沪教版七年级数学下册 15.2一元一次不等式 （含详解）

15.2一元一次不等式
一、单选题
1．下列不等式中，是一元一次不等式的有( )个．
①x＞﹣3；②xy≥1；③x2＜3；④ ﹣≤1；⑤＞1．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．解不等式时，去分母步骤正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式的正整数解有一个 B．不等式的整数解有无数个
C．－2是不等式的一个解 D．不等式的解集是
5．与不等式的解集相同的不等式是（ ）
A． B． C． D．
6．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（　　）
A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜0
7．不等式4（x－1）＜3x－2的正整数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知关于的不等式与的解集相同，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
9．初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要3.2元，洗一张相片需要1.4元，在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足2元，那么参加合影的同学人数（ ）
A．至多6人 B．至多5人 C．至少6人 D．至少5人
10．关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是( )
A．a＜－4 B．a＞5 C．a＞－5 D．a＜－5
二、填空题
11．已知不等式是一元一次不等式，则 ．
12．如果，则的取值范围是 ；不等式的解集是 ．
13．的值不大于的值，的取值范围是 ．
14．已知等腰三角形的周长为，则这个等腰三角形的腰长x的范围是 ．
15．某种商品的价格在第一季度上升了10%，在第二季度下降了，但并不低于原价，则的取值范围是 ．
16．当 时，代数式的值是非负数．
17．已知关于的不等式的正整数解有个，则的取值范围是 ．
18．若关于x，y的方程组的解使4x＋7y＞2成立，则k的取值范围是 ．
三、解答题
19．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5） （6）；
（7）； （8）．
(9)x-1＞2x； (10)-x>1； (11)-≤1.
20．下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务．
解不等式：
解：第一步
第二步
．第三步
．第四步
第五步
任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．若满足代数式的值与代数式的值相等，且求的取值范围．
22．已知不等式的最小整数解为方程的解，求的值．
23．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或90分以上），求这个队至少要答对多少道题？
24．老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔教不超过老李养兔数的．一年前老张至少买了多少只种兔？
25．某工程队计划在10天内修路8千米，施工前2天修完千米后，计划发生改变，准备至少提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？
26．【探究归纳】
解不等式：（1）；（2）．总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”．
【问题解决】
(1)的解集 的解集的“子集”（填是或不是）；
(2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值．
27．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52．
(1)填空：34、48的“翠屏数”分别是________、________；
(2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除；
(3)若一个两位数为x，它的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，若，直接写出符合条件的x的值．
答案
一、单选题
1．B
【分析】一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可．
【解析】解：根据一元一次不等式的定义，①x＞﹣3，④ ﹣≤1是一元一次不等式，共2个，
故选：B．
2．B
【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【解析】解：∵，
在数轴上表示如图
故选B．
3．D
【分析】不等式两边都乘以6即可得解.
【解析】解:不等式两边都乘以6得，
故选: D.
4．D
【分析】解出不等式即可判断C，D，根据不等式的整数解，即可判断A，B．
【解析】解：A，不等式的正整数解只有1，故选项正确，不符合题意；
B，不等式的整数解有无数个，故选项正确，不符合题意；
C，不等式的解集是，所以－2是不等式的一个解，故选项正确，不符合题意；
D，不等式的解集是，故选项错误，符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】利用不等式的性质进行计算求解，逐项判断．
【解析】由，解得：，
A、由，解得：，故符合题意；
B、由，解得：，故不符合题意；
C、由，解得：，故不符合题意；
D、由，解得：，故不符合题意；
故选A．
6．C
【分析】根据不等式的解法，给左右两边同时除以（a－1），且a－1≠0，根据不等式的解集为x＜1发现，不等号的方向发生了改变，由此可知a－1小于0，进而可以推出a的取值范围．
【解析】解：要解此不等式要在不等号的两边同时除以（a－1）且a≠1，不等号右边变为1，
∵不等号的方向发生了改变，
∴a－1＜0，解得a＜1，
故选C.
7．B
【分析】去括号、移项、合并同类项，然后系数化成1即可求得不等式组的解集，然后确定正整数解即可．
【解析】解：去括号，得：4x-4＜3x-2，
移项，得：4x-3x＜4-2，
合并同类项，得：x＜2，
则正整数解是：1．
故选：B．
8．A
【分析】求出不等式的解集，对应即可得出答案．
【解析】解：，
解得，
，
解得，
∴，
∴，
故选：A．
9．C
【分析】本题可设参加合影的人数为x，根据平均每人分摊的钱不足2元，列出不等式，解出x即可．
【解析】解：设参加合影的人数为x，
则有：1.4x＋3.2＜2x
0.6x＜ 3.2
x＞
所以至少6人．
故选：C．
10．B
【分析】先解关于x的方程，再根据方程的解是负数，即可得到关于a的不等式，解出即可得到结果．
【解析】解：由5－a(1－x)＝8x－(3－a)x，解得，
，
，
解得a＞5，
故选B．
二、填空题
11．
【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义列方程求解即可．
【解析】解：不等式是一元一次不等式
解得：
故答案为：．
12．
【分析】根据不等式的性质，可得a的取值范围；根据解不等式，可得答案．
【解析】，
，
，
，
即，则的取值范围是；
，
，
，
不等式的解集是．
故答案为：
13．
【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解析】解：由题意，得：
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
的取值范围是
故答案为：．
14．
【分析】设等腰三角形的底边长为ycm，根据三角形三边的不等关系及周长，可得关于x的不等式，解不等式即可．
【解析】设等腰三角形的底边长为ycm，
由已知得，，
∴，
解得：x>3，
∵y=12-2x>0，
∴x<6
∴
故答案为：
15．
【分析】设某种商品的原价为1，则该商品在第一季度及第二季度的价格均可表示出来，根据不等关系：第二季度的价格≥原价，列出不等式并解不等式即可．
【解析】设某种商品的原价为1，则该商品在第一季度的价格为：1+10%，在第二季度的价格为(1+10%)[1－(a－5)%]
由题意，得：(1+10%)[1－(a－5)%]≥1
解得：
∵a>5
∴
故答案为：．
16．
【分析】根据题意，列出不等式解不等式即可．
【解析】依题意
去分母得：
去括号得：
移项，合并同类项得：
化系数为1，得：
故答案为：
17．
【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式整数解的个数得出关于某个字母的不等式组是解题的关键．解出不等式求出的范围，根据不等式有且只有个正整数解列出关于不等式，解之可得答案．
【解析】解：，
，
，
不等式有个正整数解，则最大的正整数解一定是．
，
解得：，
故答案为：．
18．k＞3
【分析】将第一个方程×2－第二个方程，得到4x+7y=2k-2-2，然后代入4x+7y＞2，解关于k的一元一次不等式即可．
【解析】
由①×2﹣②得：4x+7y=2k-2-2，∴2k-2-2＞2，∴2k＞6，解得：k＞3．
故答案为k＞3．
三、解答题
19．解：
（1），
解得：；解集在数轴上表示如下：
（2），
移项得：，
化简得：，
解得：；解集在数轴上表示如下：
（3），
去分母得：，
移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下：
（4），
移项得：，
合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下：
（5），
去分母得：，
移项合并同类项得：，
解得：；解集在数轴上表示如下：
（6），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下：
（7），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下：
（8），
移项合并同类项得：，
系数化为1解得：．解集在数轴上表示如下：
(9)移项，得x-2x>1.
合并，得-x＞1.
系数化为1，得x＜-2.
其解集在数轴上表示为：

(10)去分母，得5x-1-3x>3.
移项，得2x>4.
系数化为1，得x>2.
把不等式的解集在数轴上表示为：

(11)去分母，得2(2x-1)-(9x+2)≤6.
去括号，得4x-2-9x-2≤6.
移项，得4x-9x≤6+2+2.
合并同类项，得-5x≤10.
系数化为1，得x≥-2.
把不等式的解集在数轴上表示为：
20．解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的；
②第五步开始出错，这一步错误的原因是：不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；
任务二：该不等式的解集为：，用数轴表示如下：
21．解:由题意，得
解得
将代入得
解得
所以的取值范围是
22．解：
解得，，
不等式的最小整数解为，
，
解得．
23．解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题，
根据题意得：，
解得：，
∴x的最小值为13，
∴这个队至少答对13道题．
24．设一年前老张至少买了只种兔，
根据题意可得：，
整理得： ，
解得：，
答：一年前老张至少买了8只种兔．
25．解：设以后平均每天修路x千米，由题意得，
，
解得：；
答：以后几天内平均至少要修路千米．
26．（1）解：解不等式得，
解不等式得，
∴的解集是解集的“子集”，
故答案为：是；
（2）解：解不等式，得，
解不等式，得．
关于的不等式的解集是的解集的“子集”，
，解得．
是正整数，
的值为1或2或3．
27．（1）由“翠屏数”的定义可得，34、48的“翠屏数”分别是43，84；
故答案为：43，84；
（2）一个两位数，它的个位数字为a，十位数字为b，
这个两位数是，它“翠屏数”是，
，
为正整数，
能被11整除，
这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除；
（3）x的个位数字记为m，十位数字记为n，x与它“翠屏数”之和与11的商记为y，
，
，
可转化为：，
即，
为正整数，
或或或或，
符合条件的x的值为81或82或91或92或93