15.1不等式及其性质
一、单选题
1.式子①x-y=2,②xy,③x+y,④x-3y,⑤ x≥0,⑥x3中,属于不等式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.如果,下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知,则下面结论中正确的是( )
A. B. C. D.
4.甲在集市上先买了3只羊,平均每只a元,稍后又买了2只,平均每只羊b元,后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙,结果发现赔了钱.赔钱的原因是( )
A. B. C. D.与a、b大小无关
5.下列各式中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,且,则 D.若,则
6.四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P、Q、R、S,如图所示,则他们的体重大小关系是( )
A.P>R>S>Q B.Q>S>P>R C.S>P>Q>R D.S>P>R>Q
7.若有关于x的不等式可以推出,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知,则和大小关系是( )
A. B. C. D.
9.点,,和原点在数轴上的位置如图所示,有理数,,各自对应着,,三个点中的某一点,且,,,那么表示数的点为( )
A.点 B.点 C.点 D.无法确定
10.下列命题:
①若则②若则③若则;④⑤若则其中正确的有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.用不等式表示“的倒数与2的差是非负数”: .
12.判断正误:
(1)由,得;( )
(2)由,得;( )
(3)由,得;( )
(4)由,得;( )
(5)由,得;( )
(6)由,得.( )
13.利用不等式的性质,把下列各式化成或的形式:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
14.对于下列结论:①为正数,则;②为自然数,则;③不大于5,则;正确的有 .(填所有正确的序号)
15.如果,则 (填“>”、“<”或“=”)
16.在数学课学习不等式及其性质时,小智向老师提出“不等式是不可能成立的,因为如果不等式两边同时除以就会出现的错误结论”的观点,老师肯定了小智的质疑精神,但是指出了他的观点是错误的,并向同学们说明了理由,老师的理由是 .
17.若x、y是两个有理数,且,则的符号是 .
18.若,,,,,则、、之间的大小关系是 .
三、解答题
19.用不等式表示
(1)a的与一1的差是非正数.
(2)a的平方减去b的立方大于a与b的和.
(3)a的减去4的差不小于-6.
(4)x的2倍与y的和不大于5.
(5)长方形的长与宽分别为4、,它的周长大于20.
20.用“>”或“<”填空:
(1)如果a-b(2)如果3a>3b,那么a________b;
(3)如果-a<-b,那么a________b;
(4)如果2a+1<2b+1,那么a________b.
21.下列变形是怎样得到的?
(1)由,得;
(2)由,得;
(3)由,得.
22.a、b、c表示的数在数轴上如图所示,试填入适当的>”“<”或“=”.
(1)______.
(2)________0.
(3)__________.
(4)________.
(5)________.
(6)_______.
(7)________.
(8)_______.
23.将下列不等式化为“”或“”的形式.
(1)
(2)
24.将下列不等式化为“”或“”的形式.
(1);
(2);
(3).
25.已知x>y,比较下列式子的大小,并说明理由:
(1)2x+1和2y+1
(2)5﹣2和5﹣2y
26.已知.
(1)化简;
(2)比较和的大小
27.阅读下列材料:
解答“已知,且,,确定的取值范围”有如下解,
解:∵,
∴.
又∵,
∴.
∴.
又∵,
∴,①
同理得:.②
由①②得.
∴的取值范围是.
请按照上述方法,完成下列问题:
()已知,且,,求的取值范围.
()已知,,若,且,求得取值范围(结果用含的式子表示).
28.阅读下列材料,并完成填空.
你能比较2 0132 014和2 0142 013的大小吗?
为了解决这个问题,先把问题一般化,比较nn+1和(n+1)n(n≥1,且n为整数)的大小.然后从分析n=1,n=2,n=3…的简单情形入手,从中发现规律,经过归纳、猜想得出结论.
(1)通过计算(可用计算器)比较下列①~⑦组两数的大小:(在横线上填上“>”“=”或“<”)
①12__________21;②23__________32;③34__________43;④45__________54;⑤56__________65;⑥67__________76;⑦78__________87;
(2)归纳第(1)问的结果,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系;
(3)根据以上结论,可以得出2 0132 014和2 0142 013的大小关系.
答案
一、单选题
1.B
【分析】根据不等式的定义:表示不等关系的式子叫做不等式,可直接选出答案.
【解析】属于不等式的有:②⑤⑥.共3个
故选:B
2.D
【分析】根据不等式的基本性质和绝对值的概念,可得答案.
【解析】解:由x>y,可得:
A、-2019x<-2019y,故A错误;
B、因为x,y的正负未知,所以或,故B错误;
C、2019-2x<2019-2y,故C错误;
D、x-2019>y-2019,故D正确
故选D.
3.D
【分析】根据不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,可得答案.
【解析】解:∵,m2≥0,
∴m2>0,
∴a>b,
故选D.
4.A
【分析】已知甲共花了3a+2b元买了5只羊.但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了.由此可列出不等式求解,就知道赔钱的原因.
【解析】解:根据题意得到5×<3a+2b,
解得a>b
故选:A.
5.D
【分析】根据不等式的性质,可得答案.
【解析】A、不等式的两边都减1,不等号的方向不变,故A错误;
B、当a<0时,不等式两边乘负数,不等号的方向改变,故B错误;
C、当c<0时,ac<bc,故C错误;
D、不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,故D正确;
故选:D.
6.D
【分析】本题要求掌握不等式的相关知识,利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系,体现了“数形结合”的数学思想.
【解析】观察前两幅图易发现S>P>R,再观察第一幅和第三幅图可以发现R>Q.
故选D.
7.C
【分析】本题考查了不等式的性质.熟练掌握不等式的性质是解题的关键.
根据不等式的性质求解作答即可.
【解析】解:∵的解集为,
∴,
故选:C.
8.C
【分析】本题主要考查了不等式的性质,根据,则由不等式的性质可得,进而可得.
【解析】解:∵,
∴,
故选:C.
9.A
【分析】根据乘积小于0,可得a,b异号,再根据和大于0,得正数的绝对值较大,从图上点的位置关系可得a,b对应着点M与点P;根据ac>bc,变形可得a>b,从而可得答案.
【解析】∵,,
∴异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,
∴对应着点M与点P,
∵,
∴,
∴数b对应的点为点M,
故选:A.
10.A
【分析】根据不等式的性质,逐个判断结果正确与否.
【解析】①错误,根据不等式的性质两边同时加减一个数,不等号方向不变,同时乘以或除以一个大于0的数,不等号方向不变;②正确,根据不等式的性质两边同时加减一个数,不等号方向不变,同时乘以或除以一个小于0的数,不等号方向变号;③ 错误,因为乘以c2=0时;④ 错误,因为不知道a的值;⑤ 错误,则因此有一个正确.故选A
二、填空题
11.
【分析】本题考查了列不等式,倒数,非负数的定义,解题的关键是熟练掌握相关的定义,
根据倒数的定义,和非负数的性质即可解答;
【解析】解:依题意得:,
故答案为:.
12. 正确 正确 正确 正确 错误 错误
【分析】根据不等式的性质解答即可.
【解析】解:∵2a>3,
∴不等式的两边都除以2得:a>,
∴(1)正确;
∵2-a<0,
∴-a<-2,
∴a>2,
∴(2)正确;
∵,
∴不等式的两边都乘以2得:,
∴(3)正确;
∵,
∴不等式的两边都加上m得:,
∴(4)正确;
∵,
∴不等式的两边都乘以-3得:,
∴(5)错误;
∵,
∴不等式的两边都乘以a不能得到:,
∵a的正负不能确定,
∴(6)错误;
13.
【分析】(1)利用在不等式的两边都加上同一个数,不等号的方向不变,从而可得答案;
(2)利用在不等式的两边都减去同一个式子,不等号的方向不变,从而可得答案;
(3)利用在不等式的两边都乘以同一个数,不等号的方向不变,从而可得答案;
(4)利用在不等式的两边都除以同一个数,不等号的方向改变,从而可得答案;
【解析】解:(1)
两边都加上,得:
合并同类项可得:
(2)
两边都减去得:
合并同类项得:
(3)
两边都乘以得:
(4)
两边都除以得:
故答案为:(1)(2)(3)(4)
14.①③
【分析】本题考查了不等式的定义,根据正数大于0,自然数是非负整数,不大于即小于或等于,逐项判断即可得解.
【解析】解:①为正数,则,故①说法正确,符合题意;
②为自然数,则,故②说法错误,不符合题意;
③不大于5,则,故③说法正确,符合题意;
综上所述,正确的有①③,
故答案为:①③.
15.<
【分析】用作差法比较即可.
【解析】解:
,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
故答案为:<.
16.当时,
【分析】根据不等式的性质进行解答即可.
【解析】解:这种说法不对的理由如下:
当时,;
当时,由得.
故答案为:当时,.
17.正
【分析】根据绝对值的意义和性质、整式乘法公式及不等式的基本性质可以得到解答.
【解析】解:∵x∴|x|>|y|>0,
∴,即
∴,符号为正.
故答案为正.
18.
【分析】由可得,所以,同理,然后比较a、b、c的大小即可.
【解析】,
,
,
同理可得,
又,
,
,
即.
三、解答题
19.(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
20.解:(1)由a-b(2)由3a>3b,得a>b;
(3)由-a<-b,得a>b;
(4)由2a+1<2b+1,得2a<2b,∴a<b.
故答案为(1)< (2)> (3)> (4)<.
21.(1),
两边除以得:,
两边减去得:;
(2),
两边减去得:,
两边除以得:;
(3),
两边除以得:,
两边加上得:,
两边乘以得:.
22.由数轴的定义得:,
(1)不等式的两边同加上3,不改变不等号的方向,则;
(2)不等式的两边同减去,不改变不等号的方向,则,即;
(3)不等式的两边同乘以,不改变不等号的方向,则;
(4)不等式的两边同乘以,改变不等号的方向,则;
(5)不等式的两边同乘以,改变不等号的方向,则;不等式的两边同加上1,不改变不等号的方向,则;
(6)不等式的两边同乘以正数,不改变不等号的方向,则;
(7)不等式的两边同减去,不改变不等号的方向,则;
(8)不等式的两边同乘以正数,不改变不等号的方向,则.
23.(1)解:
不等式两边同时乘,
解得:;
(2)解:
不等式两边同时减,得,
不等式两边同时减3,得,
不等式两边同时除以,得.
24.(1)解:不等式两边同时减去6,
得:,
解得:.
(2)不等式两边同时除以,
得:,
解得:.
(3)不等式两边同时减去,
得:,
解得:.
25.解:(1)∵x>y,
∴2x>2y,
∴2x+1>2y+1;
(2)∵x>y,
∴-2x<-2y.
∴5-2x<5-2y.
26.(1)解:
(2)解:∵,
而,
∴,
∴,
即.
27.
解:(1)∵x-y=3,∴x=y+3.
∵x>2,∴y+3>2,∴y>-1.
∵y<1,∴-1<y<1.…①
同理得:2<x<4.…②
由①+②得-1+2<y+x<1+4,
∴x+y的取值范围是1<x+y<5.
(2)∵x-y=a,∴x=y+a.
∵x<-1,∴y+a<-1,∴y<-a-1.
∵y>1,∴1<y<-a-1.…①
同理得:a+1<x<-1.…②
由①+②得1+a+1<y+x<-a-1+(-1),
∴x+y的取值范围是a+2<x+y<-a-2.
28.(1)①12=1,21=2,则12<21;
②23=8,32=9,则23<32;
③34=81,43=64,则34>43;
④45=1024,54=625,则45>54;
⑤56=15625,65=7776,则56>65;
⑥67=279936,76=117649,则67>76;
⑦78=5764801,87=2097152,则78>87.
(2)从上面的结果,可以猜想出和的大小关系是:当时,
当时,
(3)由(2)中规律可知