北师大版八年级下册
姓名： 班级：
分层 类别 第一章三角形的证明 1.1等腰三角形分层作业1
基础 巩固 （ABC） 1．若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（ ） A．10 B．10或11 C．10或12 D．11 2．等腰三角形的一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角的度数是（ ） A．35° B．55° C．35°或55° D．110° 3．一个两边长分别为4和9的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．17B．22 C．13 D．17或22 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAB＝40°，则∠ACE的度数是（ ） A．20°B．30°C．35°D．70° 5．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（ ） A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，AD是△ABC的角平分线，则CD的长是（ ） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 7．一个等腰三角形，周长为9，其余各边均为整数，则腰长为（ ） A．4或3或2 B．4或3 C．4 D．3 8．若等腰三角形的顶角为36°，则底角为（ ） A．36° B．54° C．72° D．108° 9．如果等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个内角分别是（ ） A．80°和40°B．40°和40°C．100°和100° D．100°和40° 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，若AB＝m，BC＝n，则△BCD的周长为（ ） A．m+n B．m﹣n C．2m D．2n
综合 应用 AB组 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝16，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长为 ． 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 ． 13．若等腰三角形的周长为8cm，其中一边长为2cm，则底边长为 cm． 14．等腰三角形的顶角为80°，底角的度数为 °． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD⊥CD，CD平分∠ACB，若∠ABD＝6°，则∠A＝ ．
拓展 提高 （A组） 16．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC． 17．如图，在等腰锐角△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD＝α． （1）用含α的代数式表示∠A； （2）若CE＝CF，求∠EBC的度数； （3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB＝AC＝2，求△ABC的面积． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． （1）求证：AF＝AD； （2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
参考答案与试题解析
1．若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（ ）
A．10 B．10或11 C．10或12 D．11
【答案】B
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长＝3+3+4＝10，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长＝3+4+4＝11，
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故选：B．
2．等腰三角形的一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角的度数是（ ）
A．35° B．55° C．35°或55° D．110°
【答案】A
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角是110°，
∴等腰三角形的顶角为110°，
∴等腰三角形的底角为35°，
故选：A．
3．一个两边长分别为4和9的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．17 B．22 C．13 D．17或22
【答案】B
【解答】解：分为两种情况：①当等腰三角形的腰为9时，三角形的三边是4，9，9，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9＝22；
②当等腰三角形的腰为4时，三角形的三边是4，4，9，
∵4+4＜9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
故选：B．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAB＝40°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．70°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠CAB＝40°，
∴∠B＝∠ACB70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE∠ACB＝35°．
故选：C．
5．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC
C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，AD是边BC上的高，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC，
∴，
故选项A、C、D正确，不符合题意，
而已知条件无法证明∠BAC＝∠ABC，故选项B错误，符合题意．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，AD是△ABC的角平分线，则CD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴CD＝DBBC8＝4．
故选：C．
7．一个等腰三角形，周长为9，其余各边均为整数，则腰长为（ ）
A．4或3或2 B．4或3 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：设腰长为x，那么底边长为9﹣2x，
∴2x＞9﹣2x；9﹣2x＞0；
解得：2.25＜x＜4.5，
∵x为整数，
∴x为3，4．
∴腰长为4或3．
故选：B．
8．若等腰三角形的顶角为36°，则底角为（ ）
A．36° B．54° C．72° D．108°
【答案】C
【解答】解：∵（180°﹣36°）÷2＝72°，
∴底角是72°，
故选：C．
9．如果等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个内角分别是（ ）
A．80°和40° B．40°和40°
C．100°和100° D．100°和40°
【答案】B
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角是100°，
∴等腰三角形的顶角是100°，
∴等腰三角形的底角是（180°﹣100°）＝40°，
∴另两个内角是40°和40°．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，若AB＝m，BC＝n，则△BCD的周长为（ ）
A．m+n B．m﹣n C．2m D．2n
【答案】A
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC，
∵AC＝m，BC＝n，
∴△BCD的周长＝m+n．
故选：A．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝16，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长为 28 ．
【答案】28．
【解答】解：AB＝AC＝20，AD平分∠BAC，
∴CDBC16＝8，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E为AC 的中点，
∴DEAC，
∴DE＝AE，
∴△CDE的周长＝CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝CD+AC＝28．
故答案为：28．
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 60°或120° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°；
当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°；
综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°．
故答案为：60°或120°．
13．若等腰三角形的周长为8cm，其中一边长为2cm，则底边长为 2 cm．
【答案】2．
【解答】解：当2cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（8﹣2）÷2＝3（cm），能够组成三角形；
当2cm是等腰三角形的腰时，则其底边是8﹣2×2＝4（cm），不能够组成三角形；
故该等腰三角形的底边长为2cm．
故答案为：2．
14．等腰三角形的顶角为80°，底角的度数为 50 °．
【答案】50．
【解答】解：由题意知，底角的度数为，
故答案为：50．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD⊥CD，CD平分∠ACB，若∠ABD＝6°，则∠A＝ 52° ．
【答案】52°．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
设∠ACB＝∠ABC＝α，
∵∠ABD＝6°，CD平分∠ACB，
∴∠BCDα，∠DBC＝α﹣6°，
∵BD⊥CD，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，
∴α+α﹣6°＝90°，
∴α＝64°，
∴∠ACB＝∠ABC＝64°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝52°，
故答案为：52°．
16．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
17．如图，在等腰锐角△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD＝α．
（1）用含α的代数式表示∠A；
（2）若CE＝CF，求∠EBC的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB＝AC＝2，求△ABC的面积．
【答案】（1）2α；
（2）45°；
（3）6．
【解答】解：（1）∵CD为AB边上的高线，∠BCD＝α，
∴∠ABC＝90°﹣α，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝90°﹣α，
∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（90°﹣α+90°﹣α）＝2α；
（2）∵CD为AB边上的高线，∠A＝2α，
∴∠ACD＝90°﹣2α，
∵CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF（180°﹣∠ACD）（180°﹣90°+2α）＝45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE＝∠EBC+∠BCD＝∠EBC+α，
∴∠EBC+α＝45°+α，
∴∠EBC＝45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N，AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB＝AC，∠A＝2α，
∴∠EAM＝α，
∴∠EAM＝∠BCD＝α，
∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA＝180°，∠CFE+∠BFC＝180°，
∴∠MEA＝∠BFC，
∵若E为AC中点，AB＝AC，
∴AE＝CE＝CF
在△AEM和△CFB中，
，
∴△AEM≌△CFB（SAS），
∴设ME＝BF＝x，
∵AB＝AC，AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC＝MB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠MCB＝∠EBC＝45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC＝90°，
即CM⊥EF，
∵CE＝CF，
∴ME＝MF＝BF＝x，
∴MC＝MB＝BF+MF＝2x，
在Rt△CME中，ME＝x，CM＝2x，CE＝√（5），
由勾股定理得：CE，
∴，
∴x＝1，
∴MC＝MB＝2x＝2，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：BC，
∴BN＝CNBC，
在Rt△ACN中，由勾股定理得：AN，
∴S△ABCBC AN6．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵FE⊥BC，
∴∠FEC＝∠FEB＝90°，
∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠ADF，
∴AF＝AD；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠BDE＝30°，∠C＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形．
∴BC＝AC，
∵BD＝4，
∴
∴BC＝BE+EC＝2+6＝8，
∴AC＝8．北师大版八年级下册
姓名： 班级：
分层 类别 第一章三角形的证明 1.1等腰三角形分层作业2
基础 巩固 （ABC） 1．下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（ ） A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7 2．在△ABC中，已知，∠B＝∠C，则（ ） A．AB＝BC B．AB＝AC C．BC＝AC D．∠A＝60° 3．在下列各组几何图形中，一定全等的是（ ） A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．腰长相等的两个等腰直角三角形 C．两个等边三角形 D．各有一个角是40°，腰长都是5cm的两个等腰三角形 4．长度分别为3，1，x的三条线段能组成一个等腰三角形，x的值可以是（ ） A．1 B．3 C．1或3 D．不存在 5．下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（ ） A．4，5，6 B．3，4，5 C．3，3，4 D．3，3，6 6．△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（ ） A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为（ ） A．3个B．4个C．5个D．6个 8．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝9，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ） A．6 B．9 C．12 D．15 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，作DE∥BC交AB于点E．若AE＝10，BE＝6，则△ADE的周长为（ ） A．18 B．20 C．22 D．24
综合 应用 AB组 10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，则△ADE的周长为 ． 11．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝BC＝3，则AC＝ ． 12．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 ． 13．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，求DE的长． 14．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E．求证：△CEB是等腰三角形． 15．如图所示，∠1＝∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形． 16．如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：△EAB是等腰三角形．
拓展 提高 （A组） 17．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，∠B＝2∠C． （1）求证：AB＝AE； （2）作AD⊥BC交BC于点D，若AC＝7cm，△ABC的周长为17cm，求△ADC的面积． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点F在BC延长线上，连接FD并延长，交AB于点E，连接AF． （1）求∠BAC和∠ACB的度数； （2）若点E是AB的中点，求证：△ABF是等腰三角形．
参考答案与试题解析
1．下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（ ）
A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7
【答案】B
【解答】解：A、不是等腰三角形；
B、3+7＞7，能构成三角形；
C、2+2＜6，不能构成等腰三角形；
D、不是等腰三角形．
故选：B．
2．在△ABC中，已知，∠B＝∠C，则（ ）
A．AB＝BC B．AB＝AC C．BC＝AC D．∠A＝60°
【答案】B
【解答】解：如图，∵∠B＝∠C
∴AB＝AC．
故选：B．
3．在下列各组几何图形中，一定全等的是（ ）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．腰长相等的两个等腰直角三角形
C．两个等边三角形
D．各有一个角是40°，腰长都是5cm的两个等腰三角形
【答案】B
【解答】解：A、各有一个角是45°的两个等腰三角形，不一定全等，因为边不一定相等，不符合题意；
B、腰长相等的两个等腰直角三角形全等，符合题意；
C、两个等边三角形不一定全等，因为边不一定相等，不符合题意；
D、各有一个角是40°，腰长都是5cm的两个等腰三角形不一定全等，因为40°不一定是顶角，不符合题意；
故选：B．
4．长度分别为3，1，x的三条线段能组成一个等腰三角形，x的值可以是（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．不存在
【答案】B
【解答】解：∵长度分别是3，1，x的三条线段能组成一个三角形，
∴3﹣1＜x＜3+1，
即2＜x＜4，
∴x的值可以是3．
故选：B．
5．下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．3，4，5 C．3，3，4 D．3，3，6
【答案】C
【解答】解：根据等腰三角形定义和三角形三边关系，逐项分析判断如下：
A、∵4+5＞6，
∴4、5、6能组成三角形，但不是等腰三角形，故A选项不符合题意；
B、∵3+4＞5，
∴3、4、5能组成三角形，但不是等腰三角形，故B选项不符合题意；
C、∵3+3＞4，
∴3、3、4能组成三角形，并且是等腰三角形，故C选项符合题意；
D、∵3+3＝6，
∴3、3、6不能组成三角形，故D选项不符合题意．
故选：C．
6．△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解答】解：∵（a﹣b）2≥0，，，
又∵，
∵，解得：，
∵a＝b＝3，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵a2+b2＝32+32＝18，，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故选：D．
7．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，
∴△ABC和△ADE是等腰三角形，
∵∠B＝36°，∠ADE＝72°，
∴∠BAD＝36°，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，同理△AEC是等腰三角形，
∵∠ADE＝∠AED＝72°，
∴∠DAE＝36°，
∴∠CAD＝36°+36°＝72°，
∴∠CAD＝∠CDA＝72°，
∴△ADC是等腰三角形，
同理：△ABE是等腰三角形，
综上所述：等腰三角形有6个，
故选：D．
8．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝9，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】D
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝9，
∴△AEF的周长为AE+EF+AF
＝AE+ED+FD+AF
＝AE+EB+FC+AF
＝AB+AC
＝6+9
＝15．
故选：D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，作DE∥BC交AB于点E．若AE＝10，BE＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】D
【解答】解：由角平分线定义可知∠CBD＝∠EBD；
∵DE∥BC，∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠CBD，∠ADE＝∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴DE＝BE＝6；
由勾股定理得：，
∴△ADE的周长为：10+6+8＝24．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，则△ADE的周长为 15 ．
【答案】15．
【解答】解：由条件可知∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC，
∴BD＝DO，CE＝EO，
∴△ADE的周长为AD+DO+OE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝9+6＝15，
故答案为：15．
11．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝BC＝3，则AC＝ 3 ．
【答案】3．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝∠C，
∴AC＝AB，
∵AB＝BC＝3，
∴AC＝3，
故答案为：3．
12．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 70°或40°或20° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
13．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，求DE的长．
【答案】3cm．
【解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm），
14．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E．求证：△CEB是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵CE∥DA，
∴∠A＝∠CEB．
又∵∠A＝∠B，
∴∠CEB＝∠B．
∴CE＝CB．
∴△CEB是等腰三角形．
15．如图所示，∠1＝∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AE∥BC（已知），
∴∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠B＝∠C（等量代换）．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形（等角对等边）．
16．如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：△EAB是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：在△ADB和△BCA中，AD＝BC，AC＝BD，AB＝BA，
∴△ADB≌△BCA（SSS）．
∴∠DBA＝∠CAB．
∴AE＝BE．
∴△EAB是等腰三角形．
17．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，∠B＝2∠C．
（1）求证：AB＝AE；
（2）作AD⊥BC交BC于点D，若AC＝7cm，△ABC的周长为17cm，求△ADC的面积．
【答案】（1）件详解；（2）5cm2．
【解答】（1）证明：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ECA，
∴∠AEB＝2∠C，
∵∠B＝2∠C．
∴∠B＝∠AEB，
∴AB＝AE；
（2）解：∵AC＝7cm，△ABC的周长为17cm，
∴AB+BC＝17﹣7＝10（cm），
∵AE＝CE，
∴AB+BE+AE＝10（cm），
∵AD⊥BE，AB＝AE，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝DE+AE＝DE+CE5（cm），即CD＝5（cm），
由勾股定理可得：AD2（cm）．
∴S△ADC5（cm2）．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点F在BC延长线上，连接FD并延长，交AB于点E，连接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度数；
（2）若点E是AB的中点，求证：△ABF是等腰三角形．
【答案】（1）∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AD＝BD＝BC，
∴∠BAD＝∠ABD，∠BCD＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC+∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠BAC+2∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝36°，∠ACB＝2∠BAC＝72°．
（2）证明：∵AD＝BD，E是AB中点，
∴DE垂直平分AB，
∴FA＝FB，
∴△FAB是等腰三角形．北师大版八年级下册
姓名： 班级：
分层 类别 第一章三角形的证明 1.1等腰三角形分层作业3
基础 巩固 （ABC） 1．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（ ） A．等腰直角三角形 B．一般的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形 3．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（ ） A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形 4．三角形三边长为a、b、c，满足，则这个三角形是（ ） A．等边三角形B．钝角三角形C．锐角三角形 D．直角三角形 5．在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（ ） A．∠A＝60° B．AC＝BC C．∠B与∠C互余 D．AB边上的高也是AB边上的中线 6．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是（ ） A．12 B．15 C．18 D．20 7．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝（ ） A．45米 B．48米 C．50米 D．52米 8．下列说法错误的是（ ） A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D．三个角都相等的三角形是等边三角形． 9．如图，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（ ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，△ABC是等边三角形，点E，F分别在AB，AC边上，且EF∥BC，若AB＝6，BE＝4，则EF的长为（ ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
综合 应用 AB组 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为BC边上一点，∠ADC＝75°，若AB＝AC+CD，则∠B的度数为 ． 12．如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，若BC＝10，则CD的长为 ． 13．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为 ． 14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC是 三角形． 15．如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，作DE∥AB交AC的延长线于点E．若AB＝5，AE＝8，则DE的长为 ．
拓展 提高 （A组） 16．如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BE＝CD； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 17．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 18．如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 19．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．求证：． 20．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE． （1）若BE＝6，求AB的长； （2）求证：△CDE是等边三角形．
参考答案与试题解析
1．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC＝5，
∴∠C＝∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝5．
故选：C．
2．已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（ ）
A．等腰直角三角形 B．一般的等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
【答案】C
【解答】解：①120°的角为顶角的外角，则顶角为180°﹣120°＝60°，底角为（180°﹣60°）÷2＝60°，三角形为等边三角形；
②120°的角为底角的外角，则底角为180°﹣120°＝60°，顶角为180°﹣60°×2＝60°，三角形为等边三角形．
故选：C．
3．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解答】解：∵等边三角形的三个角都等于60°，
∴原三角形不可能为等边三角形，
故选：D．
4．三角形三边长为a、b、c，满足，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解答】解：∵|a﹣3|（c﹣5）2＝0，
∴a﹣4＝0，4﹣b＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵a2+b2＝16+9＝25，c2＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：D．
5．在△ABC中，AB＝AC，添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝60°
B．AC＝BC
C．∠B与∠C互余
D．AB边上的高也是AB边上的中线
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
当∠A＝60°时，△ABC是等边三角形，故A不符合题意；
当AC＝BC时，△ABC是等边三角形，故B不符合题意；
当∠B与∠C互余时，即∠B+∠C＝90°，△ABC不一定是等边三角形，故C符合题意；
当AB边上的高也是AB边上的中线时，得到CA＝CB，△ABC是等边三角形，故D不符合题意．
故选：C．
6．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
【答案】C
【解答】解：∵三角形是等腰三角形，一个内角为60°，
∴三角形是等边三角形，
∵一边长为6，
∴它的周长是6×3＝18；
故选：C．
7．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝（ ）
A．45米 B．48米 C．50米 D．52米
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝48米，
故选：B．
8．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
D．三个角都相等的三角形是等边三角形．
【答案】C
【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；
C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；
D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
故选：C．
9．如图，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AD是BC上的高，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠EDB＝60°，∠B＝60°，
∴△BED是等边三角形，
∴BD＝ED＝BE，
∵BD＝CD，ED∥AC，
∴ED是△ABC的中位线，
∴BE＝AE，
∴BD＝AE．
∴图中与BD（BD除外）相等的线段有CD、DE、BE、AE共4条．
故选：D．
10．如图，△ABC是等边三角形，点E，F分别在AB，AC边上，且EF∥BC，若AB＝6，BE＝4，则EF的长为（ ）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
【答案】D
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AB＝6，BE＝4，
∴AE＝2，∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF＝AE＝2，
故选：D．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为BC边上一点，∠ADC＝75°，若AB＝AC+CD，则∠B的度数为 30° ．
【答案】30°．
【解答】解：如图：延长BC至E，使得AC＝CE，则∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠E+∠CAE＝60°，
∴∠E＝∠CAE30°，
∵∠ADC＝75°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∴∠EAD＝∠CAD+∠CAE＝75°＝∠ADC，
∴AE＝DE，
∵DE＝CD+CE＝CD+AC，AB＝AC+CD，
∴AB＝DE＝AE，
∴∠B＝∠E＝30°，
故答案为：30°．
12．如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，若BC＝10，则CD的长为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
∴CD＝BDBC，
∵BC＝10，
∴CD＝5．
故答案为：5．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的高为2，
又∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC，
∴，
∴OE+OF＝2，
故答案为：2．
14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC是 等边 三角形．
【答案】等边．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
解得，a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边．
15．如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，作DE∥AB交AC的延长线于点E．若AB＝5，AE＝8，则DE的长为 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由条件可知AB＝AC＝5，∠A＝∠B＝60°，
∵AE＝8，
∴CE＝AE﹣AC＝8﹣5＝3，
∵DE∥AB，
∴∠D＝∠B＝60°，∠E＝∠A＝60°，
∴∠D＝∠E＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴DE＝CE＝3．
故答案为：3．
16．如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）90°．
【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F，
由条件可知BF＝CF，
∵AD＝AE，AF⊥BC，
∴DF＝EF，
∴BF+EF＝CF+DF，
即BE＝CD；
（2）解：由条件可知△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA，
又∠DAB+∠DBA＝∠ADE＝60°，
∴，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+60°＝90°．
17．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADB＝∠EDF，
∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
18．如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）AD＝CE，理由见解答过程．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
∴AB＝CB，
∵EF⊥AB，
∴∠ABC+∠E＝90°，
∵∠E＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：AD＝CE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵点D是AC边的中点，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE．
19．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．求证：．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴AD＝DC，∠A＝∠ABC＝60°，AB＝AC，
∵DE∥AB，
∴∠AED＝∠ABC＝60°
∴∠A＝∠AED＝∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE＝ADACAB．
20．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE．
（1）若BE＝6，求AB的长；
（2）求证：△CDE是等边三角形．
【答案】（1）12；（2）证明见解答．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∵AE⊥BC，
∴BEBCAB，
∴AB＝2BE＝2×6＝12；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠C＝60°，
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴CEBC，CDAC，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE（180°﹣60°）＝60°，
即∠CED＝∠CDE＝∠C，
∴△CDE是等边三角形．北师大版八年级下册
姓名： 班级：
分层 类别 第一章三角形的证明 1.1等腰三角形分层作业4
基础 巩固 （ABC） 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝5cm，则BC的长度为（ ） A．2.5cm B．3cm C．1.5cm D．2cm 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝5cm，则BC的长为（ ） A．8cm B．12cm C．16cm D．15cm 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（ ） A．16 B．12 C．10 D．8 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则BD与AB的关系是（ ） BDAB B．BDAB C．BDAB D．BDAB 5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2cm，则AB的长是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（ ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，BD＝10，则BC的长度为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 8．在直角三角形中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AC的长是（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C 12．玲玲在用反证法证明“△ABC中至少有一个内角小于或等于60°”时，她应先假设这个三角形中（ ） A．有一个内角大于60° B．有一个内角大于等于60° C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60° 13.在△ABC中AB＝6，AC＝4，若∠B＝30°，则BC的长是 ． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，DE＝3，∠B＝30°，则BC＝ ．
综合 应用 AB组 15．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝1，则OM的长为 ． 16．若等腰三角形的顶角为150°，腰长为10，则这个等腰三角形的面积为 ． 17．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）求证：BE＝EF． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，连接DF． （1）△ADF是等边三角形吗？为什么？ （2）若MF的长为1，求AB的长．
拓展 提高 （A组） 19．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，等边三角形CDE的两个顶点D、E在边AB、BC上． （1）求证：∠ACD＝∠EDB； （2）求AD的长． 20．小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面l上，底座的高AB为4cm，长度均为18cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上． （1）转动连杆BC、CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE； （2）为了让光线更佳，他将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时，台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？
参考答案与试题解析
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝5cm，则BC的长度为（ ）
A．2.5cm B．3cm C．1.5cm D．2cm
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝5cm，
∴∠A＝30°，
∴BCAB＝2.5（cm）．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝5cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．15cm
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵AB⊥AD，AD＝5cm，
∴∠BAD＝90°，BD＝2AD＝10cm，
∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴AD＝CD＝5cm，
∴CB＝DB+CD＝15cm．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8，
∴AB＝2BC＝16，∠B＝60°，
又∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴AD＝AB﹣BD＝12，
故选：B．
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，则BD与AB的关系是（ ）
A．BDAB B．BDAB C．BDAB D．BDAB
【答案】C
【解答】解：根据题意，
∵CD是高，∠A＝30°，
∴在Rt△ACD中，ADCD，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴在Rt△CDB中有CDBD，
∴AD＝3BD，
∴AB＝4BD，即BDAB．
故选：C．
5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2cm，则AB的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
又∵CD是高，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝4cm．
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝8cm．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC，
∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，
∴BD＝2AD＝4，
∴AD＝CD＝2，
∴CD＝2．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，BD＝10，则BC的长度为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠DEB＝90°，DA＝DB＝10，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴CDAD＝5，
∴BC＝CD+BD＝5+10＝15，
故选：C．
8．在直角三角形中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AC的长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【解答】解：如图，∵CD是斜边AB上的高，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∵AD＝2cm，
∴AC＝2AD＝2×2＝4（cm），
故选：B．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝2×4＝8，故C选项符合题意．
故选：C．
10．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴ECDC，
∴CD＝2EC，
∵EC＝3，
∴CD＝2×3＝6．
故选：C．
11．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A．∠A＝∠B B．AB＝BC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C
【答案】C
【解答】解：∠B≠∠C的反面是∠B＝∠C．
故可以假设∠B＝∠C．
故选：C．
12．玲玲在用反证法证明“△ABC中至少有一个内角小于或等于60°”时，她应先假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角大于等于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
【答案】C
【解答】解：用反证法证明“△ABC中至少有一个内角小于或等于60°”时，应先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，
故选：C．
13．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，若∠B＝30°，则BC的长是 ．
【答案】．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC，
∵AB＝6，∠B＝30°，
∴ADAB6＝3，，
∴，
∴，
所以BC的长为；
故答案为：．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，DE＝3，∠B＝30°，则BC＝ 9 ．
【答案】9．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BED＝90°，BD＝AD，AC＝18，BC＝12，
∵DE＝3，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2×3＝6，
∴AD＝BD＝6，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝90°﹣60°＝30°，
∵∠C＝90°，
∴DCAD6＝3，
∴BC＝BD+DC＝6+3＝9．
故答案为：9．
15．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝1，则OM的长为 5.5 ．
【答案】5.5．
【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝12，
∴∠OPD＝30°，
∴DOOP＝6，
∵PM＝PN，MN＝1，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝0.5，
∴MO＝DO﹣MD＝6﹣0.5＝5.5．
故答案为：5.5．
16．若等腰三角形的顶角为150°，腰长为10，则这个等腰三角形的面积为 25 ．
【答案】25．
【解答】解：如图：过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，
在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝150°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝30°，
在Rt△ABD中，BDAB＝5，
∴△ABC的面积AC BD
5×10
＝25，
故答案为：25．
17．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）求证：BE＝EF．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，
∵∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°，
∴∠AFE＝∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABF＝30°，
∴AE＝BE，
由（1）知△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴BE＝EF．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，连接DF．
（1）△ADF是等边三角形吗？为什么？
（2）若MF的长为1，求AB的长．
【答案】（1）△ADF是等边三角形，理由见解答；
（2）4．
【解答】解：（1）△ADF是等边三角形，
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B30°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠DAC∠BAC＝60°，∠ADC＝90°，
∵FM是CD的垂直平分线，
∴∠FMC＝90°，FD＝FC，
∴∠FDC＝∠C＝30°，
∴∠ADF＝∠ADC﹣∠FDC＝60°，
∴∠AFD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADF＝60°，
∴△ADF是等边三角形；
（2）在Rt△FMC中，∠C＝30°，FM＝1，
∴CF＝2FM＝2，
∵CF＝DF，
∴CF＝DF＝2，
∵△ADF是等边三角形，
∴AF＝DF＝2，
∴AC＝AF+CF＝4，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝4．
19．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，等边三角形CDE的两个顶点D、E在边AB、BC上．
（1）求证：∠ACD＝∠EDB；
（2）求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE＝∠DEC＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠B＝30°，
∴∠EDB＝∠DEC﹣∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠EDB；
（2）解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝2AC，
∵AB2﹣AC2＝BC2，
∴（2AC）2﹣AC2＝62，
∴AC＝2（取正值），
∵∠A＝90°﹣∠B＝60°，∠ACD＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∴ADAC．
20．小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面l上，底座的高AB为4cm，长度均为18cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC、CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE；
（2）为了让光线更佳，他将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时，台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？
【答案】（1）（184）cm；（2）（99）cm．
【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．
∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABOE是矩形，
∴∠OBA＝90°，
∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，
∴OD＝BD sin60°＝（18+18）18（cm），
∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（184）cm，
即连杆端点D离桌面l的高度DE为（184）cm；
（2）过点D作DE⊥l于E，过点C作CG⊥BH于G，CK⊥DE于K，如图3所示：
由题意得：BC＝CD＝18cm，HE＝AB＝4cm，CG＝KH，∠CBG＝∠ABC﹣∠ABH＝150°﹣90°＝60°，
在Rt△CGB中，sin∠CBG，
∴CG＝9（cm），
∴KH＝9cm，
∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，
在Rt△DCK中，sin∠DCK，
∴DK＝9（cm），
∴（184）﹣（9+94）＝（99）（cm），
即连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了（99）cm．北师大版八年级下册
姓名： 班级：
分层 类别 第一章三角形的证明 1.2直角三角形分层作业1
基础 巩固 （ABC） 1．下列说法正确的是（ ） A．若两个等腰三角形的腰相等，底也相等，那么这两个等腰三角形全等 B．两条边分别相等的两个直角三角形全等 C．有一个角是60°的三角形是等边三角形 D．两个等边三角形一定全等 2．如图，∠D＝∠E＝∠ACB＝90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立条件有（ ） ①∠ABC＝45°；②AD＝CE； ③AC＝2AD；④CD＝BE． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 4．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ） A．28° B．59° C．60° D．62° 6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（ ） A． B． C． D． 7．直角三角形两锐角的和为（ ） A．180° B．90° C．45° D．60° 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，沿CD折叠，使A点落在BC边上的E点，若∠B＝26°，则∠CDE的度数为（ ） A．52° B．71° C．72° D．81° 9．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ） A．40° B．45° C．50° D．55° 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是（ ） A．50° B．30° C．60° D．40°
综合 应用 AB组 11．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，请你根据“HL”定理，添加一个条件 ，使得Rt△ABC≌Rt△ADC． 12．如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在B边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠CDE度数为 ．
拓展 提高 （A组） 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AFD＝180°，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）求证：AB＝AF+2BE． 16．如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 17．如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 18．已知，如图，△ACD和△BCE是两个直角三角形，∠ACD＝90°，∠BCE＝90°． （1）求证：∠ACE＝∠BCD； （2）若∠ACB＝150°，求∠BCD，∠DCE的度数．． （1）证明：如图，因为∠ACD＝90°，∠BCE＝90°， 所以∠ACE+ ＝∠BCD+ ＝90°． 所以∠ACE＝ ． （2）解：因为∠ACB＝150°，∠ACD＝90° 所以∠BCD＝ ﹣ ＝ ． 所以∠DCE＝ ﹣∠BCD＝ ．
参考答案与试题解析
1．下列说法正确的是（ ）
A．若两个等腰三角形的腰相等，底也相等，那么这两个等腰三角形全等
B．两条边分别相等的两个直角三角形全等
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．两个等边三角形一定全等
【答案】A
【解答】解：A、若两个等腰三角形的腰相等，底也相等，根据“SSS”即可证明这两个等腰三角形全等，正确，符合题意；
B、两条边相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原说法错误，不符合题意；
D、两个等边三角形，能推论三个角对应相等，不能证明两个三角形全等，原说法错误，不符合题意，
故选：A．
2．如图，∠D＝∠E＝∠ACB＝90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB成立条件有（ ）
①∠ABC＝45°；
②AD＝CE；
③AC＝2AD；
④CD＝BE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：根据三角形全等的判定条件“AAS、ASA”，
∴①∠ABC＝45°，②AD＝CE和④CD＝BE满足定理“AAS和ASA”，
综上所述，正确的有①②和④，只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
3．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
【答案】A
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：A．
4．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（AAS）；
∴AD＝AE，∠C＝∠B，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS）；
∴OB＝OC，OD＝OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；
∴共有3对全等直角三角形，
故选：C．
5．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，
∴△CAE≌△DAE（HL），
∴∠CAE＝∠DAE∠CAB，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∴∠AEC＝90°∠CAB＝90°﹣31°＝59°．
故选：B．
6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、∠α＝∠β＝45°，故不符合题意；
B、根据同角的余角相等，得∠α＝∠β，故不符合题意；
C、根据三角尺的特点和摆放位置得：∠α+45°＝180°，∠β+45°＝180°，
∴∠α＝∠β，故不符合题意；
D、根据图形可知∠α与∠β是邻补角，
∴∠α+∠β＝180°，∠α≠∠β，故符合题意；
故选：D．
7．直角三角形两锐角的和为（ ）
A．180° B．90° C．45° D．60°
【答案】B
【解答】解：直角三角形两锐角的和为90°，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，沿CD折叠，使A点落在BC边上的E点，若∠B＝26°，则∠CDE的度数为（ ）
A．52° B．71° C．72° D．81°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝26°，
∴∠A＝90°﹣26°＝64°，
根据折叠，∠CDE＝∠ADC，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣64°＝71°，
∴∠CDE＝∠ADC＝71°，
故选：B．
9．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【解答】解：如图，作CK∥a．
∵a∥b，CK∥a，
∴CK∥b，
∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°，
∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．30° C．60° D．40°
【答案】A
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠A＝50°，
故选：A．
11．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，请你根据“HL”定理，添加一个条件 BC＝DC或AB＝AD ，使得Rt△ABC≌Rt△ADC．
【答案】BC＝DC或AB＝AD．
【解答】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵AC＝AC，
∴添加BC＝DC或AB＝AD解可以利用HL判断Rt△ABC≌Rt△ADC．
故答案为：BC＝DC或AB＝AD．
12．如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是 AB＝CD ．
【答案】AB＝CD．
【解答】解：Rt△ABC和△DCB有一条公共直角边，
根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是AB＝CD．
故答案为：AB＝CD．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ 70° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在B边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠CDE度数为 67° ．
【答案】67°．
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝22°，
∴∠B＝90°﹣22°＝68°，
∴∠CED＝∠B＝68°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣68°＝67°，
故答案为：67°．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AFD＝180°，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：AB＝AF+2BE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝∠AED＝90°，
∵∠CFD+∠AFD＝180°，∠B+∠AFD＝180°，
∴∠CFD＝∠EBD，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，∠C＝∠BED＝90°，
∴在△CDF和△EDB中，
，
∴△CDF≌△EDB（AAS），
∴DE＝DC，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAB，
∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，
∴△CDA≌△EDA（AAS），
∴AC＝AE，
∴AC＝AE＝AF+FC，
由（1）得△CDF≌△EDB，
∴CF＝BE，
∴AE＝AF+FC＝AF+BE，
∴AB＝AE+EB＝AF+2BE，即AB＝AF+2BE．
16．如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEB＝∠BDC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）．
17．如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
18．已知，如图，△ACD和△BCE是两个直角三角形，∠ACD＝90°，∠BCE＝90°．
（1）求证：∠ACE＝∠BCD；
（2）若∠ACB＝150°，求∠BCD，∠DCE的度数．．
（1）证明：如图，因为∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
所以∠ACE+ ∠ECD ＝∠BCD+ ∠ECD ＝90°．
所以∠ACE＝ ∠BCD ．
（2）解：因为∠ACB＝150°，∠ACD＝90°
所以∠BCD＝ ∠ACB ﹣ ∠ACD ＝ 60° ．
所以∠DCE＝ ∠BCE ﹣∠BCD＝ 30° ．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）证明：如图，因为∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
所以∠ACE+∠ECD＝∠BCD+∠ECD＝90°．
所以∠ACE＝∠BCD，
故答案为：∠ECD；∠ECD；∠BCD．
（2）解：因为∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
所以∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°，
所以∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝30°．
故答案为：∠ACB；∠ACD；60°；∠BCE；30°．北师大版八年级下册
姓名： 班级：
分层 类别 第一章三角形的证明 1.2直角三角形分层作业2
基础 巩固 （ABC） 1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15 2．△ABC的三边分别为a、b、c，下列不能判定△ABC是直角三角形的条件是（ ） A．a＝32，b＝42，c＝52 B．∠A+∠B＝90° C．a＝1，， D．a＝8，b＝15，c＝17 3．已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ） A． B．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 C．3a＝4b＝5c D．a＝32，b＝42，c＝52 4．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4，那么AH＝（ ） A．2 B．6 C．8 D．9 5．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若AB＝17，AH＝8，则正方形EFGH的边长是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A．32，42，5 2B． C． D．7，12，13 7．赵爽弦图是证明勾股定理的重要图形，以下可近似看作轴对称图形的汉字是（ ） A．赵 B．爽 C．弦 D．图 8．如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 ． 9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为射线BC上一点，当△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，CD的长为 ． 10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E在AD上，连接CE，AE＝CE．若AD＝15，BC＝13，BD＝5，则DE的长为 ．
综合 应用 AB组 11．如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为 ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，求线段AD的长． 13．如图，等腰三角形ABC中AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm． （1）求AD的长； （2）求△ABC的面积． 14．某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度AC为7米，滑雪台的长度AB为25米，则滑雪台水平距离BC长为多少米？ 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求BC的长． 16．如图四边形ABCD中，AD⊥AB，BD⊥CD，AD＝3，AB＝4，BC＝13，求四边形ABCD的面积．
拓展 提高 （A组） 17．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，联结AD． （1）如果AC＝6，BD，求证：∠C＝90°； （2）如果∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝4，求AC的长． 18．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 19．【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理． 【拓展】图①“赵爽弦图”中，若b＝6，a＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长．
参考答案与试题解析
1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15
【答案】C
【解答】解：A、62+82＝102，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、242+72＝252，故是直角三角形，故此选项不合题意；
C、22+1.52≠32，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、92+122＝152，故是直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．△ABC的三边分别为a、b、c，下列不能判定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．∠A+∠B＝90°
C．a＝1，， D．a＝8，b＝15，c＝17
【答案】A
【解答】解：A、∵a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
故选：A．
3．已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．∠A：∠B：∠C＝2：3：4
C．3a＝4b＝5c D．a＝32，b＝42，c＝52
【答案】A
【解答】解：A、由∠C＝∠B∠A，可得∠A∠A∠A＝180°，可得∠A＝90°，故能判断△ABC是直角三角形，符合题意；
B、由∠A：∠B：∠C＝2：3：4，可得∠C＝180°80°，故不能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、由3a＝4b＝5c，可得ab，cb，那么a2≠c2+b2，故不能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、由a＝32，b＝42，c＝52，可得c2≠a2+b2，故不能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
4．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4，那么AH＝（ ）
A．2 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【解答】解：∵AB＝10，AH：AE＝3：4，
设AH为3x，AE为4x，
由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴5x＝10，
∴x＝2，
∴AH＝6，
故选：B．
5．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若AB＝17，AH＝8，则正方形EFGH的边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解答】解：由题意得，AD＝AB＝17，AH＝DE＝8，∠AHD＝90°，
∴DH15，
∴HE＝DH﹣DE＝15﹣8＝7，
∴正方形EFGH的边长是7，
故选：C．
6．下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．32，42，52 B． C． D．7，12，13
【答案】B
【解答】解：A、32+42＝52，不能构成三角形，故选项A不符合题意；
B、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故选项B符合题意；
C、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
D、72+122≠132，不能构成直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
7．赵爽弦图是证明勾股定理的重要图形，以下可近似看作轴对称图形的汉字是（ ）
A．赵 B．爽 C．弦 D．图
【答案】B
【解答】解：赵爽弦图四个字可近似看作轴对称图形的汉字是爽．
故选：B．
8．如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 24 ．
【答案】24．
【解答】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角△ABC直角边平移得到的，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角△ABC直角边重合，
∴内部四个小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长，
∴内部四个小直角三角形的周长为：AB+AC+BC＝10+6+8＝24．
故答案为：24．
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为射线BC上一点，当△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，CD的长为 4或 ．
【答案】4或．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB10，
如图1，当AB＝BD＝10时，
则CD＝BD﹣BC＝10﹣6＝4；
如图2，当AD＝BD时，
设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣6，
在Rt△ACD中，AD2＝CD2+AC2，
即x2＝（x﹣6）2+82，
解得：x，
∴CD6；
综上所述，CD的长为4或，
故答案为：4或．
10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E在AD上，连接CE，AE＝CE．若AD＝15，BC＝13，BD＝5，则DE的长为 ．
【答案】．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵BC＝13，BD＝5，
∴CD12，
设AE＝CE＝x，
∵AD＝15，
∴DE＝AD﹣AE＝15﹣x，
∵∠CDE＝90°，
∴CD2+DE2＝CE2，
即122+（15﹣x）2＝x2，
解得x，
∴DE＝15﹣x＝15，
故答案为：．
11．如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为 139 ．
【答案】139．
【解答】解：根据题意知，AB2＝25，AC2＝144，
所以AB＝5，AC＝12，BC13，
所以S阴影＝BC2132139．
故答案为：139．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，求线段AD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC＝BE＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
设AD＝x，则CD＝DE＝8﹣x，
在Rt△ADE中，DE2+AE2＝AD2，
即（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴AD＝5．
13．如图，等腰三角形ABC中AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）cm；
（2）cm2．
【解答】解：（1）设AD＝x cm，则AB＝AC＝（x+3）cm，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
在Rt△ACD中，根据题意得：x2+42＝（x+3）2，
解得：x，
答：AD的长为cm；
（2）由（1）可知，AB＝AC3（cm），
∵CD⊥AB，
∴S△ABCAB CD4（cm2），
答：△ABC的面积为cm2．
14．某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度AC为7米，滑雪台的长度AB为25米，则滑雪台水平距离BC长为多少米？
【答案】24米．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
24．
答：滑雪台整体的水平距离BC为24米．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，
∴AB ED＝60，即AB×12＝60，
解得AB＝10．
又∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
∴BC6．
答：线段BC的长度是6．
16．如图四边形ABCD中，AD⊥AB，BD⊥CD，AD＝3，AB＝4，BC＝13，求四边形ABCD的面积．
【答案】36．
【解答】解：由题意可得：∠A＝∠BDC＝90°，
∵AB＝4，AD＝3，
∴，
又CB＝13，
∴，
则．
17．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，联结AD．
（1）如果AC＝6，BD，求证：∠C＝90°；
（2）如果∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝4，求AC的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，BD，
∴AD＝BD，
在△ACD中，AC2+CD2＝62+（）2，AD2＝（）2，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠B＝∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴∠DAB+∠B+∠CAD＝90°，
∴∠B＝30°，
∴ACAB＝2．
18．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长．
【答案】（1）见解析．
（2）．
【解答】（1）证明：连接BE，如图：
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AE＝BE，
∵CB2＝AE2﹣CE2，
∴CB2＝BE2﹣CE2，
∴CB2+CE2＝BE2，
∴C＝90°；
（2）设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，
∴在Rt△BCE中，
EC2+BC2＝BE2，
即x2+62＝（8﹣x）2
解得：，
则．
19．【感知】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 5 ．
【探究】同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理．
【拓展】图①“赵爽弦图”中，若b＝6，a＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，直接写出这个风车的外围（实线）周长．
【答案】【感知】5；【探究】见解析；【拓展】76．
【解答】解：感知：由（a+b）2＝21可知a2+2ab+b2＝21，
∴2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5．
故答案为：5．
探究：，，
∴c2+ab＝a2+b2+ab，即a2+b2＝c2．
拓展：如图③，由题意知，外延的4部分全等，且AD＝AC＝6，
∴CD＝12，
∴，
∴这个风车的外围周长是4×（BD+AD）＝4×（13+6）＝76．北师大版八年级下册
姓名： 班级：
分层 类别 第一章三角形的证明 1.2直角三角形分层作业3
基础 巩固 （ABC） 1．下列命题： ①同旁内角互补，两直线平行； ②偶数一定能被2整除； ③末位数是5的数，能被5整除； ④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题： ①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角． 它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．给出下列4个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|．该命题的逆命题是（ ） A．如果a＝b，那么|a|＝|b| B．如果|a|＝|b|，那么a＝b C．如果a≠b，那么|a|≠|b| D．如果|a|≠|b|，那么a≠b 5．命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是 ． 6．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 7．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 ． 8．命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 9．命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题是 ． 10．对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
综合 应用 AB组 11．如图所示，已知等腰△ABC的底边BC＝3cm，D是腰AB上一点，且，BD＝2cm． （1）求证：CD⊥AB； （2）求△ABC的面积． 12．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． （1）求CD的长； （2）求AB的长； （3）判断△ABC的形状． 13．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，联结AD． （1）如果AC＝6，BD，求证：∠C＝90°； （2）如果∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝4，求AC的长． 15．在四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，CD＝13，BC＝12，且∠BAD＝90°，求：四边形ABCD的面积．
拓展 提高 （A组） 16．如图，△ABC内部有一点D，且∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，AD＝4，CD＝3． （1）判断△ABC的形状； （2）求四边形ABCD的面积．
参考答案与试题解析
1．下列命题：
①同旁内角互补，两直线平行；
②偶数一定能被2整除；
③末位数是5的数，能被5整除；
④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故该选项不符合题意；
②偶数一定能被2整除的逆命题是能被2整除的是偶数，是真命题，故该选项不符合题意；
③末位数字是5的数，能被5整除的逆命题是能被5整除的数，末位数字是5，是假命题，因为末尾数也可以是0，故该选项符合题意；
④对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故该选项符合题意；
∴逆命题是假命题的个数是2个，
故选：B．
2．下列命题：
①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．
它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题；
③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题；
它们的逆命题是真命题的个数是3个．
故选：B．
3．给出下列4个命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④对顶角相等，它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若|a|＝|b|，则a＝b的逆命题是若a＝b，则|a|＝|b|，是真命题；
③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
④对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题；
它们的逆命题是真命题的个数是2个．
故选：B．
4．已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|．该命题的逆命题是（ ）
A．如果a＝b，那么|a|＝|b| B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．如果a≠b，那么|a|≠|b| D．如果|a|≠|b|，那么a≠b
【答案】B
【解答】解：已知本题中命题的题设是a＝b，结论是|a|＝|b|，
所以它的逆命题中的题设是|a|＝|b|，结论是a＝b，
所以本题中的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b．
故选：B．
5．命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是 若a2＝b2，则a＝b ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．
6．命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是 真 命题（填“真”或“假”）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么a2＝b2．”
“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是 真命题，
故答案为：真．
7．命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为 同旁内角互补，两直线平行 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，
故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．
故应填：同旁内角互补，两直线平行．
8．命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是 假 命题．（填“真”或“假”）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，
是假命题，
故答案为：假．
9．命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题是 重心与内心重合的三角形是等边三角形 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题是重心与内心重合的三角形是等边三角形．
故答案为：重心与内心重合的三角形是等边三角形．
10．对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是 假 命题．（填“真”或“假”）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是“如果ac＝bc，那么a＝b．”，
是假命题，
故答案为：假．
11．如图所示，已知等腰△ABC的底边BC＝3cm，D是腰AB上一点，且，BD＝2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）证明见解析．
（2）．
【解答】（1）证明：∵等腰△ABC的底边BC＝3cm，，BD＝2cm，
∵22+（）2＝32，即BD2+CD2＝BC2＝9，
∴△DBC为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵△ABC为等腰三角形，BC为底边，
∴AB＝AC，
设AB＝AC＝a，则AD＝（a﹣2）cm，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即，
解得，
∴，
∴．
12．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．
（1）求CD的长；
（2）求AB的长；
（3）判断△ABC的形状．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，
所以BD2+CD2＝BC2．
所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．
所以CD＝12．
（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，
所以CD2+AD2＝AC2．
所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．
所以AD＝16．
所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．
（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，
所以AB2＝BC2+AC2．
所以△ABC是直角三角形．
13．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长．
【答案】（1）见解析．
（2）．
【解答】（1）证明：连接BE，如图：
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AE＝BE，
∵CB2＝AE2﹣CE2，
∴CB2＝BE2﹣CE2，
∴CB2+CE2＝BE2，
∴C＝90°；
（2）设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，
∴在Rt△BCE中，
EC2+BC2＝BE2，
即x2+62＝（8﹣x）2
解得：，
则．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，联结AD．
（1）如果AC＝6，BD，求证：∠C＝90°；
（2）如果∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝4，求AC的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，BD，
∴AD＝BD，
在△ACD中，AC2+CD2＝62+（）2，AD2＝（）2，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠B＝∠CAD，
∵∠C＝90°，
∴∠DAB+∠B+∠CAD＝90°，
∴∠B＝30°，
∴ACAB＝2．
15．在四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，CD＝13，BC＝12，且∠BAD＝90°，求：四边形ABCD的面积．
【答案】36．
【解答】解：如图所示，连接BD，
∵AB＝3，AD＝4，∠BAD＝90°，
∴，
∵CD＝13，BC＝12，
∴BD2+BC2＝52+122＝25+144＝169＝132＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴．
16．如图，△ABC内部有一点D，且∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，AD＝4，CD＝3．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3．
在△ADC中，根据勾股定理得：AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
∵AB＝13，BC＝12，
AC2+BC2＝25+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
根据勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形；
（2）图形ABCD的面积为：
S△ABC﹣S△ACD5×123×4＝24，
则四边形ABCD面积为24．北师大版八年级下册
姓名： 班级：
分层 类别 第一章三角形的证明 1.3线段的垂直平分线分层作业
基础 巩固 （ABC） 1．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（ ） A．87° B．62° C．90° D．93° 2．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC＝18cm，AB＝10cm，则△ABD的周长为（ ） A．10cm B．18cm C．28cm D．38cm 3．如图，作△ABC中边AB的垂直平分线DE，AB＝8cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（ ）cm A．20 B．16 C．15 D．21 4．如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝5，△ABD的周长是13，则线段AC的长是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，△ABC中，线段AC的垂直平分线分别交AC、AB于点E、D，连接CD，若AB＝12，BC＝9，则△BCD的周长为（ ） A．19 B．20 C．21 D．22 6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC＝5，则BC的长是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ） A．15cm B．18cm C．22cm D．25cm 8．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC的长为9cm，BE的长为6cm，则EC的长为（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 9．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，AB＝4，AC＝3，则△ACD的周长为（ ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 10．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝12cm，AC＝9cm，则△ACD的周长是（ ） A．24cm B．21cm C．18cm D．15cm
综合 应用 AB组 11．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AC于点D，若△ABD的周长为21，AB＝8，则AC＝ ． 12．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB、BC于点E、D，CD＝5，△BCE的周长为24，则BE＝ ． 13．如图，在△ABC中，∠C＝20°，∠B＝40°，AC的垂直平分线MN交BC于点N，且CN的长为m，BN的长为n，则△ABN的周长为 （用含m，n的代数式表示）． 14．如图，BD是线段AC的垂直平分线．若AB＝5，CD＝4，则四边形ABCD的周长为 ．
拓展 提高 （A组） 15．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，垂足为G． （1）求证：AB＝2CD； （2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度数． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB． （1）求∠A的度数； （2）若BE＝4，求AE的长． 17．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC． 18．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
参考答案与试题解析
1．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（ ）
A．87° B．62° C．90° D．93°
【答案】A
【解答】解：由条件可知DB＝DC，
∴∠DBE＝∠DCE＝31°，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝31°，
∴∠ABC＝62°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣62°﹣31°＝87°，
故选：A．
2．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC＝18cm，AB＝10cm，则△ABD的周长为（ ）
A．10cm B．18cm C．28cm D．38cm
【答案】C
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可得AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝18+10＝28cm，
故选：C．
3．如图，作△ABC中边AB的垂直平分线DE，AB＝8cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（ ）cm
A．20 B．16 C．15 D．21
【答案】A
【解答】解：∵DE垂直平分线段AB，AB＝8cm，
∴AE＝BEAB＝4cm，AD＝BD，
∵△ADC的周长为12cm，
∴AD+CD+AC＝BC+AC＝12cm，
∴AB+BC+AC＝8+12＝20（cm），
即△ABC的周长是20cm．
故选：A．
4．如图，已知在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝5，△ABD的周长是13，则线段AC的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DC＝DB，
∴ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝13，
∵AB＝5，
∴AC＝8．
故选：C．
5．如图，△ABC中，线段AC的垂直平分线分别交AC、AB于点E、D，连接CD，若AB＝12，BC＝9，则△BCD的周长为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】C
【解答】解：由条件可知AD＝CD，
∴△BCD的周长为BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝12+9＝21，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若△ACE的周长为12，AC＝5，则BC的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC＝BC+AC＝12，
∵AC＝5，
∴BC＝7．
故选：A．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．15cm B．18cm C．22cm D．25cm
【答案】C
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为14cm，
∴AB+BD+AD＝14cm，
∴AB+BD+CD＝14cm，即AB+BC＝14cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝22cm，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC的长为9cm，BE的长为6cm，则EC的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解答】解：∵DE是AB边上的垂直平分线，BE＝6cm，
∴AE＝BE＝6cm，
∴EC＝AC﹣EA＝9﹣6＝3（cm），
故选：B．
9．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，AB＝4，AC＝3，则△ACD的周长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】C
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
∴△ACD＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝4+3＝7，
故选：C．
10．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝12cm，AC＝9cm，则△ACD的周长是（ ）
A．24cm B．21cm C．18cm D．15cm
【答案】B
【解答】解：∵DE垂直平分BC交AB于点D，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝AC+AD+DB＝AC+AB＝12+9＝21（cm），
故选：B．
11．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AC于点D，若△ABD的周长为21，AB＝8，则AC＝ 13 ．
【答案】13．
【解答】解：由条件可知BD＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC，
∵已知△ABD的周长为21，AB＝8，
∴AC＝21﹣8＝13，
故答案为：13．
12．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB、BC于点E、D，CD＝5，△BCE的周长为24，则BE＝ 7 ．
【答案】7．
【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB，CD＝5，
∴BC＝2CD＝10，CE＝BE，
∵△BCE的周长为24，
∴BC+BE+CE＝BC+2BE＝24，即10+2BE＝24，
∴BE＝7，
故答案为：7．
13．如图，在△ABC中，∠C＝20°，∠B＝40°，AC的垂直平分线MN交BC于点N，且CN的长为m，BN的长为n，则△ABN的周长为 2m+n （用含m，n的代数式表示）．
【答案】2m+n．
【解答】解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴NC＝NA＝m，
∴∠NAC＝∠C＝20°，
∴∠ANB＝∠NAC+∠C＝40°，
∴∠ANB＝∠B，
∴AB＝AN＝m，
∴△ABN的周长＝AB+AN+BN＝2m+n，
故答案为：2m+n．
14．如图，BD是线段AC的垂直平分线．若AB＝5，CD＝4，则四边形ABCD的周长为 18 ．
【答案】18．
【解答】解：∵BD是线段AC的垂直平分线，AB＝5，CD＝4，
∴CB＝AB＝5，AD＝CD＝4，
∴四边形ABCD的周长＝AB+CB+CD+AD＝5+4+5+4＝18，
故答案为：18．
15．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，垂足为G．
（1）求证：AB＝2CD；
（2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）23°．
【解答】（1）证明：∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE＝DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴，
∴，
∴AB＝2CD；
（2）解：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，
∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠B＝2∠BCE，
∴∠AEC＝3∠BCE＝69°，
∴∠BCE＝23°．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．
（1）求∠A的度数；
（2）若BE＝4，求AE的长．
【答案】（1）90°；
（2）2．
【解答】解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB＝30°
∵ED垂直平分BC，
∴EC＝EB，
∴∠ECD＝∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠ACE+∠ECB）＝90°；
（2）∵ED垂直平分BC，BE＝4，
∴EC＝EB＝4，
由（1）知，∠A＝90°，∠ACE＝30°，
∴AEEC＝2．
17．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴EB＝EC．
18．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）求∠PAQ的度数．
（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ，
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3．
在△ADC中，根据勾股定理得：AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
∵AB＝13，BC＝12，
AC2+BC2＝25+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
根据勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形；
（2）图形ABCD的面积为：
S△ABC﹣S△ACD5×123×4＝24，
则四边形ABCD面积为24．北师大版八年级下册
姓名： 班级：
分层 类别 第一章三角形的证明 1.4角平分线分层作业
基础 巩固 （ABC） 1．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝6，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE＝2，则△ABC的面积为（ ） A．13 B．19 C．20 D．26 2．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝5，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（ ） A．PE＝5 B．PE＞5 C．PE≤5 D．PE≥5 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若BC＝9，AC＝12，AB＝15，则△BDE的周长为（ ） A．6 B．12 C．15 D．21 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝10，AD＝7，则点D到AB的距离为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，DF＝1，则△ABD的面积为（ ） A．3 B．2 C．2.5 D．5 6．如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，则AB的长为（ ） A．8 B．10 C． D． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
综合 应用 AB组 9．如图，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝16，DE＝2，AB＝12，则边AC的长是 ． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，CD＝5，AB＝16，则△ABD的面积是 ． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DC＝5，则点D到AB的距离为 ． 12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD＝ ．
拓展 提高 （A组） 13．如图，MN∥EF，C为两直线之间的一点． （1）观察猜想：如图1，猜想∠MAC，∠EBC与∠ACB之间的关系，并说明理由． （2）类比探究：已知∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D． ①在图2中，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数； ②在图3中，∠ACB与∠ADB有何数量关系？请说明理由． 14．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝2，BC＝9，求△BCD的面积． 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 16．已知：∠AOB＝80°，∠COD＝60°，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOD． （1）如图1，当OB与OC重合时，∠MON的度数是 °； （2）若图1中∠AOB不动，将∠COD从图1的位置开始绕点O顺时针旋转． ①如图2，当∠BOC＝10°时，求∠MON的度数； ②当∠BOC＝α（60°＜α＜80°）时，直接用等式表示∠AOM与∠DON的数量关系．
参考答案与试题解析
1．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝6，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．13 B．19 C．20 D．26
【答案】A
【解答】解：如图，过D点作DF⊥AB于F，
由条件可知DF＝DE＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
，
＝13．
故选：A．
2．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝5，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（ ）
A．PE＝5 B．PE＞5 C．PE≤5 D．PE≥5
【答案】D
【解答】解：过P作PH⊥AB于H，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AC，
∴PH＝PD＝5，
∴PE≥PH＝5．
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若BC＝9，AC＝12，AB＝15，则△BDE的周长为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．21
【答案】B
【解答】解：∵BC平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝12，
∴BE＝15﹣12＝3，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝9+3＝12．
故选：B．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝10，AD＝7，则点D到AB的距离为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解答】解：∠C＝90°，由BD平分∠ABC可得：点D到 BC的距离等于CD的长度．
∵AC＝10，AD＝7，
∴CD＝AC﹣AD＝10﹣7＝3．
∴点D到AB的距离也是3．
故选：D．
5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，DF＝1，则△ABD的面积为（ ）
A．3 B．2 C．2.5 D．5
【答案】C
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝1，
∵AB＝5，
∴△ABD的面积AB DE＝2.5．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
∵△ABD的面积为15，
∴AB DF＝15，
∵AB＝10，
∴DF＝3，
∴DE＝3；
故选：C．
7．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，则AB的长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝2AE，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
∴，
故选：C．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：∵BC＝7，BD＝4，
∴CD＝7﹣4＝3，
由角平分线的性质，得点D到AB的距离＝CD＝3，
故选：B．
9．如图，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝16，DE＝2，AB＝12，则边AC的长是 4 ．
【答案】4．
【解答】解：过D作DH⊥AC于H，
∵AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DH＝DE＝2，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝16，
∴AB DEAC DH＝16，
∴12×2AC×2＝16，
∴AC＝4．
故答案为：4．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，CD＝5，AB＝16，则△ABD的面积是 40 ．
【答案】40．
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，
∴DE＝CD＝5，
∵AB＝16，
∴△ABD的面积AB DE16×5＝40，
故答案为：40．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DC＝5，则点D到AB的距离为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝5，即点D到AB的距离为5，
故答案为：5．
12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD＝ 4：3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF
∴S△ABD：S△ACDAB DE：AC DF＝AB：AC＝8：6＝4：3．
故答案为：4：3．
13．如图，MN∥EF，C为两直线之间的一点．
（1）观察猜想：如图1，猜想∠MAC，∠EBC与∠ACB之间的关系，并说明理由．
（2）类比探究：已知∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D．
①在图2中，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度数；
②在图3中，∠ACB与∠ADB有何数量关系？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠ACB＝∠MAC+∠EBC．
理由：如图，过点C作CK∥MN．
∵MN∥EF，
∴MN∥EF∥CK．
∴∠MAC＝∠ACK，∠EBC＝∠KCB．
∴∠ACB＝∠ACK+∠KCB＝∠MAC+∠EBC．
（2）①与（1）同理可得∠ADB＝∠MAD+∠EBD，∠ACB＝∠MAC+∠EBC．
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴，．
∴．
∵∠ACB＝100°，
∴∠ADB＝50°；
②．
理由：与（1）同理可得∠ADB＝∠MAD+∠EBD，∠ACB＝∠NAC+∠FBC．
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴，．
∴
．
14．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数；
（2）若DE＝2，BC＝9，求△BCD的面积．
【答案】（1）125°；
（2）9．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴，
∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°，
∴，
∴∠BDC＝180°﹣20°﹣35°＝125°．
（2）BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2．
∵BC＝9，
∴．
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
