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，将平行四边形ABCD先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连接，．若恰有，则 ．
14．如图已知矩形，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，延长交于点，连接．若点是的中点，，求的长是 ．
15．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线上的点G处（不与B、D重合），折痕为，则 ；若，则的长为 ．
16．如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .
17．如图，在平行四边形ABCD中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为 ．
18．矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为 ．
19．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为 ．
20．如图菱形的边长为4，，将菱形沿折叠，顶点C恰好落在边的中点G处，则 ．
21．如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处， ；若四边形是平行四边形，则的值为 ．
22．如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ．
23．菱形中，，E，F分别在，边上，将菱形沿折叠，点A，D的对应点分别是，D/，且经过B点，若，则 ．
24．已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为 ．
三、解答题
25．如图，把平行四边形纸片沿折叠，点C落在点处， 与相交于点E．
求证：
26．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长
②若限定P、Q分别在边、上移动，菱形的面积的最大值为______；最小值为______．
27．如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
28．数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动．
【操作】：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点（点不与重合），沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结．
【琛究】：
（1）如图①，当点在上时，______．
（2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【应用】：
若正方形纸片的边长为，当时，的长为______．
29．图，在菱形中，，E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，分别沿折叠菱形，点B，D的对应点分别为点M，N，连接．
（1）问题解决：如图①，请判断线段的数量关系和位置关系： ；
（2）问题探究：如图②，当点M，N分别落在上时，请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点A，M，E恰好在一条直线上时，求 的值．
30．课本再现：
（1）如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．
如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程；
知识应用：
（2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；
（3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积．
答案：
一、单选题
1．A
【分析】由平行线的性质可得∠1=∠B'AB=48°，由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=24°，由三角形内角和定理即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AED=∠B'AB=48°，
∵将 ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC=∠B'AC=24°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=124°，
故选：A．
2．A
【分析】由折叠的性质可知∠BDC=∠BD，故∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°，根据∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC．
解：由折叠的性质，得∠BDC=∠BD，
则∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB+∠BDC=90°，
∴∠BDC-20°+∠BDC=90°，
解得∠BDC=55°．
故选：A．
3．A
【分析】根据菱形的性质、勾股定理求得，即可得是等边三角形，，根据等边三角形的性质和折叠的性质得和是等边三角形，即可得，，根据，得是的中位线，可得，即可得
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴和是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴五边形AEFCD的周长：，
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
根据正方形的性质，点是的中点，，可判定是等边三角形，由此可推出，，再根据含角的直角三角形的性质即可求解．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵沿所在的直线折叠，得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，即，
∵，
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
5．D
【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，得出，根据，求出，即可得出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
解：根据折叠可知，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质；
证明，可得，设，则，在中，由勾股定理构建方程求出，可得的长，然后利用三角形面积公式计算即可．
解：由折叠得：，，
在矩形中，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴的面积．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识．过作于点，先求出，，则点与重合，再由折叠的性质得，设，则，然后由勾股定理得，即可得出答案．
解：如图，过作于点，
，
边长为4，锐角为的菱形，
，，，
，
是的中点，
，
，
，
，，
点与重合，
，，
由折叠的性质得：，
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是设，由，可列方程，解得即可得到答案．
解：设，则，
由题意可知：，是的中点，
，，
，
，
，
，即，
故选：B．
9．B
【分析】过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长．
解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，
由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA，
∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，
∴四边形ADEC是等腰梯形，
连接BE，
∵AB＝AE，CB＝CE，
∴AC是BE的垂直平分线，
∵，
∴CN＝，BN＝1，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
∴AC＝＝＝2，
∴S平行四边形ABCD＝AB DM＝AC BF，
∴4×＝2BF，
∴BF＝，
∴CF＝＝＝，
在等腰梯形ADEC中，
DE＝AC﹣2CF＝2﹣2×＝．
故选：B．
10．B
【分析】连接，根据点E是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可证得；设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解：如图，连接，
∵E是的中点，
∴，
∵沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∵在矩形中，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
即；
故选：B．
11．D
【分析】A.由折叠的性质可以知道和分别是和的平分线，同时是平角，所以可知，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道、，就可以得到，选项B正确；C和D.过点作于点，，可得，．设，可以得到，．根据折叠的性质可得，根据勾股定理，求得，即可得到，，所以．故选项C正确，选项D错误．
解：A.由折叠可知和分别是和的平分线．
又，
，
故选项A正确．
B.又点与点关于对称，
，
又，
，
故选项B正确．
C和D.如答图，过点作于点．
，
，
，
易知，，
设，
，，
点是的中点，折叠后点落到上，
点与点重合，．
易知点共线，
．
，
，
解得．
，，
，
故选项C正确，选项D错误．
综上，故选：D．
12．D
【分析】根据折叠的性质得到，根据直角三角形的性质得到，故①正确；根据正方形的性质得到，，求得，故②正确；根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，故③正确；过作于，过作于，解直角三角形得到，故④正确．
解：点是的中点，
，
将 ADE沿所在的直线折叠，使得点的对应点落在线段上，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，故②正确；
如图所示，
，
，，
是等边三角形，故③正确；
过作于，过作于，
，
则，
正方形面积为12，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，故④正确，
故选：D．
二、填空题
13．
【分析】由平行四边形的性质得，，由折叠得，，，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
∵，
∴∠A/EF=90 ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】先证明，，再根据“”证明，根据全等三角形性质得出，从而得出，证明，根据勾股定理得出，求出即可
解：将沿折叠后得到，
∴，
∴，，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵点是的中点，
∴，
在矩形中，，
又由折叠可知AB=GB，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得：，负值舍去，
故答案为：．
15．
【分析】作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可.
解：
解:作于,
由折叠的性质可知，，,
∵四边形 是菱形，
∴，
∴为等边三角形,，
∴，
设,则.
在中, ，
在 中,,即，
解得,即 .
故答案为.
16．
【分析】判定四边形是正方形，即可得到，再根据，即可利用勾股定理求得的长．
解：如图所示，连接，
由折叠可得，，
又∵∠ABE=90 ，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
，
又，
，
由折叠可得，，
中，，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键；
由平行四边形的性质得，由由折叠的性质得：，，，在根据三角形的内角和定理及角的和差即可解答；
解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
故答案为：
18．
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长．
解：四边形是矩形，，，
，，，，
在中，，
，
由折叠的性质可知，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，
在中，，
故答案为：
19．
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，先根据等角对等边，得出，再设，在中，根据勾股定理列出关于的方程，求得的值即可．熟练掌握勾股定理及利用方程的思想是解题的关键．
解：由折叠得，，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
20．
【分析】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解题的关键．
过点作于点，由菱形的性质和已知条件得出，再设，则，在中，依据勾股定理得到方程，求得的值即可得到的长．
解：如图所示，过作，交的延长线于点，
∵∠A=60 ,AD∥BC,
∴，
设，则，
∵是的中点，
∴，
在中，，
解得，
故答案为：1.2．
21． 30
22．或1
【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图所示．连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到′，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出．
②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形．
解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如图所示．连接，
在中，，，
∴，
∵沿折叠，使点落在点处，
∴，
当为直角三角形时，只能得到，
∴点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴；
②当点落在边上时，如图所示．此时为正方形，
∴．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
23．
【分析】延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，由菱形的性质得，则，所以，由，得，则，所以四边形是矩形，由折叠得，，所以，，则，设则可求得，所以则，，所以，可求得则即可求得，于是得到问题的答案．
解：延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，则，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴设则
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
24．2.4或6
【分析】分两种情况讨论：E点在线段上和E点在线段上.接，先根据折叠的性质和HL得到，.设，则，，求出，把用含有x的式子表示出来.中，根据勾股定理列方程求出x即可.
解：①如图1，当E点在线段上时，连接,
∵四边形是正方形，
∵折叠后，
又
（HL）
∴
设,则，
在Rt中，
解得
②如图2，E点在线段上时，连接,
设,则，
在Rt中
解得
故答案为：2.4或6
三、解答题
25．
解：证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵沿折叠，点C落在点处，
∴，，
在和中
∴，
∴．
26．
解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为，
∴点B与点E关于对称，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）①∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点B与点E关于对称，
∴，
在中， ，
∴，
在中，，，
∴，解得： ，
∴菱形的边长为；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时，，则，
当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图，
则，
那么，
∴菱形的面积范围为，即最大值为36；最小值为．
27．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：作于，
，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
平行四边形的面积为．
28．
解：[探究] （1）如图①，连接，
垂直平分，
，
由折叠得，
，，，
四边形是正方形，
，，
，
是等边三角形，则，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
由（1）可知：，，，
，
，
，
，
；
应用 设，则，
由（2）知：，
在中，，，，
，
，
，
，
故答案为：．
29．
（1）解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∵点E、F是 的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∴四边形是矩形；
（3）解：如图所示，过点M作于H，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵E为的中点，
∴．
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，即．
30．
（1）解：如图1，连接，
四边形是矩形，
，，，，，
，，
，，
，
解得：；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
连接，过点作于，如图2所示：
则四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
在中，
由勾股定理得：，
，
，，，
，
，
，
的周长；
（3）解：如图3，连接，，，
，
，
，
，
∴，
．
一、单选题
1．如图，将 ABCD沿对角线折叠，使点B落在B′处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为，若∠AD＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．55° B．50° C．60° D．65°
3．如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为，则五边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，为的中点，为上一点（不与，重合），将沿所在的直线折叠，得到，连接．当时，的值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
7．如图，将边长为4，锐角为的菱形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处，记为，则的长度为（ ）
A． B． C．3 D．
8．如图，欧几里德在《几何原本》中记载了用这样一个图，一张边长为2的正方形纸片，先折出、的中点、，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置点，并连接、．则此时的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到．延长交于点F，若，，则的长为（ ）
A．1.8 B．2 C． D．2.2
11．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在正方形中，点在边上，点分别是的中点，连接，现将 ADE沿所在的直线折叠，使得点的对应点D/落在线段上．以下四个结论：
①；
②；
③连接，则是等边三角形；
④若正方形面积为12，则．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，将平行四边形ABCD先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连接，．若恰有，则 ．
14．如图已知矩形，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，延长交于点，连接．若点是的中点，，求的长是 ．
15．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线上的点G处（不与B、D重合），折痕为，则 ；若，则的长为 ．
16．如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .
17．如图，在平行四边形ABCD中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为 ．
18．矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为 ．
19．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为 ．
20．如图菱形的边长为4，，将菱形沿折叠，顶点C恰好落在边的中点G处，则 ．
21．如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处， ；若四边形是平行四边形，则的值为 ．
22．如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ．
23．菱形中，，E，F分别在，边上，将菱形沿折叠，点A，D的对应点分别是，D/，且经过B点，若，则 ．
24．已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为 ．
三、解答题
25．如图，把平行四边形纸片沿折叠，点C落在点处， 与相交于点E．
求证：
26．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长
②若限定P、Q分别在边、上移动，菱形的面积的最大值为______；最小值为______．
27．如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
28．数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动．
【操作】：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点（点不与重合），沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结．
【琛究】：
（1）如图①，当点在上时，______．
（2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【应用】：
若正方形纸片的边长为，当时，的长为______．
29．图，在菱形中，，E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，分别沿折叠菱形，点B，D的对应点分别为点M，N，连接．
（1）问题解决：如图①，请判断线段的数量关系和位置关系： ；
（2）问题探究：如图②，当点M，N分别落在上时，请判断四边形的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点A，M，E恰好在一条直线上时，求 的值．
30．课本再现：
（1）如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．
如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程；
知识应用：
（2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；
（3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积．
答案：
一、单选题
1．A
【分析】由平行线的性质可得∠1=∠B'AB=48°，由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=24°，由三角形内角和定理即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AED=∠B'AB=48°，
∵将 ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC=∠B'AC=24°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=124°，
故选：A．
2．A
【分析】由折叠的性质可知∠BDC=∠BD，故∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°，根据∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC．
解：由折叠的性质，得∠BDC=∠BD，
则∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB+∠BDC=90°，
∴∠BDC-20°+∠BDC=90°，
解得∠BDC=55°．
故选：A．
3．A
【分析】根据菱形的性质、勾股定理求得，即可得是等边三角形，，根据等边三角形的性质和折叠的性质得和是等边三角形，即可得，，根据，得是的中位线，可得，即可得
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴和是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴五边形AEFCD的周长：，
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
根据正方形的性质，点是的中点，，可判定是等边三角形，由此可推出，，再根据含角的直角三角形的性质即可求解．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵沿所在的直线折叠，得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，即，
∵，
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
5．D
【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，得出，根据，求出，即可得出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
解：根据折叠可知，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质；
证明，可得，设，则，在中，由勾股定理构建方程求出，可得的长，然后利用三角形面积公式计算即可．
解：由折叠得：，，
在矩形中，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，
∴的面积．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识．过作于点，先求出，，则点与重合，再由折叠的性质得，设，则，然后由勾股定理得，即可得出答案．
解：如图，过作于点，
，
边长为4，锐角为的菱形，
，，，
，
是的中点，
，
，
，
，，
点与重合，
，，
由折叠的性质得：，
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是设，由，可列方程，解得即可得到答案．
解：设，则，
由题意可知：，是的中点，
，，
，
，
，
，即，
故选：B．
9．B
【分析】过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长．
解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，
由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA，
∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，
∴四边形ADEC是等腰梯形，
连接BE，
∵AB＝AE，CB＝CE，
∴AC是BE的垂直平分线，
∵，
∴CN＝，BN＝1，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
∴AC＝＝＝2，
∴S平行四边形ABCD＝AB DM＝AC BF，
∴4×＝2BF，
∴BF＝，
∴CF＝＝＝，
在等腰梯形ADEC中，
DE＝AC﹣2CF＝2﹣2×＝．
故选：B．
10．B
【分析】连接，根据点E是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可证得；设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解：如图，连接，
∵E是的中点，
∴，
∵沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∵在矩形中，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
即；
故选：B．
11．D
【分析】A.由折叠的性质可以知道和分别是和的平分线，同时是平角，所以可知，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道、，就可以得到，选项B正确；C和D.过点作于点，，可得，．设，可以得到，．根据折叠的性质可得，根据勾股定理，求得，即可得到，，所以．故选项C正确，选项D错误．
解：A.由折叠可知和分别是和的平分线．
又，
，
故选项A正确．
B.又点与点关于对称，
，
又，
，
故选项B正确．
C和D.如答图，过点作于点．
，
，
，
易知，，
设，
，，
点是的中点，折叠后点落到上，
点与点重合，．
易知点共线，
．
，
，
解得．
，，
，
故选项C正确，选项D错误．
综上，故选：D．
12．D
【分析】根据折叠的性质得到，根据直角三角形的性质得到，故①正确；根据正方形的性质得到，，求得，故②正确；根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，故③正确；过作于，过作于，解直角三角形得到，故④正确．
解：点是的中点，
，
将 ADE沿所在的直线折叠，使得点的对应点落在线段上，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，故②正确；
如图所示，
，
，，
是等边三角形，故③正确；
过作于，过作于，
，
则，
正方形面积为12，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，故④正确，
故选：D．
二、填空题
13．
【分析】由平行四边形的性质得，，由折叠得，，，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠得，，，
∴，
∵，
∴∠A/EF=90 ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】先证明，，再根据“”证明，根据全等三角形性质得出，从而得出，证明，根据勾股定理得出，求出即可
解：将沿折叠后得到，
∴，
∴，，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵点是的中点，
∴，
在矩形中，，
又由折叠可知AB=GB，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得：，负值舍去，
故答案为：．
15．
【分析】作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可.
解：
解:作于,
由折叠的性质可知，，,
∵四边形 是菱形，
∴，
∴为等边三角形,，
∴，
设,则.
在中, ，
在 中,,即，
解得,即 .
故答案为.
16．
【分析】判定四边形是正方形，即可得到，再根据，即可利用勾股定理求得的长．
解：如图所示，连接，
由折叠可得，，
又∵∠ABE=90 ，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
，
又，
，
由折叠可得，，
中，，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键；
由平行四边形的性质得，由由折叠的性质得：，，，在根据三角形的内角和定理及角的和差即可解答；
解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
故答案为：
18．
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长．
解：四边形是矩形，，，
，，，，
在中，，
，
由折叠的性质可知，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，
在中，，
故答案为：
19．
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，先根据等角对等边，得出，再设，在中，根据勾股定理列出关于的方程，求得的值即可．熟练掌握勾股定理及利用方程的思想是解题的关键．
解：由折叠得，，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
20．
【分析】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解题的关键．
过点作于点，由菱形的性质和已知条件得出，再设，则，在中，依据勾股定理得到方程，求得的值即可得到的长．
解：如图所示，过作，交的延长线于点，
∵∠A=60 ,AD∥BC,
∴，
设，则，
∵是的中点，
∴，
在中，，
解得，
故答案为：1.2．
21． 30
22．或1
【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图所示．连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到′，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出．
②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形．
解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如图所示．连接，
在中，，，
∴，
∵沿折叠，使点落在点处，
∴，
当为直角三角形时，只能得到，
∴点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴；
②当点落在边上时，如图所示．此时为正方形，
∴．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
23．
【分析】延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，由菱形的性质得，则，所以，由，得，则，所以四边形是矩形，由折叠得，，所以，，则，设则可求得，所以则，，所以，可求得则即可求得，于是得到问题的答案．
解：延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，则，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴设则
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
24．2.4或6
【分析】分两种情况讨论：E点在线段上和E点在线段上.接，先根据折叠的性质和HL得到，.设，则，，求出，把用含有x的式子表示出来.中，根据勾股定理列方程求出x即可.
解：①如图1，当E点在线段上时，连接,
∵四边形是正方形，
∵折叠后，
又
（HL）
∴
设,则，
在Rt中，
解得
②如图2，E点在线段上时，连接,
设,则，
在Rt中
解得
故答案为：2.4或6
三、解答题
25．
解：证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵沿折叠，点C落在点处，
∴，，
在和中
∴，
∴．
26．
解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为，
∴点B与点E关于对称，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）①∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点B与点E关于对称，
∴，
在中， ，
∴，
在中，，，
∴，解得： ，
∴菱形的边长为；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时，，则，
当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图，
则，
那么，
∴菱形的面积范围为，即最大值为36；最小值为．
27．
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：作于，
，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
平行四边形的面积为．
28．
解：[探究] （1）如图①，连接，
垂直平分，
，
由折叠得，
，，，
四边形是正方形，
，，
，
是等边三角形，则，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
由（1）可知：，，，
，
，
，
，
；
应用 设，则，
由（2）知：，
在中，，，，
，
，
，
，
故答案为：．
29．
（1）解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∵点E、F是 的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∴四边形是矩形；
（3）解：如图所示，过点M作于H，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵E为的中点，
∴．
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，即．
30．
（1）解：如图1，连接，
四边形是矩形，
，，，，，
，，
，，
，
解得：；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
连接，过点作于，如图2所示：
则四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
在中，
由勾股定理得：，
，
，，，
，
，
，
的周长；
（3）解：如图3，连接，，，
，
，
，
，
∴，
．